Лекция 5

Лекция № 6-7

Производная по направлению. Градиент.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и дифференцируема в .

Рассмотрим всевозможные лучи, выходящие из . Каждый луч задается единичным вектором с координатами и определяет некоторое направление.

Фиксируем луч, выходящий из точки . На прямой, содержащей этот луч, возьмем точку и рассмотрим вектор . Так как , то , или

. (1)

Равенство (1) показывает, что на прямой, проходящей через точку и определяемой вектором , функция представляет собой сложную функцию одной переменной .

Определение. Производную указанной сложной функции по переменной взятую в точке , называют производной функции в точке по направлению, определяемому единичным вектором .

. (2)

Определение. Градиентом функции в данной точке называется вектор, координаты которого имеют вид , , .

. (3)

. (4)

Производная функции в точке по направлению, определяемому градиентом этой функции, имеет максимальное значение по сравнению с производной в этой точке по любому другому направлению. Значение производной функции по направлению, определенному градиентом этой функции в данной точке равно .

.

Таким образом, направление градиента – направление быстрейшего роста функции; противоположное направление – направление быстрейшего уменьшения функции. Направления, перпендикулярные к направлению градиента – направления постоянства функции.

Для функции направление градиента перпендикулярно линиям уровня.

Для функции направление градиента перпендикулярно поверхностям уровня.

Если градиент функции находится не в фиксированной точке , то этот вектор называется полем градиента функции .

Пример 1. Дана функция . Найти и , где ; .

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

1. Уравнение касательной плоскости и нормали для случая явного задания поверхности.

Определение. Касательной плоскостью к поверхности в точке (точка касания) называется плоскость, в которой лежат все касательные в точке к различным кривым, проведенным на поверхности через эту точку.

Определение. Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания.

Если – дифференцируемая функция, то уравнение касательной плоскости в точке поверхности имеет вид

(5)

Уравнения нормали имеют вид

. (6)

Пример 2. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

2. Уравнение касательной плоскости и нормали для случая неявного задания поверхности.

Пусть уравнение гладкой поверхности задано в неявной форме и . Тогда соответствующие уравнения будут иметь такой вид:

– уравнение касательной плоскости и

.

– уравнение нормали к поверхности.

Пример 3. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке, для которой , .

Решение. Найдем аппликату точки касания, подставив и в уравнение поверхности: . Таким образом, точка касания .

Замена переменных

При рассмотрении выражений, содержащих функции и их производные, часто оказывается целесообразным перейти к другим независимым переменным. Иногда необходимо перейти не только к новым переменным, но и к новым функциям, которые связаны с исходными переменными и функциями определёнными соотношениями. При замене переменной используются правила дифференцирования сложных и неявно заданных функций.

1. Замена переменных в выражении, содержащем обыкновенные производные.

Пусть в дифференциальном выражении требуется перейти к новым переменным: независимой переменной и функции, связанным с прежними переменными и уравнениями

. (7)

Дифференцируя уравнение (7), будем иметь:

.

Аналогично выражаются высшие производные. В результате мы получаем

.

Пример 3. Преобразовать уравнение перейдя к полярным координатам .

Решение. Рассматривая как функцию , получим

,

отсюда

,

или после упрощений .

Пример 4. Преобразовать уравнение , полагая

Решение.

,

.

Подставляем в уравнение

или .

Пример 5. Преобразовать уравнение , приняв за аргумент, а за функцию.

Решение.

, .

Подставим эти выражения производных в данное уравнение, будем иметь

, или окончательно .

2. Замена независимых переменных в выражении, содержащем частные производные.

Если в дифференциальном выражении

положить , (8)

где и новые независимые переменные, то частные производные определяются из следующих уравнений:

, .

Пример 6. Уравнение колебаний струны преобразовать к новым независимым переменным и .

Решение. Выразим частные производные от по и через частные производные от по и .

Очевидно,

,

.

Дифференцируем вторично, применяя ту же формулу

,

.

Подставив в уравнение, получим

Пример 7. Преобразовать уравнение , приняв за новые независимые переменные , и за новую функцию .

Решение. Выразим частные производные и через частные производные и . Для этого продифференцируем данные соотношения между старыми и новыми переменными:

.

С другой стороны,

.

Поэтому

или

.

Отсюда

и, следовательно,

и .

Подставляя эти выражения в данное уравнение, получим

или .

Формула Тейлора

Сначала рассмотрим функцию двух переменных . Предполагаем, что в некоторой окрестности точки существуют все частные производные функции до -го порядка включительно. Фиксируем , . Запишем , , тогда значение функции в точке запишется как . Фиксируем и будем считать, что меняется только , тогда

.

Применим к функции формулу Маклорена с остаточным членом в форму Пеано:

В соответствии с нашими обозначениями . Вычислим производные функции через производные функции :

,

,

аналогично

,

,

Легко проверить, что -я производная имеет вид

Подставив все это в формулу Маклорена для и вернувшись к обозначениям , , мы получим

.

Обозначим теперь , ,

.

Так как и отличаются постоянным множителем, то при и наоборот, а также (при ). Тогда полученная нами формула Тейлора для функции двух переменных может быть записана в следующем виде:

или

,

где все дифференциалы берутся в точке .

9