Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

для первого курса / для первого курса / Ответы по вышке / Ответы по вышке / интегралы / 09. Криволинейный Интеграл 1 рода по длине

..pdf
Скачиваний:
61
Добавлен:
08.06.2015
Размер:
139.24 Кб
Скачать

Криволинейный Интеграл 1 рода по длине.

 

 

 

Кривая может быть.

 

 

)(1)

( ) = lim (

 

 

→∞

 

 

 

Называется

 

 

интегральной суммы. Он

предел =1

 

 

находится по известному алгоритму.

 

dl в формуле (1) – это дифференциал длинны для

Для плоской кривой f(pi)=f(x,y);

=

1 + 2

(2)

плоской кривой вычисленный по формуле

Для пространственной кривой f(pi)=f(x,y,z);

 

 

 

 

Если мы в выражение (1) подставим выражение (2) мы можем вычислить

Таким ( , )

= ( )

 

( )

2

(3)

= = ( )

= , ( ) 1 +

 

криволинейный интеграл 1 рода для плоской кривой.

 

 

 

 

образом

вычисление

криволинейного

интеграла сводиться к

вычислению обычного определенного интеграла.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Криволинейный интеграл 1 рода приведем к параметрическому виду.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то дифференциал длинны для

 

[ , ]

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим этот

 

 

=

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

плоской кривой приобретет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

Для

 

( , ) =

=

 

 

 

( ( ), ( ))

+

(5)

 

 

 

уравнение в интеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

составляющая.

 

 

= ( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пространственной кривой в формулы (4) и (5) появляется еще одна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

[ , ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И тогда интеграл

 

 

2

+

+

 

2

(6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Часто

 

 

 

 

( ), ( ), ( ))

2

+

2

+

 

2

(7)

( , , ) = (

 

 

 

 

 

 

 

 

приобретает вид.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

криволинейный интеграл задают в полярной системе координат.

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r=r(ϕ) поэтому используется формулы переходя из декартовой в полярную

систему координат.

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференциал длины дуги для

 

 

полярного задания функции имеет вид:

И тогда интеграл по

=

2

+

2

(8)

+ 2 (9)

( , ) = (

,

) 2

 

длине кривой от функции будет определятся:

[ , ]