2.8, 2.9. Жордан

Остыловский А.Н. Лекции 2.8, 2.9. Жорданова нормальная форма Теорема Гамильтона-Кэли. Жорданова форма матрицы линейного оператора. Корневые подпространства. Разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств. Построение жорданова базиса в корневом подпространстве. Приведение матрицы к жордановой форме

1. Теорема Гамильтона-Кэли

Пусть

f( ) = am m + am 1 m 1 + + a1 + a0

произвольный многочлен над полем P, и пусть A оператор, действующий в пространстве L над полем P. Оператор

f(A) = amAm + am 1Am 1 + + a1A + a0E

называется многочленом от оператора A. Из изоморфизма алгебры операторов и алгебры их матриц следует, что Если A матрица оператора A в базисе e, то матрицей оператора f(A) в этом же базисе является матрица

f(a) = amAm + am 1Am 1 + + a1A + a0E;

называемая многочленом от матрицы A.

Говорят, что оператор A (матрица A) является корнем многочлена f( ), если f(A) = O нулевой оператор (f(A) = O нулевая матрица.) Из упомянутого изоморфизма ясно, что оператор A является корнем многочлена f( ) тогда и только тогда, когда корнем этого многочлена является матрица A оператора A в произвольном (некотором) базисе.

Теорема 1. Если ( ) = det(A E) характеристический многочлен матрицы A, то (A) = O.

Доказательство. Пусть такое, что

( ) = det(A E) 6= 0:

Тогда матрица A E имеет обратную. При этом

(A E) 1 =	1	(1)
	( )B( );

1

где элементы матрицы B( ), являясь алгебраическими дополнениями матрицы A E, имеют степень не выше n 1. Умножив обе части равенства (1) слева на ( )(A E), получим

( )E = (A E)B( ):

(2)

Представим B( ) и ( ) в виде

B( ) = n 1Bn 1 + n 2Bn 2 + + B1 + B0;( ) = cn n + cn 1 n 1 + cn 2 n 2 + + c1 + c0:

Тогда (2) примет вид

(cn n + cn 1 n 1 + cn 2 n 2 + + c1 + c0)E = (A E)( n 1Bn 1 + n 2Bn 2 + + B1 + B0):

Раскрывая скобки и приравнивая матричные коэффициенты при одинаковых степенях , получим

cnE = Bn 1;

cn 1E	= ABn 1 Bn 2;
cn 2E	= ABn 2 Bn 3;
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

c1E = AB1 B0; c0E = AB0:

Умножим слева первое из этих равенств на An, второе на An 1 и т.д., последнее на E. Сложим получившиеся равенства почленно. Справа получится нулевая матрица, а слева (A). 2 Следствие 1. Степень Ak матрицы A (k > n) представима в виде

линейной комбинации матриц An 1, An 2,..., A1, E.

2. Жорданова форма матрицы линейного оператора

Квадратная матрица вида

20 1		0	: : : 0	03
	1 0	0	: : : 0	0
6:0: :	0: : :0: : :0: ::::::: : : : :1:7
6				7
6				7
60 0 0		0	: : : 0	7
4				5

2

называется жордановой клеткой порядка d и обозначается символом Jd, где d порядок матрицы.

В частности, жордановой клеткой порядка 1 является матрица, состоящая из единственного элемента .

Квадратная матрица A имеет жорданову форму, если она является блочно-диагональной матрицей с жордановыми клетками на диагонали:

23

A = 6	Jd1	0
	1 ...	7:

45

0	Jds
	s

Базис пространства в котором матрица оператора имеет жорданову форму называется жордановым базисом для этого оператора.

Далее будет доказана теорема об условиях существования жорданова базиса.

3. Корневые подпространства

Рассмотрим линейный оператор A, действующий в линейном пространстве L над полем P. Пусть собственное значение оператора A.

Обозначим

N(k) = Ker(A E)k; k = 1; 2; : : : :

Отметим, что N(1) есть множество всех собственных векторов пространства L, пополненное нулевым вектором.

