Вопрос 1. Определение первообразной и её свойства

Пусть функция  задана на некотором интервале  . Если найдётся такая функция  , что при всех  имеет место равенство

то функция  называется первообразной для функции  .

        Пример 1.1   Рассмотрим функцию  на всей числовой оси   -- на интервале  . Тогда функция   -- это первообразная для  на  .

Для доказательства найдём производную от  :

Поскольку равенство верно при всех  , то   -- первообразная для  на  .     

Аналогичное определение дадим и для случая, когда функция  задана не на одном интервале, а на объединении нескольких непересекающихся интервалов:

Назовём функцию  первообразной для  , если при всех  выполнено равенство  .

Правило ингрирования:

Основные правила интегрирования.1. Вынесение функции из-под знака дифференциала.Пример:2. Внесение функции под знак дифференциала. , где  , т.е. является первообразной .Пример:[ Найдем первообразную функции   ]Итог: 

Вопрос 2.

Интегрирование путем подведения под знак дифференциала

Необходимо иметь в виду простейшие преобразования дифференциала

В общем случае:

'(x)dx=d(x)

Вопрос 3.

Интегрирование по частям

Пусть u(x) иv(x) являются дифференцируемыми функциями. Дифференциал произведения функцийuиvопределяется формулой

Проинтегрировав обе части этого выражения, получим

или, переставляя члены,

Это и есть формула интегрирования по частям.

   Пример 1

Вычислить интеграл .

Решение.

Используем формулу интегрирования по частям . Пусть. Тогда

      

Следовательно,

      

Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим интегралы вида

, где  — рациональная функция.

Такие интегралы всегда рационализируются подстановкой . В самом деле,

Выразим далее переменную  через переменную . Так как

, то , а поэтому .

Значит

Таким образом, задача свелась к вычислению интеграла от рациональной функции. Поскольку подстановка  — позволяет рационализировать любой интеграл вида , то её называютуниверсальной подстановкой. Любой интеграл этого вида выражается через элементарные функции.

Вопрос 4.

 Интегрирование рациональных функций

Для интегрирования рациональной функции , гдеP(x) иQ(x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов:

1. Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степениQ(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;

2. Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;

3. Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;

4. Вычислить интегралы от простейших дробей.

Пример 1

Вычислить интеграл .

Решение.

Сначала выделим правильную рациональную дробь, разделив числитель на знаменатель.

      

Получаем

      

Интегрирование иррациональных функций

Для интегрирования иррациональной функции, содержащей используется подстановка.  Чтобы проинтегрировать иррациональную функцию, содержащую несколько рациональных степеней x, применяется подстановка в форме, где n полагается равным наименьшему общему кратному знаменателей всех дробных степеней, входящих в данную функцию.  Рациональная функция x под знаком корня n-ой степени, т.е. выражение вида, интегрируется с помощью подстановки.

Найти интеграл .

Решение.

Сделаем подстановку:

      

Вычислим интеграл