mat.analiz_1
.pdf
Вінницький державний педагогічний університет імені Михайла Коцюбинського
Інститут математики, фізики і технологічної освіти
Ковтонюк М.М.
ЛЕКЦІЇ З МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ
Вступ в аналіз. Диференціальне числення функції однієї змінної
для студентів першого курсу математичних спеціальностей педагогічних ВНЗ
Вінниця 2008
1
Ковтонюк М.М. Лекції з математичного аналізу для студентів
першого курсу математичних спеціальностей педагогічних ВНЗ
(Вступ в аналіз. Диференціальне числення функції однієї змінної).
Посібник для студентів вищих навчальних педагогічних закладів – Вінниця: ВДПУ, 2008. – 299 с.
Рецензенти:
доктор фізико математичних наук, професор Боднарчук Ю.В.,
кандидат педагогічних наук, ст.викладач Захарченко Н.В.,
Вінницький державний педагогічний університет імені М.Коцюбинського
Схвалено на засіданні кафедри математики Вінницького державного педагогічного університету імені Михайла Коцюбинського (протокол №2 від 29 серпня 2008 р.).
© М.М. Ковтонюк
© ВДПУ імМ.Коцюбинського, 2008
2
Передмова
Посібник написано на основі курсу лекцій, котрий читався автором студентам математичних спеціальностей Інституту математики, фізики і технологічної освіти Вінницького державного педагогічного університету імені Михайла Коцюбинського. Вибір математичного матеріалу посібника визначається навчальною програмою з математичного аналізу, затвердженої Вченою радою ВДПУ (протокол №5 від 28.12.2005 р.), та навчальним планом для спеціальності 6.010100 «Педагогіка і методика середньої освіти.
Математика».
У посібнику подано 28 лекцій, котрі повністю охоплюють питання теорії дійсних чисел, границі числової послідовності, границі і неперервності функції однієї змінної, диференціального числення функції однієї змінної, і розбиті на чотири змістові модулі (модуль 1: вступ до аналізу (лекції 1.1 – 1.5), модуль 2: теорія границь (лекції 2.7 – 2.16); модуль 3: диференціальне числення функцій однієї змінної (лекції 3.17 – 3.21); модуль 4: застосування диференціального числення в процесі дослідження функцій (лекції 4.22 – 4.27)).
Згідно з освітньо-кваліфікаційною характеристикою бакалавра вивчення курсу математичного аналізу має бути спрямованим на формування вміння виконувати такі типові завдання професійної діяльності: ставити математичні задачі; аналізувати математичну проблему (задачу); будувати контрприклади; вибирати і використовувати алгоритми, методи, прийоми та способи розв’язування задач, як власне, математичного аналізу, так і задач з інших розділів математики; використовувати обчислювальну техніку (калькулятор, комп’ютер) для виконання обчислень та проведення обчислювального експерименту, результати якого дають можливість висунути певну гіпотезу.
Ми намагались, щоб виклад теоретичного матеріалу у формі лекцій був доступний широкому загалу студентів – майбутнім учителям математики. Разом з тим в посібнику враховано сучасні тенденції розвитку математики, використано елементи сучасної математичної символіки. Найбільш складні доведення ми намагались розбити на певні змістові частини, ілюструвати їх схемами, графіками, прикладами тощо.
3
Завдяки системі різноманітних виділень (як шрифтових, так і графічних) посібником зручно користуватись як довідником. У таблиці наведено зміст умовних позначень, що використовуються в посібнику.
Знак |
Що означає |
Пояснення |
|
Означення |
Зупинка дозволена, стій, |
|
|
уважно прочитай, |
|
|
запам’ятай |
|
Теорема |
Формулювання і |
|
|
доведення теореми |
|
Наслідок |
Формулювання наслідку з |
|
|
теореми |
|
Приклад |
Крутий підйом, тобто |
|
|
застосування теорії до |
|
|
розв’язування задач |
|
Приклад |
Дуже крутий поворот, |
|
|
досить цікавий, |
|
|
нестандартний приклад |
|
Увага ! |
Попередження, зауваження |
|
|
|
Автор висловлює подяку студентові Пишняку Олександру за графічне оформлення та комп’ютерну верстку посібника.