Докажем, что N(k) есть инвариантное относительно оператора A

подпространство. Во-первых, N(k), будучи ядром оператора, является линейным подпространством. Пусть x 2 N(k), т.е. (A E)kx = 0. Тогда

(A E)k(Ax) = ((A E)kA)x = (A(A E)k)x =
= A((A E)kx) = A0 = 0;
т.е. Ax 2 N(k), ч.т.д.
Если x 2 N(k), то x 2 N(k+1), т.е. N(k) N(k+1).
Таким образом, имеем цепочку инвариантных подпространств
f0g N(1) N(2) N(k) N(k+1) :	(3)

3

Лемма 1. (A E)N(k+1) N(k); k = 0; 1; : : :.

Доказательство. Пусть x 2 N(k+1), т.е. (A E)k+1x = 0. Тогда

(A E)k((A E)x) = (A E)k+1x = 0;
т.е. (A E)x 2 N(k).	2
Лемма 2. Существует такое натуральное число p, что
N(1) N(2) N(p) = N(p+1) = ;	(4)

т.е. цепочка подпространств строго возрастает и после первого равенства своих членов это равенство сохраняется и далее.

Доказательство. Вернемся к цепочке (3). Так как

dimL = n < 1;

то существует натуральное p для которого N(p) = N(p+1). Пусть p

наименьшее с таким свойством. Покажем, что тогда N(p+1) = N(p+2). Действительно, пусть x 2 N(p+2), т.е.

(A E)p+1((A E)x) = 0:

Обозначим y = (A E)x. Тогда y 2 N(p+1) = N(p). Значит

(A E)py = 0 или (A E)p+1x = 0, т.е. x 2 N(p+1). Таким образом, N(p+1) = N(p+2). Аналогично доказывается N(p+2) = N(p+3) и

т.д.

2

Подпространство N(p), построенное в лемме 2 называется корневым подпространством отвечающим собственному значению .

4. Разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств

Пусть 1 2 SpecA и N(p1) корневое подпространство, отвечаю-

1

щее 1. Обозначим

M(p1) = Im(A 1E)p1 = (A 1E)p1 L:

1

a) Подпространство M(p1) инвариантно относительно оператора A.

1

Действительно,

A(M(p1)) = A((A 1E)p1 L) = (A(A 1E)p1 )L =

1

4

= ((A 1E)

p1

p1

(AL)

p1

(p1)

:

A)L = (A 1E)

(A 1E)

L = M 1

(p1)

(p1)

= f0g.

б) N 1

\ M 1

(p1)

(p1)

, т.е.

Действительно, пусть y 2 N 1

\ M 1

(A 1E)p1 y = 0

:

(5)

9x(y = (A 1E)p1 x)

2p

Отсюда (A 1E)2p1 x = 0, т.е. x 2 N 1 1 . Но по построению

2p1

2p1 1

p1

p1

N 1

= N 1

= = N 1 :

1E)

p1

x = 0. Тогда y = 0.

Значит x 2 N 1

, т.е. (A

(p1)

(p1)

.

в) L = N 1

M 1

Сумма этих подпространств прямая, ввиду пункта б). Применив теорему о сумме размерностей ядра и образа оператора (A 1E)p1 , завершим доказательство утверждения.

				(p	)	сужение оператора A на его
г) 1 2= SpecA1, где A1 = AjM 11
инвариантное подпространство M(p1).
Предположим противное, т.е.				1				x для некоторого 0 = x		2
				x =
(p1)	(1)	(p1)		A		(p1)	1	(p1)	6
M 1	. Тогда x 2 N 1	N 1	и x 2 N 1				\ M 1		. Но это пересечение

нулевое. Значит x = 0. Полученное противоречие завершает доказательство утверждения г).

