Лабораторные работы / Лабораторные работы - Irma Dyon - 2006 / Элтех&физика / Резонанс токов
.docЛабораторная работа №2
«Резонанс токов»
Бригада: Затенацкая Дина, Бакулина Мария, Кисоржевский Александр, Жуковская Надежда, Павлова Валерия
Группа О-23
Цель работы:
- исследование режимов работы электрической цепи при параллельном соединении потребителей электроэнергии с активно-реактивными сопротивлениями;
- определение параметров цепи;
- установление условий возникновения резонанса тока.
Основные теоретические положения.
Свойства электрических цепей переменного тока (ЭЦПТ) с параллельным соединением:
-
U=const. для всех потребителей электроэнергии;
-
I зависит от соответствующих сопротивлений и U, а не от количества потребителей;
-
z=f(R, XL, XС) в общем случае.
Рассмотрим следующую ЭЦ, представляя её параллельные ветви как независимые ЭЦ. Пусть XL1>XС1 и XL2<XC2. Тогда можно построить векторную диаграмму токов:
R1
R2
XL1
XL2
XC1
XC2
IC1
IL1 U I
I1
I2
I2
I1 U I
Ia1=IR1
IP1=IL1-IC1
I1 отстаёт по фазе от U на угол φ1 – активно-индуктивный характер сопротивления;
I2 опережает по фазе U на угол φ2 – активно-ёмкостный характер сопротивления.
I
составляющие тока I1
Ip1 – реактивная
Так как cosφ1=R1/z1, sinφ1=(XL1-XC1)/z1, I1=U/z1,
из векторной диаграммы получаем:
Ia1=I1cosφ1=U/z1 ∙ R1/z1=UR1/z12=UG1,
где G1=R1/z12 – активная проводимость 1-й ветви ЭЦ.
Так как IL1 противоположно направлен IC1, то алгебраически IP1=IL1-IC1, и
IP1=IL1-IC1=I1sinφ1=U/z1 ∙ (XL1-XC1)/z1=UB1,
где IL1, IC1 – реактивные индуктивная и ёмкостная составляющие тока I1, z1 – полное сопротивление 1-й ветви ЭЦПТ, B1=(XL1-XC1)/z12 – реактивная проводимость.
Тогда
I1=√Ia12+IP12 =U ∙ 1/z1=UY1,
где Y1 – полная проводимость.
Для параллельного соединения в соответствии с 1-м законом Кирхгофа, I=∑Ii, где Ii – токи в параллельных ветвях. Для нашей цепи I=I1+I2.
По закону Ома: I1=U/z1=Y1U; I2=U/z2=Y2U,
где z1,2=R1,2+j(XL1,2-XC1,2) – комплексные сопротивления ветвей 1 и 2.
Их модули: z1,2=√R1,22+(XL1,2-XC1,2)2.
Комплексные проводимости: Y1,2=1/z1,2
Для общего тока: I=U/z=YU
Тогда U/z=U/z1+U/z2 Y=Y1+Y2
Комплексная проводимость ЭЦ при параллельном соединении сопротивлений равна сумме комплексных проводимостей соответствующих ветвей:
Y=∑Yi.
Y в комплексной форме для 1-й ветви активно-индуктивного характера:
Y1=1/z1=[1/(R1+j(XL1-XC1))] ∙ [(R1-j(XL1-XC1))/ (R1-j(XL1-XC1))]= (R1-j(XL1-XC1))/ (R12+j(XL1-XC1)2)=R1/z12-j(XL1-XC1)/z12=G1-jB1
Аналогично для Y2 и Y (активно-ёмкостного характера; для них соответственно XC2>XL2 и XС<XL) получим
Y2=R2/z22-j(XL2-XC2)/z2= G2+jB2;
При этом Y=Y1+Y2=(G1+G2)-j(B1-B2)=G-jB,
поэтому
G=∑Gi, B=∑Bi.
