2.18.Гиперповерхности

Остыловский А.Н. Лекция 2.18. Гиперповерхности второго порядка Аффинное пространство. Уравнение гиперповерхности второго порядка. Приведение уравнения гиперповерхности второго порядка к каноническому виду ортогональными преобразованиями и параллельным переносом. Классификация. Примеры

1. Аффинное пространство

Пусть вместе с n мерным евклидовым пространством En имеется множество M элементов A; B; C; : : :, называемых точками. Пусть, далее, каждой упорядоченной паре точек A, B поставлен в соответ-

!

ствие единственный вектор x = AB и при этом выполняются две

аксиомы:

1) для любой точки A и любого вектора x существует единствен-

!

ная точка B такая, что AB = x;

2) для любых трех точек A, B, C имеет место равенство

! ! !

AB + BC = AC:

Множество M вместе с таким соответствием называется n мер-

ным аффинным пространством.

Аффинная система координат n мерного аффинного пространства Mn состоит из точки O, называемой началом координат, и базиса e1; : : : ; en соответствующего евклидова пространства En.

Координатами точки A 2 M называются координаты ее радиус-

!

вектора OM в данном базисе.

2. Уравнение гиперповерхности второго порядка

Множество всех точек M(x1; : : : ; xn), координаты которых удо-

влетворяют уравнению

n	n	n
X	Xi	X
aijxixj + 2	bixi + c = 0 (	aij2 6= 0):	(1)
i;j=1	=1	i;j=1

называется гиперповерхностью второго порядка.

1

Так как			n
			i;j=1 aijxixj квадратичная форма, то можно считать
матрицу	A = [a				]	симметричной.
		P		ij

Обозначим

b = [b1; : : : ; bn] 2 Rn; x = [x1; : : : ; xn]T 2 Rn:

Теперь уравнение (1) можно записать в виде

xT Ax + 2bx + c = 0:

(2)

3. Приведение уравнения гиперповерхности второго порядка к каноническому виду ортогональными преобразованиями и параллельным переносом

Уравнение гиперповехности второго порядка можно существенно упростить, если перейти к новой системе координат. Делается это, вообще говоря, в три этапа. 1

1. Ортогональное преобразование. Пусть S = [ ji] матрица, составленная из ортонормированной системы собственных векторовстолбцов матрицы A. Не меняя начала координат, выберем новый ортонормированный базис ey = exS. Координатные столбцы x, y

точки M, соответственно, в базисах ex, ey при этом связаны соотношением x = Sy. В новой системе координат уравнение (1) примет вид

yT y + 2dy + c = 0;

(3)

где = S 1AS диагональная матрица и d = bS. Запишем уравнение (3) в координатах

1(y1)2 + k(yk)2 + 2(d1y1 + dnyn) + c = 0;

(4)

k n; 1; : : : ; k 6= 0:

1С небольшими изменениями метод заимствован из книги: Кадомцев С.Б. Аналитическая геометрия и линейная алгебра М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

2

2. Параллельный перенос. Дополняя первые k слагаемых в уравнении (4) до полных квадратов, преобразуем его к виду

1(z1)2 + + k(zk)2 + 2(dk+1zk+1 + + dnzn) + g = 0;

(5)

где

z1 = y1 +

d1

; : : : ; zk = yk +

dk

;

zk+1 = yk+1 : : : ; zn = yn;

1

k

d12

dk2

g = c

:

1

k

Уравнение (5) можно представить в матричной форме

0

z0

z0

hz0T ; z00T i"0

0#"z00

# + 2 h0; d00i"z00# + g = 0;

(6)

где

2z...013

= 2z0k...+13;

z0 =

; z00

6z0k

7

6 z0n

7

4

5

4

5

hi

d00 = dk+1; : : : ; dn ;

"#

0

0 0

блочнодиагональная матрица и = diag[ 1; : : : ; k] диагональная матрица.

При k = n вторая группа слагаемых отсутствует и процесс приведения к каноническому виду закончен. Если dk+1 = = dn = 0, то процесс приведения тоже закончен. Если среди коэффициентов dk+1, : : :, dn более одного отличны от нуля, то следует перейти к 3-му этапу.

