Лекция 8
.docxЛекция № 10
Числовые ряды. Критерий сходимости Коши.
Свойства сходящихся рядов
Пусть дана бесконечная последовательность чисел .
Определение 1. Бесконечная сумма называется рядом. Числа – члены ряда.
Ряд задан, если для любого известно правило, ставящее в соответствие номеру член ряда.
Ряд может быть задан:
-
формулой – го члена (например, ),
-
рекуррентным соотношением (например, , ).
Составим суммы . Величины называются частичными суммами ряда.
Определение 2. Если существует предел последовательности частичных сумм , то говорят, что сходится бесконечный ряд и его сумма равна .
Если же не существует, либо он бесконечен, то говорят, что ряд расходится.
Ряд может расходиться в двух случаях:
1. ,
2. последовательность не имеет предела.
Можно кратко переформулировать данное выше определение: Ряд сходится тогда и только тогда, когда существует предел его частичных сумм.
Пример 1. Рассмотрим геометрическую прогрессию ,, . Из алгебры известно:
.
Если , то и , т.е. ряд сходится.
Если то и ряд расходится.
Если , то ряд имеет вид и .
Если , то . Такая последовательность не имеет предела, следовательно, ряд расходится.
Рассмотрим сходящийся ряд . Разность называется – ым остатком ряда (тоже сумма ряда).
Утверждение 1. Ряд сходится тогда и только тогда, когда для любого остаток – сходится.
Итак, исследование сходимости ряда и исследование сходимости любого его остатка – эквивалентные задачи. Это означает, что при изучении сходимости достаточно рассматривать лишь члены ряда, начиная с некоторого номера. Это не влияет на сходимость. Изменится лишь сумма ряда.
Свойства сходящихся рядов.
Пусть , , и - постоянная величина. Тогда:
1. ,
2. ,
3. Если ряд сходится, то сходятся так же и другие ряды, полученные из исходного ряда добавлением, удалением или перестановкой конечного числа членов. (Сумма ряда может измениться).
Критерий Больцано-Коши сходимости ряда.
Исходим из критерия Больцано-Коши для сходимости последовательности частичных сумм .
(Ряд сходится) .
Необходимый признак сходимости ряда.
Теорема 1. Если ряд сходится, то .
Доказательство. . Ряд сходится . Тогда .
Важный пример, показывающий, что необходимый признак сходимости отнюдь не является достаточным.
Пример 8.2. Ряд называется гармоническим. Очевидно, т.е. общий член стремится к 0. Покажем, что этот ряд расходится. Используем критерий Больцано-Коши. Следует доказать, что
.
В качестве выберем число . Берем любое и любое . Пусть . Тогда
.
Утверждение 2. (Достаточный признак расходимости ряда) Если , то ряд – расходящийся.
Ряды с неотрицательными членами. Теоремы сравнения.
Признаки Даламбера, Коши, Гаусса
Если известно, что все члены ряда имеют, начиная с некоторого номера, постоянный знак, то исследовать его сходимость проще, чем в общем случае. Это связано с тем, что у знакопостоянных рядов последовательность частичных сумм монотонна. Для определенности будем считать, что все . Тогда частичные суммы ряда образуют монотонно возрастающую последовательность.
Теорема 2. (Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами). Для сходимости ряда где необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.
Доказательство.
Необходимость. Пусть. Тогда .
Достаточность. Пусть . Поскольку , последовательность возрастает и, по условию, ограничена. Следовательно, по теореме Вейерштрасса (см. 1-ый семестр), она имеет предел, то есть ряд сходится.
Простые следствия из этого критерия – очень полезные теоремы сравнения.
Теорема 3. (Допредельный признак сравнения) Пусть выполняется неравенство и пусть ряд – сходится. Тогда сходится ряд .
Доказательство. Очевидны неравенства . По условию – сходится. Значит, по приведенному выше критерию, . Но тогда и и, значит, ряд - сходится.
Примечание 1. Эта теорема может быть сформулирована и так: Пусть выполняется неравенство и пусть ряд – расходится. Тогда рассходится ряд . Действительно, если бы этот ряд сходился, то по теореме сравнения должен был бы сходиться и ряд .
Примечание 2. Теорема сравнения справедлива и в случае, когда неравенство выполняется, начиная с некоторого номера .
Теорема 4. (Предельный признак сравнения). Пусть и . Тогда ряды и сходятся или расходятся одновременно. (Т.е. не может быть так, что один из них сходится, а другой расходится).
Доказательство. . Выберем . Тогда (т.к. ) при .
Если ряд – сходится, то сходится и ряд (по примечанию 2 к допредельной теореме сравнения). Тогда и ряд – сходится.
Если ряд – сходится, то сходится и ряд и, следовательно, сходится ряд .
Теорема доказана.
Пример .3. Ряд сходится, т.к.
при и ряд – сходится.
Примечание 3. Если , то, начиная с некоторого номера , имеем и из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда . Аналогично рассматривается случай .