Автор буде вдячний за всі критичні зауваження.
Посібник написаний для студентів математичних спеціальностей педагогічних ВНЗ, в тому числі заочної форми навчання. Може бути корисний вчителям і викладачам математики, магістрантам.
4
Тематичний план з математичного аналізу для спеціальності “математика” педагогічних ВНЗ
|
Назви теоретичних |
К-сть |
|
|
Кількість годин |
|
||
№ |
блоків |
креди |
Всього |
|
Аудит. |
Лекцій |
Прак |
Самос |
|
|
тів |
|
|
|
|
тич |
тійна |
|
|
|
|
|
|
|
них |
робота |
|
|
Семестр І |
|
|
|
|
||
1. |
Модуль 1 |
|
64 |
|
36 |
18 |
18 |
28 |
|
Вступ до аналізу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Границя числової |
|
|
|
|
|
|
|
|
послідовності |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Модуль 2 |
|
62 |
|
32 |
16 |
16 |
30 |
|
Границя функції в |
|
|
|
|
|
|
|
|
точці |
|
|
|
|
|
|
|
|
Всього: |
3,5 |
126 |
|
68 |
34 |
34 |
58 |
|
|
Семестр ІІ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Модуль 1 |
|
62 |
|
32 |
16 |
16 |
30 |
|
Диференціальне |
|
|
|
|
|
|
|
|
числення функції |
|
|
|
|
|
|
|
|
однієї змінної |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Модуль 2 |
|
64 |
|
36 |
18 |
18 |
28 |
|
Застосування ДЧФОЗ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Невизначений інтеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
Всього: |
3,5 |
126 |
|
68 |
34 |
34 |
58 |
|
|
Семестр ІІІ |
|
|
|
|||
1. |
Модуль 1 |
|
66 |
|
36 |
18 |
18 |
30 |
|
Визначений інтеграл |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Модуль 2 Числові та |
|
66 |
|
36 |
18 |
18 |
30 |
|
функціональні ряди |
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Модуль 3 |
|
66 |
|
36 |
18 |
18 |
30 |
|
Тригонометричні ряди. |
|
|
|
|
|
|
|
|
ДЧФБЗ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Всього: |
5,5 |
198 |
|
108 |
54 |
54 |
90 |
5
|
Назви теоретичних |
К-сть |
|
|
Кількість годин |
|
||
№ |
блоків |
креди |
Всього |
Аудит. |
Лекцій |
Прак |
Самос |
|
|
|
тів |
|
|
|
|
тич |
тійна |
|
|
|
|
|
|
|
них |
робота |
|
|
Семестр ІV |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Модуль 1 |
|
81 |
|
48 |
24 |
24 |
33 |
|
Застосування ДЧФБЗ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Кратні інтеграли |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Модуль 2 |
|
81 |
|
48 |
24 |
24 |
33 |
|
Застосування кратних |
|
|
|
|
|
|
|
|
інтегралів.Криволінійні |
|
|
|
|
|
|
|
|
та поверхневі інтеграли |
|
|
|
|
|
|
|
|
Всього: |
4,5 |
162 |
|
96 |
48 |
48 |
66 |
|
|
Семестр V |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Модуль 1 Метричні |
|
81 |
|
48 |
24 |
24 |
33 |
|
простори |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Модуль 2 Нормовані і |
|
81 |
|
48 |
24 |
24 |
33 |
|
гільбертові простори. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Порівняння та |
|
|
|
|
|
|
|
|
вимірювання множин |
|
|
|
|
|
|
|
|
Всього: |
4.5 |
162 |
|
96 |
48 |
48 |
66 |
|
|
Семестр VІ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Модуль 1 |
|
72 |
|
44 |
22 |
22 |
28 |
|
Інтеграл Лебега |
|
|
|
|
|
|
|
|
Всього: |
2 |
72 |
|
44 |
22 |
22 |
28 |
6
Зміст |
|
Передмова |
3 |
Тематичний план з математичного аналізу для |