3. Ортогональное преобразование. Обозначив

d = (d2k+1 + + d2n)1=2;

3

произведем ортогональную замену переменных:

u = Qz

(7)

или подробнее

8

u1 = z1

>

: : :

>

>

>

u

k

= z

k

>

>

>

>

>

k+1

1

k+1

n

>

>

;

u

= (dk+1z

+ + dnz )

>

>

d

>

>

<

u

k+2

k+2

k+1

+

k+2

z

n

>

= qk+1z

+ qn

>

: : :

>

>

>

>

>

>

u

n

= q

n

z

k+1

+

n

n

>

k+1

+ q

z

>

n

>

>

>

>

>

:

т.е. Q 1 есть блочная матрица

			"	#
			Ek	0
	Q =			;
где			0	Qb		3
	2 qk+2			: : : qnk+2
		dk+1=d : : : dn=d
Q =	6: : :k:+1: : : : : : : : : : : : :7
b	6	q	n	: : : q	n	7
	6		k+1		n	7
	6					7
	4					5

есть ортогональная матрица порядка n k. Такую матрицу лег-

ко построить дополнив нормированную строку [dk+1=d; : : : ; dn=d] до невырожденной матрицы порядка n k и затем применив к системе

строк полученной матрицы процесс ортогонализации.

Тогда

duk+1 = dk+1zk+1 + + dnzn

и уравнение (5) примет вид

1(u1)2 + + k(uk)2 + 2duk+1 + g = 0

4

или в старых обозначениях

1(x1)2 + + k(xk)2 + 2buk+1 + c = 0:

(8)

Это уравнение называется каноническим уравнением гиперповерхности второго порядка.

Описанное ортогональное преобразование можно представить и в матричной форме. Сделаем замену переменных

"z00#	=	"0 P	#"u00#	=	"Pu00#	;
z0		E 0	u0		u0

где P искомая ортогональная матрица. Тогда (6) примет вид

u0T u0 + 2(dP )u00 + g = 0:

(9)

Матрицу P построим следующим образом. В качестве её первого столбца возьмём орт вектора d00, оставшиеся столбцы произвольный ортонормированный базис в ортогональном дополнении подпространства hd00i в пространстве Rn k. Тогда

h i d00P = jd00j; 0; : : : 0

и (9) примет вид

1(u1)2 + + k(uk)2 + 2jd00juk+1 + g = 0:

4. Классификация

Все гиперповерхности второго порядка, канонические уравнения которых не содержат хотя бы одной переменной (т.е. либо k +1 < n, либо k + 1 = n, но b = 0), называются цилиндрами.

Если же каноническое уравнение гиперповерхности содержит все переменные, то возможны три случая.

5

1. Если b = 0, c 6= 0, то уравнение (8) приводится к виду

n

X

ai(xi)2 = 1:

i=1

Такие гиперповерхности называются эллипсоидами и гиперболоидами.

2. Если b = c = 0, то уравнение (8) приводится к виду

n

X

ai(xi)2 = 0:

i=1

Такие гиперповерхности называются конусами. 3. Если b 6= 0, то, полагая

xk+1 = xn 2cb;

приведем уравнение (8) к виду

n 1

X

ai(xi)2 = xn:

i=1

Такие гиперповерхности называют параболоидами.

4. Примеры

1. В трехмерном аффинном пространстве рассмотрим гиперповерхность, заданную в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением

2x21 7x22 4x23 +4x1x2 16x1x3 +20x2x3 +60x1 12x2 +12x3 90 = 0:

(10) Собственные числа матрицы A соответствующей квадратичной формы есть

1 = 0; 2 = 9; 3 = 18:

6

Из ортонормированной системы собственных векторов-столбцов матрицы A составим матрицу

23

S =	1	2	2	1	7	:
		2	1	2
	3
		61	2	2
		4			5

Не меняя начала координат, выберем новый ортонормированный базис ey, связанный с исходным соотношением ey = eS. Тогда старые координаты могут быть выражены через новые

2x2	3	= S	2y2	3
x1	7		y1	7
6x3			6y3
4	5		4	5

и уравнение (10) примет вид
	9y22 18y32 + 100y1 + 20y2 + 20y3 90 = 0:
Выделив полные квадраты:
	10			2			5			2				86
9	y2 +			18 y3							+ 100		y1				= 0:
		9					9								90
и совершив параллельный перенос
				86							10			5
	z1 = y1					; z2 = y2			+			; z3 = y3						;
					90						9					9

приведем уравнение к каноническому виду

z1 = 0:09z22 + 0:18z32:

Это гиперболический параболоид.

2. В трехмерном аффинном пространстве рассмотрим гиперповерхность, заданную в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением

x12 + 3x2 + 4x3 + 1 = 0:

(11)

7

Ортогональная замена			20	3=5 4=532x23
2y23		=
y1	7		1		0	0	x1
6y3			60		4=5 3=576x37
4	5		4			54	5

приводит (11) к виду

y12 + 5y2 + 1 = 0:

После параллельного переноса

z1 = y1; z2 = y2 + 0:2

уравнение принимает канонический вид:

y2 = 0:2y12:

Это параболический цилиндр.

8