для первого курса / для первого курса / Ответы по вышке / Ответы по вышке / Ряды / 07. Функциональные ряды. Понятия о равномерной сходимости

Функциональные ряды. Понятия о равномерной сходимости.

Определение. Ряд, порожденный функциональной последовательностью

называются функциональным. ∞

1( ) − 2( ) + 3( ) − 4( ) + + ( ) + = ( ) (1)

=0

Частичная сумма1( ) −: 2( ) + 3( ) − 4( ) + + ( ) = ( ) Остаточная сумма ( ) = +1( ) + +2( ) +

= lim ( )

→∞

Точка х=х называется точкой сходимости функционального ряда (1), если сходится числовой01( 0ряд) −: 2( 0) + 3( 0) − 4( 0) + + ( 0) + (2)

Ряд (2) называется числовым.

Множество всех точек сходимости функционального ряда образует область сходимости ряда (1).

Сформулируем признак сходимости Витерштрасса.

Если для функционального ряда соответствующий ряд из модулей

можарируется для всех значений х взятых из ω, сходящимся числовым рядом, то данный функциональный| 1( )| − | 2(ряд)| +на| множестве3( )| − | 4(ω)|сходится+ + | равномерно( )| + (3).

Ряд (3) можарируется1сходящимся+ 2 + 3 + рядом+ . (4) →←

| ( )| ≤

Поэтому по принципу сравнения ряд (3) сходится. В условие сходимости

ряда (3), предел его остаточного членаlim ==0:0 (5)

→∞

и сходимость рядов так же определяется слагаемыми на бесконечности, которые в случае сходимости ряда удовлетворяет условия (5).

Сформулируем свойства равномерно сходящегося рядов:

1. Если ряд образован из функции непрерывен на ω равномерно, то его сумма является также непрерывной функций на этом множестве, если ряд(1)

рассматривается на отрезке [a,b] и составленный из функции непрерывных на этом отрезке, а ( ) = 1 + 2 +

Является непрерывной функцией, то этот ряд можно последовательно интегрировать и в результате мы так же равномерно сходящийся ряд.

2. Если ряд (1) сходится и состоит из непрерывно дифференцируемых функций на заданном множестве, то ряд (1) можно по членно про дифференцировать и мы получим равномерно сходящийся ряд.