Лекция 3
.docxЛекция № 4
Функции нескольких переменных.
Определение 1. Пусть дано множество . Обозначим элементы этого множества через . Если каждой точке поставлено в соответствие число , то говорят, что на множестве определена функция переменных. Обозначение .
– область определения функции; – независимые переменные.
Примеры: ; .
Задача 1. Найти область определения функций;
а) ; б) .
В дальнейшем мы будем рассматривать функции двух переменных , при этом практически все понятия и теоремы легко переносятся на случай функций трех и более переменных.
Определение 2. – окрестностью точки называют круг с центром в точке и радиусом .
Обозначение
Определение 3. Расстоянием между двумя точками и называется величина .
Определение 4. Графиком функции переменных называется множество точек пространства . Для функции двух переменных графиком является поверхность .
Для построения графика функции полезно рассматривать функции одной переменной и . Например: – эллиптический параболоид.
Определение 5. Линией уровня функции называется множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению .
Пример 2. Построить линии уровня функции
а) ; б) .
Определение 6. Поверхностью уровня функции называется множество точек , удовлетворяющих уравнению .
Пример 3. Построить поверхности уровня функции .
Предел функции переменных.
Определение (Гейне) Число называется пределом функции в точке , если для любой последовательности точек , сходящейся к , числовая последовательность сходится к .
Чтобы доказать, что функция не имеет предела в точке достаточно указать две последовательности точек и , сходящихся к и такие, что .
Пример 4. . Рассмотрим две последовательности
.
Определение (Коши) Число называется пределом функции в точке , если , такое, что выполняется неравенство .
Обозначение ,
Определения Гейне и Коши эквивалентны.
Непрерывность функции переменных.
Определение 7. Функцию , определенную в окрестности точки (и в самой точке), называют непрерывной в точке , если .
Точки пространства , в которых функция не обладает свойством непрерывности называются точками разрыва функции.
Точку называют точкой разрыва в случае:
1) определена во всех точках некоторой окрестности точки , кроме самой точки ;
2) функция определена во всех точках окрестности и в самой точке , но не существует предела
3) функция определена во всех точках окрестности и в самой точке , и существует предел , но .
Определение 8. Функция, непрерывная в каждой точке множества называется непрерывной на множестве .
Свойства непрерывных функций нескольких переменных.
Свойство 1. Если и заданы на одном и том же множестве , и непрерывны в некоторой точке , то функции , , , а при условии, что и – непрерывны в точке .
Свойство 2. Если функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве , то:
-
она ограничена на этом множестве;
-
она достигает на этом множестве своих наибольшего и наименьшего значений;
-
для любого числа найдется такая точка , что .
Частное и полное приращение функции.
Определение 9. Полное приращение функции в точке – это функция .
Пусть , .
Обозначим , ,…,.
Тогда
Определение 10. Пусть задана функция . Зафиксируем значения переменной, а одной переменной дадим приращение . Тогда функция получит частное приращение:
.
Замечание Полное приращение не равно сумме частных приращений: .
Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных.
Определение 1. Пусть у функции переменная зафиксирована, а переменная получает приращение . Тогда приращение функции будет .
Если существует предел , то его называют частной производной от функции в точке по переменной и обозначают: или , или .
Аналогично определяется частная производная по переменной
При нахождении частной производной применимы все формулы и правила дифференцирования функции одной переменной, так как по определению мы фиксируем все переменные, кроме одной, и фактически имеем дело с функцией одной переменой. Если, например, находим производную по , то все остальные аргументы рассматриваем как константы.
Пример 5. Найти частные производные функции .
Решение. При нахождении считаем, что – константа, а – переменная величина, поэтому . Аналогично, .
Пример 6. Найти частные производные функции
.
Решение. Находим , считая, что – функция одного аргумента – , а и – константы: .
Замечание. Для функции многих переменных из существования конечных частных производных в точке не следует непрерывность функции в этой точке.
Дифференциал функции нескольких переменных.
Определение. Если приращение функции в точке можно записать в виде , где и зависят только от и , и не зависят от , , то функция называется дифференцируемой в точке .
Выражение называется дифференциалом функции в точке и обозначается символом .
Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке частные производные, причем .
Дифференциал функции переменных записывается аналогично:
.
Теорема (достаточное условие дифференцируемости) Если функция имеет в точке непрерывные частные производные, то она дифференцируема в этой точке.
Утверждение. Функция , дифференцируемая в точке , является непрерывной в этой точке.
Дифференцирование сложной функции.
1. Случай одной независимой переменной. Если дифференцируемая функция аргументов и , которые в свою очередь являются дифференцируемыми функциями независимой переменной : ; , то производная сложной функции может быть вычислена по формуле
, (*)
которая называется формулой полной производной.
В частности, если совпадает с одним из аргументов, например , то «полная» производная по будет
Пример 7. Найти , если , где , .
Решение.
.
Пример 8. Найти частную производную и полную производную , если , где .
-
Случай нескольких независимых переменных. Если сложная функция нескольких независимых переменных, например , где ; ( и – независимые переменные; , и – дифференцируемые функции), то частные производные по и выражаются так:
; .
Во всех рассмотренных случаях справедлива формула
(свойство инвариантности первого дифференциала).
Пример 9. Найти , если , где , , .
Пример 10. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .
Решение. Обозначим . Тогда
, .
Подставив частные производные в левую часть уравнения, будем иметь
Пример 11. Найти и , если , где , .