Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

для первого курса / для первого курса / ВЫШКА / 45.Свойства функции деференцируемых на интервале

.pdf
Скачиваний:
48
Добавлен:
08.06.2015
Размер:
93.88 Кб
Скачать

Свойства функции деференцируемых на интервале.

Рассмотрим некоторые общие свойства функции, имеющих конечную производную на интервале.

1.Теорема Ролля.

Если функция непрерывна на концах отрезка одинаковы, то существует хотя бы одна точка Е, принадлежащая данному интервалу, в котором производная функции равна 0.

Рассмотрим геометрический смысл этой теоремы, его можно истолковать следующим образом:

На непрерывной кривой найдется хотя бы одна точка Е на интервале [а,b] в которой касательная параллельна оси ОХ.

2.Теорема Каши

Если функции f(x) и g(x) непрерывна на отрезке [а,b], дифференцируемы на интервал (а,b) и производная g’(x) отличается от 0 для всех точек х (а,b), то существует хотя бы одна точка Е, взятая из интервала (а,b), такая, что выполняется равенство. (1)

3.Теорема Лагранжа.

Если функция непрерывна на отрезке [а,b], дифференцируема на интервале (а,b), то существует хотя бы одна точка из этого интервала, для которого выполняется равенство.

f(b)-f(a) = (b-a)*f(E) (2)

Сравним уравнение2 и 1, очевидно формула 2 является частным случаем формулы 1. Если в формуле 2 считать функцию g(x)=x, то функция g(b)=b, g(a)=a, g’(x)=1 от сюда

следует

Таким образом теорема Лагранжа является частным случаем теоремы каши. Представим теорему Лагранжа в геометрическом виде.

АС=b-a

ВС=АС*tg от сюда следует tg =ВС/АС. Ордината этого треугольника ВС=f(b)-f(a), f’(E)=tga.

f’(E)-где производная в точке касания.

Следовательно точка Е является той точкой в которой касательная кривой II хорде АВ. Формулу 3 можно записать через конечное приращение y=f’(Е)* х(4)

Из формулы 4 следует f’(E)= y/ x(5)

Формулу 5 можно использовать как среднюю скорость возрастания функции на отрезке

АВ.

Теорема Каши истолкована так же геометрически , как и теорема Лагранжа.