для первого курса / для первого курса / Ответы по вышке / Ответы по вышке / Ряды / 09. Ряды Тейлора и Макларена. приложение степенных рядов

Ряды Тейлора и Макларена.

Пусть функция дифференцируется сколько угодно раз.

− 0) + ( 0) (1)

( ) = ( 0) +

′

( 0)

( − 0)

+

′′( 0) ( − 0)2 + + ( )( 0) (

Тогда формула Тейлора.

1!

( )

2!

( +1)( )

0

)

+1

!

n

; Rn(x)

0 мы

=

( + 1)! ( −

( )

( 0)

( ) = ( 0)

+

′( 0)

( − 0)

+

′

′( 0)

( −

0)

2

+ +

→

0

( − 0) + (2)

при

→∞

получаем ряд Тейлора.

Макларена:

1!

2!

!

Если считать в формуле (2)

х =0 то ряд Тейлора преобразуется в ряд

Ряды ( ) = (0)

+

′(0)

( ) +

′′(0)

( )

2

+ +

( )(0)

( )

+ (3)

1!

2!

!

Ряд Тейлора –

Тейлора и Макларена – являются обычными степенными рядами.

обобщенный степенной ряд, Макларена – простой степенной ряд.

Особенности

этих

рядов

заключаются

в том,

что коэффициенты

=

( () )(! 0)

−

длярядаТейлора.

определяются рекуррентными формулами.

Сформулируем

=

(0)

− для рядаМакларена.

теорему( признак сходимости ряда Макларена):

Если производные f’(x),

f’’(x)… являются ограниченными в совокупности при

!

х [-а;a] то ряд Макларена сходится на заданном участке.

Наибольший интерес представляют ряды Макларена для элементарных

функций (формулы Макларена) .

2

2.

f(x)=sin(x)

= 1 +

+ (−∞; ∞)

1! +

2! + +

!

1.

f(x)=ex показательная, ряд образованный данной функцией имеет вид:

sin =

3

5

2 +1

1!

− 3!

+

5!

− + (−1)

(2 + 1)! + (−∞; ∞)

cos =

2

4

2

3.

1! − 2! +

4! − + (−1)

(2 )! + (−∞; ∞)

f(x)=

(x)

5.

m

−

2

3

−1

f(x)= (1 + )

= 1

2

+

3 − + (−1)

+ (−1; 1)

4.

f(x)=ln

+x)

(1 + x)

m

= 1 +

+

( − 1) 2

+ +

( − 1) … ( − + 1)

+

| | < 1

(1+x)

2!

!

Разложение

1!

2.9. Приложение степенных рядов.

в степенной ряд – один из важнейших методов численного анализа. Все таблицы элементарных функций и специальных функций составленный благодаря рядам.

1. Рассмотрим приближенное вычисление значение функции. Прежде всего находим разложение заданной функции в степенной ряд, сохраняя

первые n-члены разложения, считая n – конечной величиной.

( ) = (0) +

′(0)

( ) +

′′(0)

( )

2

+ +

( )(0)

( )

+ ( )

1!

2!

!

Пусть мы разложили функцию f(x) по формуле Макларена:

( ) ≈ ( )при lim ( )

= 0

Rn(x)

→∞

Сумма отображенных

слагаемых

определяет

погрешность найденного

значения функции f(x).

Основная задача – оценить сумму остаточного ряда, то есть найти «n» обеспечивающую заданную точность.

Рассмотрим пример:

1)Пусть задан знакочередующийся ряд.

Вэтом случае члены ряда удовлетворяют признаку лейбница и можно

использовать оценку приближенного равенства по первому отброшенному члену ряда. | ( )| < +1( )

Где, U(n+1) – первый отброшенный ряд.

Если U(n+1)>0, то частичная сумма вычислена с недостатком.

Если U(n+1)<0, то частичная сумма вычислена с избытком.

Для получении высокой точности необходимо больше количество членов. 2. Рассмотрим положительный ряд.

В этом случае остаточный ряд Rn(x) будет составлен из положительных слагаемых, которые сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией, сумма которых вычисляется по формуле.

			1
И с помощью этой формулы	оценивают погрешность вычисления заданной
		=	1 −
функции f(x).

Обычно промежуточные значения выполняют одним или двумя десятичными знаками, а уже окончательные результат округляют до числа знаков, определяемых заданной точностью. Это делается для того, что бы исключить накапливания погрешности за счет неточности промежуточных вычислений.

2. Вычисление интегралов помощью степенных рядов.

Для приближенного вычисления определенного интеграла, раскладывают в ряд
	( ) = (0)	+ ′(0) ( ) +		′′(0) ( )2	+ + ( )(0) ( )			+
под интегральную функцию а затем по членно интегрируют.
0	0	1!		2!	( )(0)		!
	= (0)	+ ′(0) + … +					+
	0	1!	0		!	0	+
	= (0) + ′(0)		2 + ( )(0) +1
a (-R;R) R - радиус сходимости1!данного2				ряда. !	+ 1

В математике имеется много интегралов специального вида, например, в теории вероятности для нормальнойΦфункции( ) = 1 распределения− 2 ( ) :

√2 −∞ 2

Для вычисления используются таблицы.

Часто в приложениях используются функции Бесселя, Гумма-функция и другие. С помощью рядов приближенно рассматривают дифференциальные уравнения, которые мы будем рассматривать в следующей главе.