Лекції з вищої математики

Лекцiї з курсу лiнiйної алгебри (2 семестр)

для студентiв заочної форми навчання

I.О. Рокiцький

За навчальним планом на цей семестр видiлено 8 лекцiйних годин. Тому для виконання навчальної програми курсу планується провести таких 4 лекцiї:

Лекцiя 1: Системи лiнiйних рiвнянь та їх розв’язування методом виключення невiдомих

Лекцiя 2: Вектори, лiнiйнi комбiнацiї та їх зв’язок з системами лiнiйних рiвнянь. Лiнiйна незалежнiсть

Лекцiя 3: Матрична алгебра Лекцiя 4: Детермiнанти

Вiнниця 2010

1

Лекцiя 1: Системи лiнiйних рiвнянь та їх розв’язування методом виключення невiдомих

План:

Вступ.

Поняття системи лiнiйних рiвнянь та супутнi йому поняття розв’язку, еквiвалентних (рiвносильних) систем, розв’язування лiнiйних систем, елементарних перетвореннь системи, головної i розширеної матриць системи.

Два фундаментальних питання, якi стосуються систем лiнiйних рiвнянь.

Схiдчаста (ступiнчаста) форма матрицi та єдинiсть зведеної схiдчастої форми.

Метод Гаусса (виключення невiдомих) розв’язування лiнiйних систем. Рядковоредукцiйний алгоритм.

1.Вступ

ЛIТЕРАТУРА: а) основна:

1.Завало С.Т., Костарчук В.М., Хацет Б.I. Алгебра i теорiя чисел. Ч.1. - К.: Вища школа, 1974. - 464 с.

2.Завало С.Т., Костарчук В.Н., Хацет Б.И. Алгебра и теория чисел. Ч.1. - К.: Высшая школа, 1977. - 400 с.

3.Завало С.Т., Курс алгебри, К., "Вища школа 1985. – 503 с.

4.Калужнiн Л.А., Вишенський В.А., Шуб Ц.О. Лiнiйнi простори.- К.: Вища школа, 1971. - 344 с.

5.Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979. - 560 с.

6.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. - М.: Наука, 1974. - 296 с.

7.Гельфанд Н.М. Лекции по линейной алгебре. - М.: 1966. - 280 с.

8.Завало С.Т., Левiщенко С. С., Пилаєв В.В., Рокiцький I.О. Алгебра i теорiя чисел. Практикум. Ч.1. - К.: Вища школа, 1983. - 232 с.

9.За редакцiєю Рокiцького I.О.Збiрник задач з алгебри. Ч.1. -Вiнниця : ВДПУ, 2002. -177 с. free web: http : ==www:geocities:com=rokitski@sbcglobal:net=zbirnykyzadach:htm

10.Заредакцiєю Рокiцького I.О. Збiрник задач з алгебри. Ч.2. -Вiнниця : ВДПУ, 2003. -199 с. http : ==www:geocities:com=rokitski@sbcglobal:net=zbirnykyzadach:htm

б) додаткова:

11.David C. Lay Linear algebra and its Applications, 3-rd ed., Boston, 2005. - 560 p. free web: www:laylinalgebra:com

12.Курош А.Г. Курс высшей алгебры, -М.: Наука, 1971.- 432 с. (є в iнтернетi)

13.Гарвацький В.С. Лiнiйнi вiдображення та оператори векторних просторiв. - Вiнниця, 2005. - 228 с.

14.Гарвацький В.С., Панасюк I.О., Попенко Л.В. Лiнiйна алгебра, ч.II, Практикум, Вiнниця, 2007. - 157 с.

15.Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. - М.: Наука, 1972. - 160 с.

16.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Наука, 1974. - 384 с. (є в iнтернетi)

17.Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. - М.: Наука, 1975. - 320 с. (є в iнтернетi)

2

Засновником лiнiйної алгебри фактично є Герман Гюнтер Грасман (1809 -1877) нiмецький математик, який народився i прожив майже все своє життя у мiстi Щецiнi. Вiн був одним з 12 дiтей у батька, одружився у 40 рокiв i залишив пiсля себе 11 дiтей. Три роки вiн вивчав теологiю i фiлософiю у Берлiнському унiверситетi, а з 1832 року самостiйно вивчав математику i у 1840 роцi витримав екзамен на звання учителя математики. Все життя далi вiн працював учителем математики. У своїх працях Грасман Г.Г. першим розглядав вектори без зв’язку їх з точками (як у геометрiї) чи з силою, швидкiстю або прискоренням (як у фiзицi).

