для первого курса / для первого курса / тер мех / 10. Центр паралельных сил. Центр тяжести

Понятие о центре параллельных сил используется при решении некоторых задач механики, в частности при определении положенийцентров тяжести тел.

Рассмотрим сначала две параллельные силы Ft и F2, приложенные к телу в точках А1 и А2. Очевидно, что Эта плоская система сил имеет равнодействующую R=F1+F2, линия действия которой параллельна слагаемым силам и проходит через некоторую точку С, лежащую на прямой А1А2. Положение точки С найдем с помощью теоремы Вариньона. Согласно этой теореме тс(R) =mc(F1)+mc(F2) или 0=F1h1-F2h2=F1*A1C

*cos(a)—F2*A2C*cos(a), откуда

В равенствовходят модулиF1 и F2 рассматриваемых сил.Поэтому, если силы F1 и F2 повернуть около точек А1 и А2 в одну и ту же сторону на один и тот же угол, то образуются две новые параллельные силы F1 и F2, имеющие те же модули F1 и F2 следовательно, для сил F'1 F'2 равенство сохранится и линия действия их равнодействующей R' тоже пройдет через точку С. Такая точка называется

центром параллельных сил F1 и F2.

Точка С, через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил при любых поворотах этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, называется центром параллельных сил.

Найдем координаты центра параллельных сил.

Положение точки С по отношению к телу является неизменным и от выбора системы координат зависеть не будет. Возьмем поэтому произвольные координатные оси Охуz и обозначим в этих осях координаты

точек: А1(x1 y1 z1), А2(x2 y2 z2), . . ., С(xc yc zc). Пользуясь тем, что от направления сил положение точки С не зависит, повернем сначала силы около их точек приложения так, чтобы они стали параллельны оси Oz, и применим к повернутым силам F’1, F'2, . . ., F'n теорему Вариньона. Так как R' является равнодействующей этих сил, то по формуле , беря моменты относительно оси Оу, найдем, что

Но из чертежа видно, что my(R')=Rxc, так как R'=R; аналогично mv(F’1)=F1x1, так как F'1=F1 и т. д. Подставляя все эти величины в равенство (56), получим

Отсюда определим хс.

Для координаты ус аналогичную формулу найдем, беря моменты относительно оси Ох. Чтобы определить zc, повернем опять все силы, сделав их параллельными оси Оу, и применим к этим силам (изображенным пунктиром с точками) теорему Вариньона, беря моменты относительно оси Ох. Это даст:

откуда определим zc.

Окончательно получим следующие формулы для координат центра параллельных сил:

	и тогда			=	∑
					∑
				=	∑
					∑
					∑
Или можно переписать		следующим образом:
				=	∑
			=
				=	∑
					∑
				=	∑
					∑
					∑
Центром тяжести твердого			тела называется неизменно связанная с этим
				=	∑

телом точка, через которую проходит линия действия равнодействующей линии тяжести, действующего на частицы данного тела, при любом положении тела в пространстве.

КООРДИНАТЫ ЦЕНТРОВ ТЯЖЕСТИОДНОРОДНЫХ ТЕЛ

Для однородного тела весpk любой его части пропорционаленобъему vk этой части: а вес Р всего тела пропорционален объему V этого тела, т. е.

, где у — вес единицы объема.

Подставив эти значения Р и pk в формулы , заметим, что во всех суммах у как общий множитель выносится за скобки и сокращается с у в знаменателе. В результате из формул (59) получим:

Как видно, положение центра тяжести однородного тела зависиттолько от его геометрической формы, а от величины у не зависит. По этой причине точку С, координаты которой определяются формулами (60), называют центром тяжести объема V.

Путем аналогичных рассуждений легко найти, что если тело представляет собой однородную плоскую и тонкую пластину, то для нее

где S — площадь всей пластины; sk — площади ее частей.

Точку, координаты которой определяются формулами, называют центром тяжести площади S.

Точно так же получаются формулы для координат центра тяжести линии:

где L — длина всей линии; lk— длины ее частей.

По формулам можно находить центры тяжести изделий из тонкой проволоки постоянного сечения.

Таким образом, центр тяжести однородного тела определяется, как центр тяжести соответствующего объема, площади или линии.

Разбиение. Если тело можно разбить на конечное числотаких частей, для каждой из которых положение центра тяжести известно, то координаты центра тяжести всего тела можно непосредственно вычислить по формулам. При этом число слагаемых в каждой из сумм будет равно числу частей, на которые разбито тело.