Модуль полной проводимости:
Y=√G2+B2=√(G1+G2)2+(B1-B2)2=1/z
Е
G1
Y1
B1=BL1-BC1
BL1
BC1
cosφ1=G1/Y1
sinφ1=B1/Y1=(BL1-BC1)/Y1
Отсюда полная мощность 1-й ветви
S1=UI1=[I1=UY1]=U2Y1
Активная мощность
P1=UI1cosφ1=U2G1;
Реактивная мощность
Q1=UI1sinφ1=U2B1.
В ЭЦПТ при параллельном соединении реактивных сопротивлений может возникать резонанс токов. Это происходит, когда в одних ветвях ЭЦ XL>XC, а в других – наоборот. При резонансе реактивная индуктивная проводимость равна реактивной ёмкостной проводимости (BL=BC).
Рассмотрим параллельное соединение катушки и конденсатора – простейший случай параллельного соединения реактивных сопротивлений.
Полная проводимость:
Y=√G2+B2
Так как катушка имеет индуктивное сопротивление RK,
BL=XC/zk2=wL/(Rk2+w2L2)
а активное сопротивление конденсатора не учитывается,
BC=XC/zC2=1/XC=wC,
то условие резонанса
wL/(RK2+w2L2)=wC.
В лабораторных условиях L=const.; для достижения резонанса меняют ёмкость С батареи конденсаторов. Меняется С меняется BC=wC меняется Y=√G2+(BL-BC)2 меняется I и коэффициент активной мощности cosφ.
Резонансные кривые:
I~Y
Y
cosφ~1/Y
BL=BC
При резонансе:
-
Yобщ. – минимальное значение; Y=√G2+(BL-BC)2=[BL-BC=0]=G;
-
minY minI, так как I=YU=GU;
-
IL=BLU=BCU=IC; IR=Iсети=GU=YU, где IL и IC – индуктивный и ёмкостный токи катушки и конденсатора, IR – активный ток. При этом IL и IC могут быть намного больше тока в сети (в зависимости от BL и BC).
-
BL=BC, поэтому реактивная мощность Q=BLU2-BCU2=QL-QC=0; QL и QC также могут принимать весьма большие значения.
-
Полная мощность S=YU2=GU2=P(активная мощность)
-
Коэффициент мощности cosφ=P/S=GU2/YU2=1 U и I при резонансе совпадают по фазе.
Расчётные формулы и основные значения
w=314 рад/с
Y=I/U
G=IR/U
BC=IC/U=wC
YK=IK/U
BK=BL=√YK2-GK2=(wLK)-1
S=UI
cosφ=P/S
ЭЦ для лабораторной работы
Изучение режимов работы ЭЦ при различном характере сопротивлений в параллельных ветвях.
-
R-цепь.
Проводимость активного сопротивления Y=0,011 См
Активное сопротивление R=91,40 Ом
Векторная диаграмма для IR (опыт 220 В, 50 Гц):
Напряжение в цепи с активным сопротивлением совпадает
с током по фазе. Из векторной диаграммы видно, что векторы
U и I имеют только действительную часть и совпадают,
поэтому между ними угол φ сдвига фаз тока и напряжения равен
нулю; отсюда cosφ≈1.
-
С-цепь.
Проводимость при частоте 50 Гц Yc=0,007 См
Проводимость при частоте 100 Гц Yc=0,013 См
Векторная диаграмма для Ic (опыты 220 В, 50 Гц и 100 Гц):
В цепи с ёмкостным сопротивлением синусоидальный
ток опережает напряжение на π/2. Вектор общего тока
совпадает с вектором ёмкостного тока, который имеет
только мнимую часть и лежит на оси j. Угол сдвига фаз
тока и напряжения равен π/2; отсюда cos π/2=0.
-
RC-цепь.
Общая проводимость RC-цепи при частоте 50 Гц Y=0,013 См
Общая проводимость RC-цепи при частоте 100 Гц Y=0,017 См
Проверка 1-го закона Кирхгофа:
I=∑Ii=I(R)+I(C)
I(R)=I(R); I(C)=jI(C)
I=I(R)+jI(C)
I=│I│=√ I(R)2+ I(C)2
Например, для опыта 220 В, 50 Гц
2,811=√2,4072+1,4512 (верно)
Значит, закон Кирхгофа действует на RC-цепь.