(Дивись детальнiше: Бородiн О.I., Бугай А.С. Бiографiчний словник дiячiв у галузi математики, К., "Радянська школа 1973 та Desmond Fearnley-Sander, Hermann Grassman and the creation of linear algebra, American Mathematical Mounthly, v.86,1979.pp. 809-817.)

Основним предметом вивчення у лiнiйнiй алгебрi є векторнi простори та їх лiнiйнi перетворення. Системи лiнiйних рiвнянь лежать в серцi лiнiйної алгебри i завдяки застосуванню комп’ютерiв до розв’язування лiнiйних систем та аналiзу математичних моделей важливiсть лiнiйної алгебри зростала в прямiй пропорцiйнiй залежностi з зростанням потужностi комп’ютерiв, з кожною новою генерацiєю жорстких дискiв i програмного забезпечення. Тому комп’ютерна наука є складовою частиною ланцюга з лiнiйною алгеброю у зв’язку з бурхливим паралельним ростом обробок даних i великомасштабнiстю обчислень.

Вченi i iнженери тепер працюють над проблемами навiть бiльш комплексними нiж мрiяли кiлька десятилiть назад. Сьогоднi лiнiйна алгебра має бiльше потенцiальне значення для студентiв у багатьох наукових i бiзнесових полях дiяльностi нiж будь-який iнший математичний предмет.

2.Поняття системи лiнiйних рiвнянь та супутнi йому поняття розв’язку, еквiвалентних (рiвносильних) систем, розв’язування лiнiйних систем, елементарних перетвореннь системи, головної i розширеної матриць системи. ([1], стор. 254 – 267)

Лiнiйним рiвнянням вiд n невiдомих (змiнних) x1; x2; :::xn над числовим полем P називають вираз, який можна записати у видi

a1x1 + a2x2 + ::: + anxn = b;

(1)

де вiльний член b i коефiцiєнти a1; a2; :::; an є вiдомi елементи з поля P. Iндекс може бути будь-яким додатним цiлим числом. В прикладах, якi ми будемо розглядати у лекцiях цей iндекс як правило змiнюється мiж 2 i 5. В реальних життєвих проблемах n може бути рiвним 20, 500 та навiть бiльшим.

Множиною розв’язкiв лiнiйного рiвняння (1) називається множина всiх упорядкованих n-ок чисел, якi записують у видi ( 1; 2; : : : ; n), i при пiдстановцi яких замiсть вiдповiдних невiдомих, отримуємо вiрну числову рiвнiсть. Так, вам вiдомо, що множиною розв’язкiв лiнiйного рiвняння x2 4x + 3 = 0 є f1; 3g, а множина розв’язкiв лiнiйного рiвняння x y = 0 є нескiнченною i її можна записати так f(x; y)jx = y; x; y 2 Rg, тобто, це всi точки координатної площини, у яких рiвнi координати (геометрично - це бiсектриса першого i третього координатного кутiв).

Системою m лiнiйних рiвнянь вiд n невiдомих x1; x2; :::xn (коротко: лiнiйною системою) над множиною чисел з поля P називають набiр (сукупнiсть) з m лiнiйних рiвнянь вiд цих n змiнних, для яких поставлене завдання знайти їх спiльну множину розв’язкiв. У загальнiй формi таку систему рiвнянь прийнято записувати так:

8	a21x1	+	a22x2	+		+	a2nxn	=	b2	;	(2)
>	a11x1	+ a12x2		+		+ a1nxn		=	b1	;
>
<
> am1x1		+ am2x2		+		+ amnxn		=	bm:
>

:

3

Для позначення коефiцiєнтiв при невiдомих тут вжита подвiйна iндексацiя, i тут перше число означає номер рiвняння, а друге – iндекс невiдомого. У шкiльнiй математицi ви, як правило, розглядали системи двох чи трьох рiвнянь з двома невiдомими. До розв’язування таких систем зводилися деякi вiдомi вам текстовi задачi (на рух, спiльну роботу, сумiшi речовин тощо).

