2.13.Сопряженное пространство

Остыловский А.Н. Лекция 12. (Сопряженное пространство). Линейные формы и их компоненты. Сопряженное пространство. Сопряженный базис. Замена базиса в сопряженном пространстве. Полилинейная форма, её компоненты. Преобразование компонент полилинейной формы при замене базиса

12.1. Линейные формы и их компоненты

Мы рассматриваем n-мерное линейное пространство L над полем действительных чисел R.

Определение 12.1.. Отображение f : L ! R называется линейной формой, если

f(x + y) = f(x) + f(y);

f( x) = f(x)

для всех x; y 2 L и 2 R:

Пример 12.1. Простейшей линейной формой на L является ну-

левой функционал ! : L ! R; т.е. !(x) = 0 для любого x 2 L:

Пример 12.2. Зафиксируем некоторое a = [a1; : : : ; an] 2 Rn: Для

произвольного x = [x1; : : : ; xn]T 2 Rn положим
f(x) = ax = [a1; : : : ; an]	2 x...1	3	= a1x1 +		+ anxn = aixi:
	6 xn	7
	4	5

Легко проверить, что f : Rn ! R линейная форма.

Пример 12.3. Пусть x 2 C[0;1] пространство непрерывных функций на отрезке [0; 1]: Положив

Z 1

f(x) = x(t)dt;

0

получим линейную форму f на пространстве C[0;1]:

Пример 12.4. Пусть e = fe1; : : : ; eng базис в L: Для произвольного x = 1e1 + + nen 2 L положим ei(x) = i i-я координата

1

ei(ej) = ji =

вектора x в базисе e. Легко проверить, что ei линейная форма на L (i = 1; : : : ; n) (не путать ei с ei). Проверьте, что равносильное описание ei таково:

(

0; если i 6= j;

1; если i = j:

Линейная форма ei работает по принципу "свой-чужой".

12.2. Сопряженное пространство Определение 12.2. Множество всех линейных форм на данном

линейном пространстве L обозначается через L и называется пространством, сопряжённым к пространству L:

Непосредственная проверка показывает, что сумма f + g двух линейных форм f и g и произведение f линейной формы f на число

, определяемые, соответственно, равенствами

(f + g)(x)	=	f(x) + g(x);
( f)(x)	=	f(x); x 2 L;

являются снова линейными формами. Ясно также, что эти операции удовлетворяют аксиомам линейного пространства. Роль нулевого элемента в L играет нулевая форма ! (см. п.3.1). Таким образом, сопряжённое пространство L является линейным пространством.

Определение 12.3. Пусть e = fe1; : : : ; eng базис в L и f 2 L :

Числа
a1 = f(e1); : : : ; an = f(en)	(1)

называются компонентами формы f в базисе e.

Для произвольного вектора x = iei 2 L в силу линейности фор-

2

мы f имеем

f(x) =	f( iei) = if(ei) = iai =
=	[a1; : : : ; an]	2	...1	3	=: a ;	(2)
		6	n	7
		4		5

где a = [a1; : : : ; an] координатный "портрет\формы f в базисе e. Таким образом, произвольная форма f однозначно определяется своими компонентами в выбранном базисе. С другой стороны, эти компоненты можно выбрать произвольно (см. пример 2 из п.3.1).

Линейные формы на L, т.е. элементы из L , называют ковекторами.

12.3. Сопряженный базис

Пусть e базис в L, а e = fe1; : : : ; engT система ковекторов, определённая в примере 4.

Предложение. Система e образует базис в L . Он называется сопряжённым к базису e. Компоненты формы f в базисе e являются её координатами в базисе e :

Доказательство. Покажем, что из (2) вытекает

f = a1e1 + + anen = aiei = ae :

(3)

Для произвольного x = iei 2 L имеем

(ajej)(x) = ajej( iei) = aj iej(ei) = aj i ij = aj j = a = f(x):

Таким образом, равенство (3) доказано. Осталось проверить линейную независимость системы e . Для этого нужно показать, что координаты нулевой формы ! в этой системе равны нулю. Итак, пусть ! = aiei: Тогда

0 = !(ej) = (aiei)(ej) = aiei(ej) = ai ji = aj:

3

Предложение доказано.

Следствие. dimL = dimL:

Замечание 12.1. Базис e = fe1; : : : ; engT в пространстве L записываем в виде столбца. Отсюда следует часто используемое соотношение

e e = E:

(4)

12.4. Замена базиса в L

Пусть e = fe1; : : : ; eng, e0 = fe01; : : : ; e0ng два базиса в пространстве L и S = [ ji] матрица перехода от e к e0, т.е.

e0 = eS;		(5)
или
ej0 = jiei:		(6)
Обозначим через e = fe1; : : : ; engT и e0 = fe01; : : : ; e0ngT		базисы
в L , сопряжённые, соответственно, базисам e и e0.
Найдём матрицу перехода от e	e0 , т.е. матрицу X такую, что
e0 = Xe . Имеем
E = e0 e0 = (Xe )(eS) = X(e e)S = XES = XS:
Отсюда X = S 1 =: [ ji]. Итак,
e0 = S 1e ;	e = Se0 ;	(7)
или
e0i = iej;	ei = ie0j:	(8)
j	j

Теперь получим закон преобразования компонент формы f при замене базиса e на базис e0 (см. (1)–(3)). Имеем

f = ae = a(Se0 ) = (aS)e0 = a0e0 ;

4

т.е.
a0 = aS;	(9)
или покомпонентно
a0j = ai ji:	(10)

Сравнивая этот закон преобразования с законом (??), приходим к выводу: линейная форма есть тензор типа (0; 1).

Пример. Пусть f(x1; : : : ; xn) функция n вещественных переменных и

	@f		+ +	@f		@f
gradf =		e1			en =		ei:
	@x1			@xn		@xi

Замена базиса e0 = eS вызывает замену переменных x = Sx0 или

xi = x0j i	. Обозначим ai		= @fi . Тогда
j				@x
	a0	=		@f		=	@f @xi			= ai i	:
	j			@x0j			@xi @x0j			j

Таким образом, градиент функции есть ковектор.

12.5. Полилинейная форма, её компоненты

Пусть L линейное пространство над вещественным полем R и

L сопряжённое к L пространство. Обобщим понятия линейных и билинейных форм следующим образом.

Полилинейной формой типа (p; q), где p; q 0, на пространстве

L называется произвольное отображение
T : L L L L ! R;									(11)
|		{zp		} |		{zq		}

которое полилинейно, т.е. линейно по каждому аргументу при фиксированных значениях остальных.

Рассмотрим действие полилинейной формы T типа (p; q) на ковекторах

f	1	1	e	i1	; : : : ; f	p	= a	p	e	ip
		= ai						ip
		1

и векторах

x1 = 1j1 ej1 ; : : : ; xq = qjq ejq :

5

Ввиду полилинейности

T (f

1

; : : : ; f

p

; x1

1

p

j1

jq

i1:::ip

;

(12)

; : : : ; xq) = ai1

aip

1

q

Tj1:::jq

где

T i1:::ip := T (ei1 ; : : : ; eip ; e

; : : : ; e

jq

);

j1:::jq

j1

суть так называемые компоненты полилинейной формы T в базисе e = fe1; : : : ; eng. Нетрудно подсчитать, что их число равно np+q.

Отметим, что при заданных p и q мы можем построить полилинейную форму типа (p; q), компоненты которой в каком-нибудь

базисе равны np+q наперёд заданным числам T i1:::ip . Действительно,

j1:::jq

эта форма строится по формуле (12).

Пример. Линейному оператору A : L ! L поставим в соответствие билинейную форму TA : L L ! R :

TA(f; x) := f(A(x)):

Пусть [aij] матрица оператора A в некотором базисе e. Тогда

TA(ei; ej) = ei(A(ej)) = ei(akj ek) = aij;

т.е. компоненты формы TA совпадают с соответствующими элементами матрицы оператора в базисе e. Отсюда следует, что указанное соответствие между линейными операторами и полилинейными формами типа (1; 1) взаимно однозначно.

Упражнение. Проверьте, что смешанное произведение трех векторов есть полилинейная форма типа (0; 3).

12.6. Преобразование компонент полилинейной формы при замене базиса

Перейдём от базиса e = fe1; : : : ; eng к базису e0 = fe01; : : : ; e0ng. Пусть

e0 = eS; e0j = jiej;

6

т.е. S = [ ji] матрица перехода от e к e0. Тогда в соответствии с (19)

e0i = jiej;

где [ ji] = S 1:

Найдём компоненты полилинейной формы T в базисе e0:

T 0i1:::ip

:= T (e0i1 ; : : : ; e0ip ; e0

j1

; : : : ; e0

jq

) =

j1:::jq

i1

k1

ip

kp

l1

lq

= T ( k1 e

; : : : ; kp e

; j1 el1

; : : : ; jq elq ) =

i1

ip

k1:::kp

l1

lq

:

= k1

kp Tl1:::lq

j1

jq

Таким образом, компоненты полилинейной формы типа (p; q) при замене базиса преобразуются в точности по закону (??), и, значит, полилинейная форма типа (p; q) является тензором типа (p; q). С другой стороны, каждому тензору типа (p; q), заданному своими компонентами в некотором базисе, можно поставить в соответствие полилинейную форму типа (p; q) с теми же компонентами в этом базисе. Это соответствие является взаимно однозначным. Ввиду этого обстоятельства тензоры нередко [3,6] определяют как полилинейные формы. Следует понимать, однако, что определение тензора, данное в гл. 2, шире, чем определение полилинейной формы, и последние являются лишь одной из возможных реализаций тензоров. Так, например, линейный оператор является тензором типа (1; 1), но не является полилинейной формой (пример в п. 4.1.)

7