|
спеціальності “математика” педагогічних ВНЗ |
5 |
Модуль 1. Вступ до аналізу |
|
1.1Математичний аналіз як розділ математики і як 9 навчальна дисципліна
1.2 |
Множина раціональних чисел |
19 |
1.3 |
Множина дійсних чисел |
33 |
1.4 |
Нижні та верхні грані числових множин |
44 |
1.5 |
Функції та операції над ними |
52 |
1.6 |
Класифікація функцій |
68 |
|
Модуль 2. Теорія границь |
|
2.7 |
Збіжні послідовності |
76 |
2.8Властивості границь, зв’язані з арифметичними 89
|
операціями над послідовностями |
|
2.9 |
Границя монотонної послідовності |
104 |
2.10 |
Достатні умови збіжності |
114 |
2.11 |
Границя функції у точці |
121 |
2.12 |
Основні властивості границь функцій у точці |
133 |
2.13 |
Неперервність функції у точці |
145 |
2.14 |
Розриви. Неперервність деяких елементарних функцій |
154 |
2.15 |
Властивості функцій, неперервних на відрізку |
165 |
2.16 |
Властивості функцій, неперервних на відрізку |
174 |
|
Модуль 3. Диференціальне числення функції однієї |
|
|
змінної |
|
3.17 |
Похідна та диференціал |
185 |
3.18 |
Техніка диференціювання |
202 |
3.19 |
Техніка диференціювання (продовження) |
216 |
3.20 |
Похідні та диференціали вищих порядків |
222 |
3.21. |
Основні теореми диференціального числення |
232 |
7
Модуль 4. Застосування диференціального числення при дослідженні функцій
4.22 |
Застосування |
диференціального |
числення |
до |
|
обчислення границь функцій |
|
244 |
|
4.23. |
Формула Тейлора |
|
252 |
|
4.24. |
Наближені обчислення значень функції з допомогою |
|||
|
формули Тейлора |
|
259 |
|
4.25. |
Застосування |
диференціального |
числення |
до |
|
дослідження функцій на сталість і монотонність |
267 |
||
4.26. |
Дослідження функцій на екстремум |
|
276 |
|
4.27. |
Дослідження функції на опуклість донизу і опуклість |
|||
|
догори |
|
|
291 |
4.28 |
Повне дослідження функції і побудова графіка |
304 |
||
|
Додаток |
|
|
313 |
|
Список використаних джерел |
|
298 |
|
8
План:
1.Предмет і метод математичного аналізу. Місце курсу у фаховій та професійній підготовці вчителя математики.
2.Логічні символи.
3.Елементи теорії множин.
Предмет і метод математичного аналізу. Місце курсу у фаховій та професійній підготовці вчителя математики.
Ще в кінці ХV ст. великий італійський художник і вчений Леонардо да Вінчі (1452 1519) відмічав, що “жодне людське дослідження не можна називати істинною наукою, якщо воно не пройшло через математичні доведення… Ніякої вірогідності немає в науках там, де не можна застосувати жодної з математичних наук, і в тому, що немає зв’язку з математикою” [11].
Поділ математики на “елементарну” і “вищу” досить умовний, оскільки не можна вказати головної ознаки, на основі якої можна було б той чи інший факт, ту чи іншу теорему віднести до «елементарної» математики. Разом з тим математики виділяють дві важливі характеристики для шкільного курсу математики, який ми звикли називати “елементарною” математикою. Перша характеристика полягає в тому, що предметом дослідження тут є, в основному, сталі величини і фігури.
Приклад 1. а) Дано алгебраїчне рівняння. Знайти його корінь; 
б) знайти довжину відрізка, площу фігури, об’єм тіла;
9