Содержание работы.

1. Найти оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины X.

2. Найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, соответствующие заданной доверительной вероятности.

3. Оценить вероятность попадания случайной величины X в заданный интервал.

4. Для этой вероятности найти доверительный интервал, соответствующий заданной доверительной вероятности.

5. Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения случайной величины X.

6. Найти и построить доверительные области для плотности распределения f(x) и функции распределения F(x), соответствующие заданной доверительной вероятности.

7. Сгладить гистограмму и эмпирическую функцию распределения подходящим законом распределения.

8. Используя критерий согласия χ² и Колмогорова проверить правдоподобие гипотезы о совпадении выбранного закона распределения с истинным законом при заданном уровне значимости.

Задание к Курсовой работе:

вариант №8.

В ста случаях зарегистрировано время (в сек.) обнаружения цели оператором радиолокационной станции с момента её появления в зоне РЛ:

Таблица 1.

13,5	25,5	53,5	10,5	10,0	23,0	17,5	13,5	3,0	12,5
8,0	59,0	1,5	1,5	0,0	27,0	42,5	15,0	19,5	21,5
7,5	29,5	1,5	71,5	35,0	5,0	41,0	35,5	32,0	33,5
8,5	14,5	21,5	142,5	1,5	8,5	92,5	21,0	13,0	1,5
44,0	11,0	15,5	3,0	12,5	0,0	14,5	85,0	121,0	11,0
15,5	39,5	58,5	0,0	50,5	27,5	16,0	19,0	6,5	8,0
21,0	158,0	0,0	16,0	26,0	51,0	3,5	31,5	12,0	34,0
33,5	14,5	8,5	2,0	10,5	48,0	56,0	45,5	13,0	4,5
83,5	3,5	29,0	66,0	10,5	10,0	14,0	0,0	2,5	13,0
10,0	29,0	32,5	48,0	9,5	21,0	49,5	15,0	39,5	32,5

Требуется выполнить пункты 1-8, указанные в разделе «Содержание работы».

Решение.

1. Находим точечные оценки математического ожидания и дисперсии, учитывая, что n=100, по формулам:

	выборочное среднее:	;	(1)
	исправленная дисперсия:	;	(2)
	выборочная дисперсия:	.	(3)
Получили значения:

;

2. Рассчитываем доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии по формулам:

для математического ожидания

,

;

(4)

для дисперсии

,

.

(5)

В этих формулах верхний знак относится к нижней границе доверительного интервала, а нижний знак – к верхней границе. Величина находится из условия:

,

,

(6)

где - функция Лапласа.

Заданное значение доверительной вероятности . Тогда получим:

= 0,95/2 = 0,475.

Таким образом, зная значение функции Лапласа, по таблице значений функции Лапласа определяем =1,96. И следовательно искомые доверительные интервалы будут иметь вид:

= = 20,98; = = 32,22.

20,98 < MX < 32,22.

= = 636,00; = = 1115,94.

636,00 < DX < 1115,94.

3. Находим точечную оценку вероятности попадания случайной величины X в интервал по формуле:

.

(7)

Так как в этот интервал попало m = 10 экспериментальных значений, то искомая оценка будет равна:

= 0,01.

4. Рассчитаем доверительный интервал для вероятности P, оценённой в предыдущем пункте по формуле:

,

.

(8)

В этом случае доверительная вероятность равна = 0,9. Тогда по формуле (6) и таблице функций Лапласа получим = 1,65, и искомый интервал имеет вид:

= 0,002	0,002 < P < 0,044.
= 0,044

5. Графической оценкой плотности распределения f(x) является гистограмма Г(x). Строится она следующим образом. На ось абсцисс наносятся экспериментальные точки, заполняющие в совокупности некоторый интервал (X₀, X_r). Этот интервал делится на более мелкие интервалы (X_i-1,X_i), i = 1,2, ... , r, называемые класс-интервалами или разрядами. Далее на каждом разряде по оси ординат откладывают величину , где n – число экспериментальных точек, попавших в этот разряд (X_i-1,X_i), а - его длина. В нашем случае заключаем все экспериментальные данные в интервал (0,160) и разбиваем его на десять равных разрядов, каждый длиной 16.

Частота попадания экспериментальных точек в разряд гистограммы:

,

i = 1,2, ... , r.

(9)

После соответствующих расчетов получаем следующую таблицу:

Таблица 2.

Разряд (Xi-1, Xi).	Частота попадания случайной величины X в разряд (Xi-1, Xi).	Значение гистограммы Г(x)
( 0;16 )	0,51	0,031875
( 16;32 )	0,18	0,011250
( 32;48 )	0,14	0,008750
( 48;64 )	0,09	0,005625
( 64;80 )	0,02	0,001250
( 80;96 )	0,03	0,001875
( 96;112 )	0,00	0,000000
( 112;128 )	0,01	0,000625
( 128;144 )	0,01	0,000625
( 144;160 )	0,01	0,000625

По данным таблицы 2 строим график гистограммы (см. рис.1).

Графической оценкой функции распределения F(x) является эмпирическая функция распределения:

,

(10)

где n_x – число экспериментальных точек, лежащих левее x;

n - общее число экспериментальных точек.

По формуле (10) рассчитываем соответствующую эмпирическую функцию, и полученные значения сводим в таблицу:

Таблица 3.

Экспериментальные значения, x.	Число экспериментальных точек левее x, (nx).	Эмпирическая функция распределения, .
0,00	0	0
1,50	5	0,05
2,00	10	0,1
2,50	11	0,11
3,00	12	0,12
3,50	14	0,14
4,50	16	0,16
5,00	17	0,17
6,50	18	0,18
7,50	19	0,19
8,00	20	0,2
8,50	22	0,22
9,50	25	0,25
10,00	26	0,26
10,50	29	0,29
11,00	32	0,32
12,00	34	0,34
12,50	35	0,35
13,00	37	0,37
13,50	40	0,4
14,00	42	0,42
14,50	43	0,43
15,00	46	0,46
15,50	48	0,48
16,00	50	0,5
17,50	52	0,52
19,00	53	0,53
19,50	54	0,54
21,00	55	0,55
21,50	58	0,58
23,00	60	0,6
25,50	61	0,61
26,00	62	0,62
27,00	63	0,63
27,50	64	0,64
29,00	65	0,65
29,50	67	0,67
31,50	68	0,68
32,00	69	0,69
32,50	70	0,7
33,50	72	0,72
34,00	74	0,74
35,00	75	0,75
35,50	76	0,76
39,50	77	0,77
41,00	79	0,79
42,50	80	0,8
44,00	81	0,81
45,50	82	0,82
48,00	83	0,83
49,50	85	0,85
50,50	86	0,86
51,00	87	0,87
53,50	88	0,88
56,00	89	0,89
58,50	90	0,9
59,00	91	0,91
66,00	92	0,92
71,50	93	0,93
83,50	94	0,94
85,00	95	0,95
92,50	96	0,96
121,00	97	0,97
142,50	98	0,98
158,00	99	0,99

По данным таблицы 3 строим эмпирическую функцию распределения (см. рис.2).