Лекции

Лекции 1,2. Евклидовы пространства. Аксиомы скалярного про- изведения. Примеры. Неравенство Коши-Буняковского. Длина. Угол. Неравенство треугольника. Приложения. Ортонормированный базис. Процесс ортогонализации. Многочлены Лежандра. Скалярное произведение в произвольном и ортонормированном базисе. Матрица Грама, ее преобразование при замене базиса. Ортогональное дополнение. Изоморфизм евклидовых пространств.

Лекции 3,4. Метод наименьших квадратов. Псевдорешение системы линейных уравнений. Линейная регрессия. Полиномиальная регрессия. Линейная множественная регрессия. Введение в математическую теорию планирования эксперимента.

Лекция 5. Линейные отображения. Примеры. Композиция отображений. Обратное отображение. Ядро. Образ. Задание линейного отображения образом базиса. Матрица линейного отображения. Размерность ядра и образа. Отношение эквивалентности. Изоморфизм линейных пространств.

Лекция 6. Линейные операторы. Примеры. Матрица оператора. Ранг оператора. Преобразование матрицы оператора при замене базиса; матричная и тензорная формы записи. Определитель и след линейного оператора. Алгебра операторов и алгебра матриц; их изо- морфизм.

Лекция 7. Инвариантные подпространства. Собственные век- торы и собственные значения. Характеристический многочлен оператора. Геометрическая и алгебраическая кратности собственного 4значения. Критерий диагонализируемости. Теорема о существовании одномерного или двумерного инвариантного подпространства.

Лекции 8,9. Жорданова нормальная форма. Теорема Гамильтона-Кэли. Корневые подпространства. Разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств. Построение жорданова базиса в корневом подпространстве. Функции от матриц. Матричная экспонента. Приложение к дифференциальным уравнениям.

Лекции 10,11. Самосопряженные операторы. Сопряженный оператор и его матрица в ортонормированном базисе. Самосопряженный оператор. Теорема о корнях его характеристического много- члена. Ортонормированный базис из собственных векторов. Геометрическая интерпретация. Возмущение собственных векторов и собственных значений. Ортогональное подобие симметричной матрицы диагональной. Матричные функции симметричных матриц.

Лекция 12,13. Ортогональные операторы. Критерии ортогональности. Матрица ортогонального оператора в ортонормирован- ном базисе. Группа ортогональных операторов. Корни характеристического многочлена. Канонический базис. Геометрическая интерпретация.

Лекция 14. Полярное разложение. Положительные операторы. Положительный квадратный корень из положительного оператора. Полярное разложение. Геометрическая интерпретация.

Лекция 15. Билинейные формы. Билинейная форма и ее матрица. Замена базиса. Ранг билинейной формы. Псевдоевклидовы пространства. Алгоритм Лагранжа.

Лекции 16,17. Квадратичные формы. Метод Лагранжа. Закон инерции. Критерий Сильвестра. Приведение квадратичной формы к диагональному виду ортогональным преобразованием. Теория малых колебаний и одновременное приведение двух квадратичных форм к диагональному виду.

Лекция 18. Гиперповерхности второго порядка. Приведение уравнения гиперповерхности второго порядка к каноническому виду. Классификация. Инварианты.