Множиною розв’язкiв системи (2) m лiнiйних рiвнянь вiд n невiдомих називають множину всiх упорядкованих n-ок дiйсних чисел, якi є розв’язками кожного з рiвнянь системи.

Розв’язати систему лiнiйних рiвнянь – це означає знайти множину її розв’язкiв. Якщо множина розв’язкiв системи є порожною (говорять, що система не має розв’язкiв), то її називають несумiсною. Якщо ж множина розв’язкiв системи є непорожною, тобто система має розв’язки (один чи бiльше), то її називають сумiсною. Якщо система має єдиний розв’язок, то її називають визначеною. Якщо ж система має бiльше одного розв’язку, то її називають невизначеною.

У шкiльнiй математицi ви могли порiвняно легко дати вiдповiдь на запитання про множину розв’язкiв системи лiнiйних рiвнянь, яка мiстить 2 невiдомих. Для цього ви будували графiк кожного з рiвнянь системи (це були прямi лiнiї) i шукали їх перетин. Наприклад, система

x1		x2	=	1;
x1		x2	=	3

є несумiсною, оскiльки вiдповiднi прямi паралельнi. Системи

x1		x2	=	1;	i
x1	+	3x2	=	5
	x1	+	x2	=	1;
	3x1	+	3x2	=	3

є сумiсними, причому перша має єдиний розв’язок (прямi перетинаються в однiй точцi) (2; 1), тобто вона є визначеною, а друга має безлiч розв’язкiв (прямi спiвпадають) i є невизначеною.

У випадку системи рiвнянь вiд трьох змiнних можна також застосувати геометричнi образи. При цьому ми будемо мати справу з площинами у нашому звичайному тривимiрному просторi i такi iлюстрацiї можна також застосовувати.

Проте при бiльшому трьох числi змiнних у рiвняннях системи рисунки вже не допомагають. Тому потрiбен алгебраїчний спосiб знаходження множини розв’язкiв системи. Узагальненням вiдомого з школи способу алгебраїчного додавання є метод виключення невiдомих, описаний далi. При цьому потрiбно виконувати деякi перетворення рiвнянь системи i природно виникає питання, чи не приводять такi перетворення до змiни множини розв’язкiв системи.

Двi лiнiйнi системи вiд одних i тих же невiдомих називаються рiвносильними (еквiвалентними), якщо множини їх розв’язкiв однаковi. Те, що двi системи рiвносильнi, означає, що кожен розв’язок першої системи є розв’язком другої i навпаки.

У шкiльнiй математицi ви приймали на вiру (без доведення, як постулат), що множення обох частин рiвняння на вiдмiнне вiд нуля число не змiнює множини його розв’язкiв та додавання почленно одного рiвняння системи до iншого рiвняння цiєї системи не змiнює множини розв’язкiв системи. Ми будемо також застосовувати подiбнi перетворення рiвнянь системи, але для строгостi мiркувань нам потрiбно довести, що такi перетворення є законними, тобто, що пiсля таких перетворень отримуємо систему рiвнянь рiвносильну данiй.

4

Базисною стратегiєю для розв’язування систем лiнiйних рiвнянь є замiна її на еквiвалентну систему (тобто, з тiєю ж множиною розв’язкiв), яка розв’язується простiше.

Грубо кажучи, схема для досягнення успiху у такiй стратегiї є такою: використовуючи змiнну x1 в першому рiвняннi системи виключаємо її з iнших рiвнянь. Потiм використовуючи змiнну x2 в другому рiвняннi виключаємо її з iнших рiвнянь (крiм першого) i так поступаємо до тих пiр поки нарештi отримаємо дуже просту еквiвалентну систему рiвнянь.

ОЗНАЧЕННЯ

Елементарними перетвореннями системи лiнiйних рiвнянь будемо називати:

1.Замiну одного рiвняння на суму цього рiвняння з домноженим на деяке число iншим рiвнянням.

2.Перестановку мiсцями двох рiвнянь у записi системи.

3.Множення обох частин рiвняння на вiдмiнну вiд нуля константу.

Легко довести наступну теорему.

ТЕОРЕМА 1.

У результатi виконання будь-якої послiдовностi елементарних перетворень над системою лiнiйних рiвнянь отримуємо рiвносильну їй систему.

Звернемо увагу на те, що система лiнiйних рiвнянь повнiстю визначається коефiцiєнтами рiвнянь при невiдомих i вiльними членами. Справдi, для кожної системи, наприклад, двох рiвнянь з двома невiдомими

x1		x2	=	1;
x1		x2	=	3;

ми можемо скласти прямокутну числову таблицю з коефiцiєнтiв та вiльних членiв

1	2	1	:
1	2	3

Навпаки, за такою таблицею легко вiдновити вихiдну систему рiвнянь. Такi числовi таблицi називають матрицями.

Для заданої системи лiнiйних рiвнянь (2) запишемо коефiцiєнти кожного невiдомого в стовпцi. Отримана числова таблиця

2	a21	a22		a2n 3:
6	a11	a12		a1n	7
6 am1		am2		amn	7
4					5

називається матрицею коефiцiєнтiв (або головною матрицею ) системи (2)(часто у позначеннi вживають круглi дужки). Говорять, що вона має розмiр m n (читається: m на n), де перше число вказує кiлькiсть рядкiв, а друге – кiлькiсть стовпцiв матрицi. Про елементи a11; a22; : : : ; amm говорять, що вони знаходяться на головнiй дыагоналi цiєї матрицi. Матриця, отримана з головної, приписуванням пiсля риски стовпця вiльних членiв

2	a21	a22		a2n	b2	3
6	a11	a12		a1n	b1	7
6 am1		am2		amn	bm	7
4						5

називається розширеною матрицею системи.

Взагалi, m n матрицею називається прямокутна таблиця чисел з m рядками i n стовпцями (число рядкiв завжди стоїть першим). Поняття матрицi буде значно спрощувати обчислення в прикладах, якi ми будемо розглядати далi.

5

Елементарним перетворенням системи лiнiйних рiвнянь вiдповiдають 3 елементарнi перетворення розширеної матрицi системи рiвнянь.

Це поняття узагальнюється для будь-якої прямокутної матрицi.

Елементарними перетвореннями над рядками матрицi є:

1.(Замiщення) Замiна одного рядка сумою себе i помноженого на деяке число iншого рядка.

2.(Перестановка) Перестановка двох рядкiв мiсцями.

3.(Масштабування) Множення всiх елементiв в рядку на ненульову константу.

Ми говоримо, що двi матрицi рядково еквiвалентнi, якщо iснує послiдовнiсть елементарних перетворень над рядками, яка перетворює одну матрицю в iншу.

Важливо вiдзначити, що рядковi перетворення є оборотними. Справдi, якщо два рядки переставленi, то вони можуть бути повернутi в їх вихiдну позицiю iншим перемiщенням. Якщо рядок помножено на ненульову константу c, то тодi помножаючи новий рядок на 1c отримаємо вихiдний рядок. Нарештi, розглянемо замiщення, яке залучає два рядки ( скажiмо, перший i другий рядки). Припустимо, що в процесi отримання нового рядка перший рядок помножений на c додано до другого рядка. Тодi "оберненим" до цього перетворення є додавання помноженого на c першого рядка до (нового) другого рядка. У результатi отримаємо вихiдний другий рядок.

3.Два фундаментальних питання, якi стосуються систем лiнiйних рiвнянь.

При розв’язуваннi будь-якої системи лiнiйних рiвнянь виникають цiлком природно

Два фундаментальних (основних) питання про лiнiйну систему

1.Чи є система сумiсною, тобто, чи має вона хоча б один розв’язок?

2.Якщо розв’язок iснує, то чи є вiн тiльки один, тобто, чи є розв’язок єдиним?

Цi два запитання будуть з’являтися впродовж вивченя лiнiйної алгебри в багатьох рiзних варiантах (формах). У цiй лекцiї ми покажемо, як вiдповiсти на цi запитання за допомогою перетворення рядкiв розширеної матрицi.

ПРИКЛАД 1. Встановити, чи є сумiсною наступна система:

8	x1		2x2	8x3		= 8;
<			2x2	+	x3	=	0;
	4x1	+	5x2	+	9x3	=	9:
:

Розв’язання. Будемо записувати поряд з системою її розширену матрицю. Замiнимо третє рiвняння на суму його з, помноженим на 4, першим рiвнянням (по iншому: додамо до третього рiвняння перше, помножене на 4). Отримаємо

8	x1		2x2	8x3		=		8;	2 0	2		8		8 3
<			2x2	+	x3	= 0;			1		2	1		0
			3x2	+	13x3	=		9:	0		3	13		9
:									4					5

Тепер подiлимо друге рiвняня на 2:

8	x1		x2	4x3		=		4;	2 0	1		4		4 3
<			2x2	+	x3	= 0;			1		2	1		0
			3x2	+	13x3	=		9:	0		3	13		9
:									4					5

Додамо до третього рiвняння друге, помножене на 3. Ми отримали систему, про яку говорять, що вона має трикутну форму (тут всi елементи пiд головною дiагоналлю рiвнi нулю):

8		x2	+	4x3	= 4;		2	0	1	4	4 3
x1		2x2		x3	=	0;		1	2	1	0
<				x3	=	3:	4	0	0	1	3
:											5

6

З останнього рiвняння ми знаходимо x3. Далi, пiдставляючи значення x3 в друге рiвняння, ми можемо вирахувати x2 i, тому, могли б визначити x1 з першого рiвняння. Отже, розв’язок iснує; система сумiсна. Невiдоме x2 однозначно визначається з другого рiвняння, оскiльки x3 має тiльки одне можливе значення, i x1 однозначно визначається з першого рiвняння. Фактично ми отримали вiдповiдь i на друге запитання: система має єдиний розв’язок.

Звернiть увагу:

Паралельний запис розв’язку прикладу та розширеної матрицi системи показує, що елементарнi перетворення можна виконувати тiльки над розширеною матрицею i потiм повернутися до загального запису системи.

ПРИКЛАД 2. Встановити, чи є наступна система сумiсною:

8	2x1		3x2	+	2x3	=	1;	(3)
<			x2		4x3	=	8;
	5x1		8x2	+ 7x3		= 1:
:

Роз’вязання. Розширена матриця системи є

23

4	0	1	4	8	5
	2	3	2	1		:
	5	8	7	1

Помiнявши мiсцями перший i другий рядки цiєї матрицi, отримаємо:

23

4	2	3	2	1	5:
	0	1	4	8
	5	8	7	1

Далi ми шляхом елементарних перетворень зведемо її до простiщого виду. Для цього спочатку помножимо третiй рядок на 2 i додамо до нього перший, помножений на -5:

23

4	2	3	2	1	5:
	0	1	4	8
	0	1	4	3

Нарештi додамо другий рядок до третього i отримаємо:

23

2	3	2	1	5:
4 0	1	4	8		(4)

00 0 5

Iнтерпретуючи розширену матрицю коректно, повернемося назад до рiвнянь:

8		x2	+	4x3	=	8;	(5)
2x1		3x2		2x3	= 1;
<				0	=	5:
:

Рiвнiсть 0 = 5 є короткою формою вiд 0x1 + 0x2 + 0x3 = 5. Ця система, очевидно, має внутрiшнє протирiччя. Не iснує значень x1; x2; x3 таких, що задовольняють (5), так як рiвнiсть 0 = 5 є хибною. Оскiльки (5) i (3) мають однакову множину розв’язкiв, то вихiдна система є несумiсною (тобто, не має розв’язкiв).

Як бачимо з розглянутих прикладiв, вiдповiдь на два фундаментальних питання про систему рiвнянь можна отримати, працюючи тiльки з розширеною матрицею системи.

7

4.Ступiнчаста (схiдчаста) форма матрицi та єдинiсть зведеної ступiнчастої (схiдчастої) форми.

Опишемо алгоритм зведення рядкiв матрицi так, щоб дати можливiсть нам аналiзувати будь-яку систему лiнiйних рiвнянь. Наш алгоритм є варiантом, який називають Гауссовим виключенням. Подiбний метод виключення для лiнiйних систем був використаний китайськими математиками близько 250 н.е. Процес був невiдомий в захiднiй культурi до 19 столiття, коли вiдомий нiмецький математик Карл Фрiдрiх Гаусс перевiдкрив його. Нiмецький iнженер Вiльгельм Жордан популяризував алгоритм у 1888 роцi в пiдручнику з геодезiї. Використовуючи тiльки першу частину алгоритму, ми будемо спроможнi вiдповiсти на фундаментальнi питання про iснування i єдинiсть, якi були поставленi вище.

Алгоритм застосовується до будь-якої матрицi розглядається вона чи нi, як розширена матриця для лiнiйної системи. Тому перша частина цього викладу стосується довiльної прямокутної матрицi. В означеннях, наведених нижче, ненульовий рядок або стовпець у матрицi означає рядок або стовпець, який мiстить хоча б один вiдмiнний вiд нуля елемент; ведучий елемент рядка – це крайнiй злiва ненульовий елемент (перший у ненульовому рядку).

ОЗНАЧЕННЯ.

Говорять, що прямокутна матриця записана в ступiнчастiй формi (або рядково ступiнчастiй формi), якщо вона має наступнi три властивостi:

1.Всi ненульовi рядки знаходяться вище вiд всiх нульових рядкiв.

2.Кожний ведучий елемент у рядку знаходиться в стовпцi справа вiд ведучого елемента у рядку над ним.

3.Всi елементи в стовпцi нижче ведучого елемента рядка є нулями.

Якщо матриця в ступiнчастiй формi задовольняє наступним додатковим умовам, то говорять, що вона має зведену ступiнчасту форму (або у зведенiй рядковiй ступiнчастiй формi):

4.Ведучий елемент у кожному ненульовому рядку є 1.

5.Кожна ведуча 1 є тiльки одним ненульовим елементом в стовпцi.

Ступiнчаста матриця (вiдповiдно, зведена ступiнчаста матриця) є матриця записана у вiдповiднiй формi. Властивiсть 2 говорить, що ведучi елементи утворюють схiдцi("сходинки"), якi рухаються вниз i вправо по матрицi. Властивiсть 3 просто випливає з властивостi 2, але ми включили її для пiдсилення. У наведених вище прикладах розширенi матрицi були перетворенi до ступiнчастої форми, причому у першому випадку до зведеної ступiнчастої форми. Загальний вигляд матриць у ступiнчастiй формi є, наприклад, таким:

0	0				1	;
B					C
	0	0	0	0
B	0	0	0	0	C
@					A

0 0		0	0	1
B	0										C
	0 0 0 0				0
B	0	0	0	0							C
B											C
B	0 0		0 0		0	0	0	0			C
@											A

Ведучi елементи (помiченi затушованим квадратом) можуть мати будь-яке ненульове значення; помiченi зiрочкою елементи можуть мати будь-яке значення (включаючи нуль). Наступнi матрицi є в зведенiй ступiнчастiй формi тому, що ведучими елементами є 1 i стоять 0 вище i нижче кожної ведучої 1.

	0	1					2	0	0	0	1	0	0	0 3
2	1	0	3				6	0	1		0	0	0			0		7
	0	0				;		0	0	0	0	1	0			0			:
6			0	0	7			0	0	0	0	0	1			0
							6											7
6	0	0	0	0	7		6	0	0	0	0	0	0			1		7
4					5		6							0	0			7
							4											5

8

Будь-яка ненульова матриця може бути зведена (тобто, перетворена) елементарними перетвореннями рядкiв в бiльш нiж одну матрицю у ступiнчастiй формi при використаннi рiзних послiдовностей рядкових перетворень. Проте, має мiсце така теорема:

ТЕОРЕМА 2. Єдинiсть зведеної ступiнчастої форми

Кожна матриця рядково еквiвалентна однiй i тiльки однiй зведенiй ступiнчастiй формi.

Пропонуємо довести її як вправу.

Наведемо ще кiлька важливих означень.

ОЗНАЧЕННЯ.

Опорна (ведуча,головна - англiйське слово pivot) позицiя в матрицi є мiсце в A, яке вiдповiдає ведучiй одиницi в зведенiй ступiнчастiй формi для A. Опорний стовпець

єстовпець в A, який мiстить опорну позицiю.

Узагальному виглядi ступiнчастої форми зображеної вище квадрати iдентифiкуються з опорними позицiями. Багато фундаментальних понять лiнiйної алгебри пов’язанi тим чи iншим шляхом з опорними позицiями в матрицi.

Ведучий (опорний, головний) елемент в матрицi A є вiдмiнне вiд нуля число в опорнiй позицiї, яке використовується для створення нулiв шляхом застосування рядкових перетворень. Рiзнi послiдовностi рядкових перетворень можуть залучати рiзнi множини опорних елементiв.

ПРИКЛАД 3. Рядковими перетвореннями звести матрицю A до ступiнчатої форми i визначити опорнi стовпцi для A.

2 1 2 1				3	1 3		:
6	0	3	6	4	9	7
	2	3	0	3	1
6						7
4						5

14 5 9 7

Роз’вязання. Застосуємо базисну стратегiю. Вершина крайнього злiва ненульового стовпця є першою опорною позицiєю. У нiй повинен бути ненульовий елемент i тому хорошим вибором є поставити на перше мiсце 4-й рядок (оскiльки уснi обчислення в наступних кроках не будуть залучати дроби).

# Опорна позицiя

2

3

14 5 9 7

6		0	3	6	4		9	7	:
	1		2	1	3		1
6		2	3	0	3		1	7
4								5

" Опорний стовпець

Утворимо нулi пiд опорною позицiєю у якiй стоїть 1. Для цього замiнимо 3-й рядок його сумою з першим, а 4-й – його сумою з першим, що помножений на 2. Отримаємо матрицю

2	0	3	6	4	9	3	;
6	1	4	5	9	7	7
	0	2	4	6	6
6						7
4						5

05 10 15 15

або пiсля пiсля дiлення третього i четвертого рядкiв вiдповiдно на 2 i 5:

2

3

14 5 9 7

6	0	1	2	3		3 7:
6	0	3	6		4	9	7
	0	1	2		3	3
4							5

9

Опорна позицiя в другому рядку повинна бути як можна далi налiво, а саме в другому стовпцi. Тут є можливiсть вибирати у цьому мiсцi 1 як наступний опорний елемент, коли переставити, наприклад, другий i четвертий рядки.

# Опорна

2	0	1			2	3	3	3	:	(1)
6	1		4		5	9	7	7
	0		1		2	3	3
6	0		3		6	4	9	7
4								5

" Наступний опорний стовпець

Утворимо нулi пiд другою ведечою одиницею, використовуючи елементарнi перетворення рядкiв матрицi. Отримаємо матрицю

2	0	1	2	3		3	3	:	(2)
6	1	4	5	9		7	7
	0	0	0		0	0
6	0	0	0		5	0	7
4							5

Матриця в (2) є вiдмiнною формою вiд зустрiнутої ранiше. Не iснує шляху щоб створити ведучий елемент у третьому стовпцi! (Ми не можемо застосувати рядки 1 або 2 тому, що працюючи так, ми могли б порушити ступiнчасте розташування уже здобутих ведучих елементiв.) Разом з тим, якщо ми помiняємо мiсцями 3-й i 4-й рядки, то ми можемо отримати ведучий елемент у 4-му стовпцi. Отримаємо ступiнчасту форму:

# Опорна

2	0	1	2	3	3	3	: Загальна форма	2	0					3
6	1	4	5	9	7	7		6						7
	0	0	0	-5	0				0	0	0
6	0	0	0	0	0	7		6	0	0	0	0	0	7
4						5		4						5

"" " Опорнi стовпцi

Матриця є в ступiнчатiй формi i тому показанi стовпцi 1-й, 2-й i 4-й для A є опорними стовпцями.

2	#		#	1	# Опорнi позицiї
		1	-23		3		1 3
6	0		3	6	4		9	7
	2			0	3	1			:	(3)
6		1	4		9		7	7
				5
6								7
4								5
	"		"		" Опорнi стовпцi

Тепер ми можемо сформулювати алгоритм зведення матрицi до ступiнчастої форми. Його називають алгоритмом рядкової редукцiї.

КРОК 1.

Розпочинаємо з крайнього лiвого ненульового стовпця. Вiн є опорним. Опорна позицiя є у вершинi.

КРОК 2.

Виберемо ненульовий елемент як опорний. Якщо необхiдно, переставимо рядки, пересунувши цей елемент на опорну позицiю.

КРОК 3.

Застосуємо перетворення рядкового замiщення, створюючи нулi у всiх позицiях нижче опорної.