Векторные диаграммы для IR, Ic, I
(опыты 220 В, 50 Гц и 100 Гц): см. ниже
Как уже выяснилось, по 1-му закону Кирхгофа общий ток I в неразветвлённом участке цепи равен векторной сумме токов в отдельных параллельных ветвях (у нас IR и IC). Так как векторы напрямую связаны с комплексными числами и вектор активного тока лежит на оси Re, а вектор ёмкостного тока – на оси j, то их сумма даёт комплексный ток I, на диаграмме по правилу сложения векторов он получается как гипотенуза прямоугольного треугольника. Так как общий ток в RC-цепи уже не совпадает с напряжением, как в случае R-цепи, и опережает его на некоторый угол φ, отличный от 0 и π/2, то cosφ≠0,≠1. В данном случае, так как cosφ выражает собой долю активного тока в общем токе, а IR > IC, то cosφ стремится к 1.
-
RL-цепь.
Общая проводимость RL-цепи при частоте 50 Гц Yk=0,007 См
Общая проводимость RL-цепи при частоте 1000 Гц Yk=0,004 См
Векторная диаграмма для Ik (опыт 220 В, 50 Гц):
В чистом виде индуктивный ток отстаёт от напря-
жения по фазе на π/2, лежит на оси j и как комп-
лексное число Ik= –jIk. Подобно случаю с ёмкостным
током, угол сдвига фаз должен быть равен π/2, а его
косинус – 0 (на диаграмме именно так). Но реально
cosφ немного отличен от 0, так как катушка индукти-
вности сама обладает небольшим активным сопроти-
влением, из-за этого результирующий ток немного
отличается от индуктивного.
-
RLC-цепь.
Общая проводимость RLC-цепи при частоте 50 Гц Y=0,011 См
Общая проводимость RLC-цепи при частоте 100 Гц Y=0,014 См
Векторные диаграммы для I, IR, IC, IK (опыты 220 В, 50 Гц и 100 Гц): см. ниже
Для RLC-цепи I=IR-j(IL-IC), при этом токи прямо пропорциональны соответствующим проводимостям.
В первых двух опытах Y(L)>Y(C), но они мало отличаются друг от друга, и поэтому I приблизительно равен IR. Векторы Y(L) и Y(C) лежат на одной прямой, но противоположно направлены. Угол φ сдвига фаз отрицателен, так как сказывается больше индуктивный, чем ёмкостный, характер тока, но ввиду малости разницы между Y(L) и Y(C) он стремится к нулю, а cosφ – к 1. В третьем опыте засчёт возрастания частоты увеличивается ёмкостная проводимость, и здесь Y(L)<Y(C). Ввиду активно-ёмкостного характера тока φ>0. В третьем опыте разница между Y(L) и Y(C) увеличивается, отсюда увеличение угла и уменьшение cosφ.
-
Резонанс.
Проверка 1-го закона Кирхгофа – аналогично:
I=∑Ii=I(R)+I(C)+I(L)
I(R)=I(R); I(C)=jI(C); I(L)=-jI(L)
I=I(R)+j(I(C)-I(L))
I=│I│=√ I(R)2+ (I(C)-I(L))2
Например, для опыта C(рез.)+10мкФ
1,446=√1,3892+(1,357-0,955)2 (верно)
Значит, закон Кирхгофа выполняется для RLC-цепи.
Векторные диаграммы для I, IR, IC, IL для всех опытов: см. ниже.
Как уже говорилось, при резонансе ёмкостный ток IC и индуктивная составляющая IL тока катушки оказываются равными по величине, а активная составляющая тока IR становится равной току I. Отсюда: векторы IR и I совпадают, угол между ними равен 0, а cosφ=1. При отклонениях от «резонансной» ёмкости конденсатора меняется ёмкостный ток, меняется разница между ёмкостным током и индуктивным, отсюда отклонения общего тока от его активной составляющей и появления малого сдвига фаз φ, косинус которого немного отличен от 1.
Резонансные кривые: