Лекция 5
.docxЛекция № 6-7
Производная по направлению. Градиент.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и дифференцируема в .
Рассмотрим всевозможные лучи, выходящие из . Каждый луч задается единичным вектором с координатами и определяет некоторое направление.
Фиксируем луч, выходящий из точки . На прямой, содержащей этот луч, возьмем точку и рассмотрим вектор . Так как , то , или
. (1)
Равенство (1) показывает, что на прямой, проходящей через точку и определяемой вектором , функция представляет собой сложную функцию одной переменной .
Определение. Производную указанной сложной функции по переменной взятую в точке , называют производной функции в точке по направлению, определяемому единичным вектором .
. (2)
Определение. Градиентом функции в данной точке называется вектор, координаты которого имеют вид , , .
. (3)
. (4)
Производная функции в точке по направлению, определяемому градиентом этой функции, имеет максимальное значение по сравнению с производной в этой точке по любому другому направлению. Значение производной функции по направлению, определенному градиентом этой функции в данной точке равно .
.
Таким образом, направление градиента – направление быстрейшего роста функции; противоположное направление – направление быстрейшего уменьшения функции. Направления, перпендикулярные к направлению градиента – направления постоянства функции.
Для функции направление градиента перпендикулярно линиям уровня.
Для функции направление градиента перпендикулярно поверхностям уровня.
Если градиент функции находится не в фиксированной точке , то этот вектор называется полем градиента функции .
Пример 1. Дана функция . Найти и , где ; .
Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
1. Уравнение касательной плоскости и нормали для случая явного задания поверхности.
Определение. Касательной плоскостью к поверхности в точке (точка касания) называется плоскость, в которой лежат все касательные в точке к различным кривым, проведенным на поверхности через эту точку.
Определение. Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания.
Если – дифференцируемая функция, то уравнение касательной плоскости в точке поверхности имеет вид
(5)
Уравнения нормали имеют вид
. (6)
Пример 2. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .
2. Уравнение касательной плоскости и нормали для случая неявного задания поверхности.
Пусть уравнение гладкой поверхности задано в неявной форме и . Тогда соответствующие уравнения будут иметь такой вид:
– уравнение касательной плоскости и
.
– уравнение нормали к поверхности.
Пример 3. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке, для которой , .
Решение. Найдем аппликату точки касания, подставив и в уравнение поверхности: . Таким образом, точка касания .
Замена переменных
При рассмотрении выражений, содержащих функции и их производные, часто оказывается целесообразным перейти к другим независимым переменным. Иногда необходимо перейти не только к новым переменным, но и к новым функциям, которые связаны с исходными переменными и функциями определёнными соотношениями. При замене переменной используются правила дифференцирования сложных и неявно заданных функций.
-
Замена переменных в выражении, содержащем обыкновенные производные.
Пусть в дифференциальном выражении требуется перейти к новым переменным: независимой переменной и функции, связанным с прежними переменными и уравнениями
. (7)
Дифференцируя уравнение (7), будем иметь:
.
Аналогично выражаются высшие производные. В результате мы получаем
.
Пример 3. Преобразовать уравнение перейдя к полярным координатам .
Решение. Рассматривая как функцию , получим
,
отсюда
,
или после упрощений .
Пример 4. Преобразовать уравнение , полагая
Решение.
,
.
Подставляем в уравнение
или .
Пример 5. Преобразовать уравнение , приняв за аргумент, а за функцию.
Решение.
, .
Подставим эти выражения производных в данное уравнение, будем иметь
, или окончательно .
-
Замена независимых переменных в выражении, содержащем частные производные.
Если в дифференциальном выражении
положить , (8)
где и новые независимые переменные, то частные производные определяются из следующих уравнений:
, .
Пример 6. Уравнение колебаний струны преобразовать к новым независимым переменным и .
Решение. Выразим частные производные от по и через частные производные от по и .
Очевидно,
,
.
Дифференцируем вторично, применяя ту же формулу
,
.
Подставив в уравнение, получим
Пример 7. Преобразовать уравнение , приняв за новые независимые переменные , и за новую функцию .
Решение. Выразим частные производные и через частные производные и . Для этого продифференцируем данные соотношения между старыми и новыми переменными:
.
С другой стороны,
.
Поэтому
или
.
Отсюда
и, следовательно,
и .
Подставляя эти выражения в данное уравнение, получим
или .
Формула Тейлора
Сначала рассмотрим функцию двух переменных . Предполагаем, что в некоторой окрестности точки существуют все частные производные функции до -го порядка включительно. Фиксируем , . Запишем , , тогда значение функции в точке запишется как . Фиксируем и будем считать, что меняется только , тогда
.
Применим к функции формулу Маклорена с остаточным членом в форму Пеано:
В соответствии с нашими обозначениями . Вычислим производные функции через производные функции :
,
,
аналогично
,
,
Легко проверить, что -я производная имеет вид
Подставив все это в формулу Маклорена для и вернувшись к обозначениям , , мы получим
.
Обозначим теперь , ,
.
Так как и отличаются постоянным множителем, то при и наоборот, а также (при ). Тогда полученная нами формула Тейлора для функции двух переменных может быть записана в следующем виде:
или
,
где все дифференциалы берутся в точке .