2.15.Билинейные формы

Остыловский А.Н. Лекция 2.15. Билинейные формы Определение и примеры. Матрица билинейной формы. Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса. Ранг билинейной формы. Псевдоевклидовы пространства.

1. Определение. Примеры

Пусть L линейное пространство над полем R.

Отображение B : L L ! R называется билинейной формой на L, если оно линейно по каждому аргументу, т.е.

B(x + y; z) = B(x; z) + B(y; z);	B( x; y) = B(x; y);	(1)
B(x; y + z) = B(x; y) + B(x; z);	B(x; y) = B(x; y)

для любых векторов x; y; z 2 L и для любого числа 2 R.

Пример 1. Скалярное произведение в евклидовом пространстве E является билинейной формой.

Пример 2. Билинейной формой в Rn является отображение, задаваемое равенством B(x; y) = x1y1 + +xnyn, или в матричной формеB(x; y) = xT y.

Пример 9.3. Пусть B = [bij] произвольная квадратная матрица порядка n, x = (x1; : : : ; xn)T , y = (y1; : : : ; yn)T 2 Rn. Билинейным формой в Rn является отображение, задаваемое равенством

B(x; y) = xT By = xiyjbij:

(При B = E получаем предыдущий пример.)

Пример 4. Билинейная форма в пространстве C([a; b]; R) непрерывных функций на отрезке [a; b] задает равенство

Z b

B(f1; f2) = G(t)f1(t)f2(t)dt:

a

Здесь G(t) фиксированная функция, называемая весом формы B. Пример 9.5. В пространстве C([a; b]; R) билинейную форму можно

задать равенством

Z b Z b

B(f1; f2) = G(s; t)f1(s)f2(t)dsdt;

aa

1

где G(s; t) функция непрерывная в [a; b] [a; b]. При G(s; t) = 1

Z b

Z b

B(f1; f2) = f1(s)ds f2(t)dt:

aa

Билинейная форма B на L называется симметричной, если

B(x; y) = B(y; x)

для любых векторов x; y 2 L.

Если же B(x; y) = B(y; x), то билинейная форма B называется

кососимметричной.

2. Матрица билинейной формы

Выберем в L базис e. Числа bij = B(ei; ej) называют компонентами билинейной формы B в базисе e.

Для x = iei, y = jej 2 L в силу (1) имеем

B(x; y) = B( iei; jej) = i jB(ei; ej) = i jbij:

Мы получили тензорную форму записи значения билинейной формы на паре векторов x, y:

B(x; y) = i jbij:

(2)

Введем в рассмотрение матрицу билинейной формы B в базисе e

B = [	]	e	= [	(ei; ej)] =	2:b11: : : :	:	:	: :b:	1:n:3	:	(3)
B			B		4bn1			bnn5

Таким образом, при фиксированном базисе каждой билинейной форме соответствует единственная матрица.

Теперь значение билинейной формы на паре векторов x, y можно записать в матричной форме

B(x; y) = T B :

(4)

Обратно, пусть в L зафиксирован базис e и задана квадратная матрица B = [bij]. При помощи соотношений (2) или (4) определим на L билинейную форму B, полагая B(ei; ej) = bij.

2

Пример 6. Для x = (x1; x2; x3)T , y = (y1; y2; y3)T из L = R3 поло-

жим

B(x; y) = x1y1 2x1y3 + 3x2y2:

Возьмем в качестве базиса L три вектора

e1 = (1; 1; 1); e2 = (0; 1; 1); e3 = (0; 1; 1):

Построим матрицу B билинейной формы B(x; y) в этом базисе. В соответствии с (3) имеем

b11	= B(e1; e1) = 1 1 2 1 1 + 3 1 1 = 2
b12	=	B(e1; e2) = 1 0 2 1 1 + 3 1 1 = 1
b13	=	B(e1; e3) = 1 1 2 1 1 + 3 1 ( 1) = 5

и т.д. В итоге

23

21 5

B =	3	3	3	5	:
	4 3	3	3

Таким образом при фиксированном базисе e имеется взаимно однозначное соответствие между квадратными n n-матрицами над и билинейными формами на L (n = dimL).

Предложение 1. Билинейная форма B(x; y) симметричн а тогда и только тогда, когда в любом (некотором) базисе ее матрица B симметрична.

Доказательство. Пусть B(x; y) симметрична. Тогда ввиду (4) в произвольном базисе имеем:

T B = T B :

Будучи числом T B не меняется при транспонировании

( T B )T = T BT :

Тогда T BT = T B . Так как это равенство выполняется для любых ; 2 R, то BT = B.

Обратно, пусть в некотором базисе матрица B симметрична. Тогда

B(y; x) = T B = ( T B )T = T BT = T B = B(x; y):

3

2

3. Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса

Одной и той же билинейной формы в различных базисах отвечают, конечно же, различные матрицы. Установим связь этих матриц.

Пусть e, e0 два базиса в L и S = [ ij] матрица перехода от e к e0, т.е. e0i = ijej или e0 = eS. Тогда для компонент билинейной формы B в базисе e0 имеем

b0ij = B(e0i; e0j) = B( ikek; jl el) = ik jl B(ek; el) = ik jl bkl;

или

bij0 = ik jl bkl:

(5)

Как легко проверить (проверьте), равенства (5) равносильны матрич-

ному равенству

B0 = ST BS;

где B0 = [b0ij] = [B]e матрица билинейной формы B в базисе e0. Таким образом, имеет место

Теорема 1. Матрицы B и B0 билинейной формы B в базисах e и e0 связаны соотношением

B0 = ST BS:

(6)

Следствие 1. Знак определителя матрицы билинейной формы не зависит от выбора базиса.

