для первого курса / для первого курса / Ответы по вышке / Ответы по вышке / интегралы / 09. Криволинейный Интеграл 1 рода по длине
..pdfКриволинейный Интеграл 1 рода по длине. |
|
|
|
||
Кривая может быть. |
|
|
)∆(1) |
||
( ) = lim ( |
|||||
|
|
→∞ |
|
|
|
Называется |
|
|
интегральной суммы. Он |
||
предел =1 |
|
|
|||
находится по известному алгоритму. |
|
||||
dl в формуле (1) – это дифференциал длинны для |
|||||
Для плоской кривой f(pi)=f(x,y); |
= |
1 + ′2 |
(2) |
плоской кривой вычисленный по формуле
Для пространственной кривой f(pi)=f(x,y,z); |
|
|
|
|
||
Если мы в выражение (1) подставим выражение (2) мы можем вычислить |
||||||
Таким ( , ) |
= ( ) |
|
′ |
( ) |
2 |
(3) |
= ′ = ′( ) |
= , ( ) 1 + |
|
||||
криволинейный интеграл 1 рода для плоской кривой. |
|
|
|
|
||
образом |
вычисление |
криволинейного |
интеграла сводиться к |
вычислению обычного определенного интеграла. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Криволинейный интеграл 1 рода приведем к параметрическому виду. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
то дифференциал длинны для |
|
[ , ] |
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Подставим этот |
|
|
= |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плоской кривой приобретет вид |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
2 |
|
′ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′2 |
|
|
′2 |
|
|||
Для |
|
( , ) = |
= |
|
|
|
( ( ), ( )) |
+ |
(5) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
уравнение в интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
составляющая. |
|
|
= ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
пространственной кривой в формулы (4) и (5) появляется еще одна |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
[ , ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
И тогда интеграл |
|
|
2 |
+ |
+ |
|
2 |
(6) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
′ |
2 |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Часто |
|
|
|
|
( ), ( ), ( )) |
2 |
+ |
2 |
+ |
|
2 |
(7) |
||||||||||||||||
( , , ) = ( |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
приобретает вид. |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
′ |
|
′ |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
криволинейный интеграл задают в полярной системе координат. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
r=r(ϕ) поэтому используется формулы переходя из декартовой в полярную |
||||||||||||||||||||||||||||
систему координат. |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Дифференциал длины дуги для |
|
|
полярного задания функции имеет вид: |
И тогда интеграл по |
= |
2 |
+ |
′2 |
(8) |
+ ′2 (9) |
( , ) = ( |
, |
) 2 |
||||
|
длине кривой от функции будет определятся: |
[ , ]