для первого курса / для первого курса / Ответы по вышке / Ответы по вышке / интегралы / 10. Криволинейный интеграл 2 рода по координатам

Криволинейный интеграл 2 рода по координатам.

В этих интегралах большое значение имеет направление заданной кривой, поэтому будем рассматривать пространство, в котором каждой точке M поставлена в соответствии векторная функция: F=F(M)

Длинна и направление вектора F зависит от точки в пространстве. В этом

случае говорят, что задано векторное поле.

= ( ; ; ) (10)

3

В пространстве:

: ( ) = ( ) + ( )

= ( ; )

Если мы возьмем элементарную

дугу

∆l, то она в общем случае будет

=

(∆; ∆; ∆) (11)

3

зависеть от 3 координат:

= ∆

+

∆ =

(∆; ∆)

2

: ∆

3

∆ ~

( ; ; )

:

= 2

+ +

=

(12)

:

=

+

=

( ; )

(13)

= ( )

+ ( )

+ ( )

Составим скалярное произведение

.

=

(14)

+ +

Вычислим интеграл

по длине l от скалярного

Рассмотрим вычисление

криволинейного интеграла 2 рода если l задана в

параметрическом виде:

= ( )

= ( )

= ( )

3

[ , ]

′

=

( ), ( ), ( )

′

+ ( ), ( ), ( )

:

2

+

( ), ( ), ( )

′

(15)

′

=

( ), ( ), ( )

′

+ ( ), ( ), ( )

(16)

:

= ( )

→

= ( , ( ) + ( , ( )′( )

(17)

[ ,

]

(18)

Таким

= → =

=

представляет

образом

криволинейный

интеграл

по

координатам

собой работу силы F, затрачиваемую на перемещение точки вдоль кривой L.

Если рассмотреть криволинейный интеграл 2 рода по замкнутому контуру L,

Ц =

(19)

то он называется циркуляцией векторного поля F по этому контуру L.

Формула Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом по длине L и двойным интегралом по области Д, которая ограничена заданной кривой L.

Теорема Пусть Д – правильная область, а функции P(x,y), Q(x,y)

непрерывные функции вместе со своими производными ∂P/∂y; ∂Q/∂x в области Д.
Можно					(20)
		+ =		−
Согласно Формуле Д:
	применять формулу (20) и для двухсвязных области, двойной
интеграл при этом		не меняется. Рассмотрим			вопрос о независимости

криволинейного интеграла от формы кривой интегрирования. С этой целью сформулируем теоремы.

Теорема 1. Для независимости криволинейного интеграла от формы кривой интегрирования необходимо, что бы циркуляция векторного поля равнялась 0 по любому замкнутому контуру L.

Теорема 2. Для независимости криволинейного интеграла от формы кривой

интегрирования необходимо и	достаточно что бы выражение Pdx+Qdy
+	= = ( ) − ( ) (21)
представляло бы собой полный дифференциал некоторой функции U.

Если векторное поле является градиентом некоторого скалярного поля U, то криволинейны интеграл не зависит от формы кривой интегрирования. Такие векторные поля называются потенциальными.