4. Ранг билинейной формы

Рангом rank(B) билинейной формы называется ранг rank(B) ее матрицы в каком-либо базисе.

Для доказательства корректности определения ранга нужно показать, что ранг билинейной формы не зависит от выбора базиса, т.е. показать, что ранги матриц ST BS и B равны. Пусть e стандартный базис в Rn, т.е. столбцы единичной матрицы E. Для произвольной матрицы A имеем

rank A = rank (AE) = rank (fAe1; : : : ; Aeng) = dim A(Rn):

4

В частности, rank B = dim L, где L = B(Rn). Далее,

rank (ST BS) = dim ST BS(Rn) = dim ST B(S(Rn)):

Так как матрица S невырождена, то S(Rn) = Rn. Поэтому

rank (ST BS) = dim ST B(Rn) = dim ST (L) = dim L;

что и требовалось.

Таким образом, доказана

Теорема 2. Ранг билинейной формы является ее инвариантом, не зависящим от выбора базиса.

5. Псевдоевклидовы пространства

Евклидово пространство было определено как линейное пространство L, снабженное симметричной билинейной формой B(x; y) с условием положительности: B(x; x) > 0 для всех x 2 L. Если отбросить это условие, то получатся, так называемые, псевдоевклидовы пространства.

Следуя аналогии с евклидовым случаем, векторы x, y называют B-ортогональными, если B(x; y) = 0. Однако, нормировать в псевдоевклидовых пространствах можно те и только те векторы x для которых B(x; x) 6= 0.

Теорема 3. (Алгоритм Лагранжа) Для любой симметричной билинейной формы B существует B-ортогональный базис.

Доказательство. Пусть e1, : : :, en произвольный базис. Предположим, что bii = B(ei; ei) 6= 0 для некоторого i. Пусть, например, b11 6= 0. Положим

e10	= e1; ei0	b1i
		= b11 e1	+ ei; i = 2; : : : ; n:

Тогда при i 2

B(e01; e0i) = 0;

т.е. вектор e01 нового базиса B-ортогонален ко всем его остальным векторам.

Если теперь b022 = B(e02; e02) 6= 0, то применяя к векторам e02, : : :, e0n аналогичное преобразование, получим базис e001, e002, : : :, e00n, первые два

5

bk;k+1

Тогда

вектора которого B-ортогональны друг другу и остальным векторам и т.д.

Если описанное преобразование применимо вплоть до n-го шага, то искомый базис будет построен. Кроме того, его можно легко перестроить в ортонормированный, т.е. добиться выполнения условия

B(ei; ej) = ij.

Допустим, что на некотором шаге описанное преобразование неприменимо, т.е. b0kk = B(e0k; e0k) = 0. Если при этом brr 6= 0 для некоторого r > k, то полагая e0k = er, e0r = ek, продолжим процесс перестройки базиса еще на один шаг.

Пусть bkk = bk+1;k+1 = = bnn = 0 для некоторого k. Если при этом еще bij = 0 для i; j k, i 6= j, то имеющийся базис уже B- ортогонален. Если же bij 6= 0 для некоторых i; j k, i 6= j, например,

6= 0, то положим

e0k = ek + ek+1; e0i = ei; i k + 1:

b0kk = B(e0k; e0k) = 2bk;k+1 6= 0

имы вновь можем применить самое первое преобразование. 2

ВB-ортогональном базисе матрица билинейной формы B, очевидно, диагональна.

6. Группа линейных операторов, сохраняющая билинейную форму

Для произвольной билинейной формы B рассмотрим множество G обратимых линейных операторов P, её сохраняющих, т.е. удовлетворяющих условию

B(Px; Py) = B(x; y):

(7)

Скалярное произведение является билинейной формой. Поэтому условие (7) является обобщением понятия ортогонального оператора. Множество G образует группу, т.е. удовлетворяет следующим трём условиям:

1)P; Q 2 G ) PQ 2 G;

2)P 2 G ) P 1 2 G;

3)E 2 G.

6

Действительно,

1)B((PQ)x; (PQ)y) = B(P(Qx); P(Qy)) = B(Qx; Qy) = B(x; y):

2)Обозначим P 1(x) = u, P 1(y) = v. Тогда

B(P 1x; P 1y) = B(u; v) = B(Pu; Pv) = = B(PP 1x; PP 1y) = B(x; y):

Упражнения

1.Билинейная форма кососимметрична тогда и только тогда, когда

влюбом (некотором) базисе ее матрица кососимметрична.

2.В некотором базисе билинейная форма B задана матрицей

B =	21	2	2	23	:
	1	1	1	1
	61	2	3	37
	61	2	3	27
	4			5

Перестроить данный базис в B-ортогональный и найти матрицу билинейной формы B в нём.

3.Для билинейной формы B определяют, соответственно, её левое

иправое ядра:

KerlB = fx 2 L j 8y 2 L	B(x; y) = 0g;
KerrB = fy 2 L j 8x 2 L	B(x; y) = 0g:
Докажите, что эти ядра являются линейными подпространствами в L
и
dim KerlB = dim KerrB = n rank B:
4. Докажите, что если билинейная форма B симметрична или ко-
сосимметрична, то		(8)
KerlB = KerrB:

5.Привести пример билинейной формы левое ядро которой не совпадает с правым.

6.Следует ли из условия (8) симметричность или кососимметричность билинейной формы?

7

7. Показать, что любому линейному оператору A, действующему в евклидовом пространстве соответствуют билинейные формы PA(x; y) = (x; Ay) и QA(x; y) = (Ax; y). Найти матрицы этих билинейных форм в произвольном и ортонормированном базисах. Являются ли соответствия A ! PA и A ! QA взаимно однозначными? Найти условия при которых P = Q.

8