(p1)

и оператор A1 на нем. Пусть 2 2

Рассмотрим пространство M 1

Spec

A1

. По доказанному

выше

=

. Построим в пространстве M

(p1)

p2

1

6

2

1

корневое подпространство N 2 . Обозначим

p2

= Im(A1

E)

p2

:

M 2

Повторяя вышеприведенные рассуждения получим разложение

(p1)

p2

p2

Тогда

M 1

= N 2

M 2 :

(p1)

(p2)

p2

:

L = N 1

N 2

M 2

Продолжая описанный процесс далее, получим разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств по различным собственным значениям

L = N(p1)

1

N(p2)

2

(ps)		(6)
N s	:

5

При этом все собственные векторы, отвечающие k, лежат в N(pk) (k =

k

1 : : : ; s). Поэтому сужение A = Aj (pk) оператора A на инвариантное

N k

подпространство N(pk) имеет единственное собственное значение k.

k

Осталось научиться строить жордановы базисы в корневых подпространствах. Объединив такие базисы мы, очевидно, получим жорданов базис всего пространства. Объединив жордановы базисы всех корневых подпространств, получим жорданов базис всего пространства.

5. Построение жорданова базиса в корневом подпространстве

Пусть U подпространство в линейном пространстве V. Система векторов пространства V называется линейно независимой над подпространством U, если никакая их нетривиальная линейная комбинация не лежит в U.

Базисом пространства V над его подпространством U называется всякая система векторов пространства V, образующая в совокупности с любым базисом подпространства U, базис пространства V.

Такой базис легко построить. Для этого достаточно взять какойлибо базис подпространства U, дополнить его до базиса пространства V и затем отбросить векторы выбранного базиса подпространства U.

Всякую систему векторов линейно независимую над подпространством U можно дополнить до базиса пространства V. Для этого достаточно к исходной системе добавить какой-либо базис подпространства U. Получится, как легко проверить, линейно независимая система. Эту систему следует дополнить до базиса пространства V и затем отбросить выбранный базис подпространства U.

Займемся построением жорданова базиса в корневом подпространстве. Будем считать, что характеристический многочлен оператора A, действующего в линейном пространстве L над полем P, имеет единственный корень 2 P, т.е. само пространство L состоит из своего единственного корневого подпространства N(p). Тогда цепочка (3) из предыдущей лекции примет вид

N(1) N(2) N(p) = L:

(7)

6

Выберем в N(p)

Обозначим

По лемме 1

базис над N(p 1):

e1; : : : ; eq:

B = A E:

Be1; : : : ; Beq 2 N(p 1):

Покажем, что векторы Be1; : : : ; Beq линейно независимы над N(p 2). Действительно, пусть

1Be1 + + qBeq 2 N(p 2)

и не все i (i = 1; : : : ; q) равны нулю. Тогда

B( 1e1 + + qeq) 2 N(p 2);

т.е.

Bp 2(B( 1e1 + + qeq)) = 0

или

Bp 1( 1e1 + + qeq) = 0:

Тем самым 1e1+ + qeq 2 Np 1, что противоречит выбору e1; : : : ; eq как базиса над Np 1.

Дополним систему Be1; : : : ; Beq до базиса N(p 1) над N(p 2):

Be1; : : : ; Beq; f1; : : : ; fs:

По лемме 1

B2e1; : : : ; B2eq; Bf1; : : : ; Bfs 2 N(p 2):

Аналогично доказывается линейная независимость этой системы векторов над N(p 3). Дополним ее до базиса над N(p 3):

B2e1; : : : ; B2eq; Bf1; : : : ; Bfs; g1; : : : ; gl:

Продолжая описанный процесс далее, получим систему векторов

e1;	: : : ;	eq
Be1;	: : : ;	Beq;	f1;	: : : ;	fs	(8)
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Bp 1e1; : : : ; Bp 1eq; Bp 2f1; : : : ;					Bp 2fs; : : : ; h1; : : : ; hr:

7

Векторы нижней строки образуют базис подпространства N(1), содержащего все собственные векторы. Векторы двух нижних строк образуют базис в N(2). Действительно, векторы предпоследней строки по построению есть базис N(2) над N(1), т.е. в совокупности с любым базисом N(1) они образуют базис N(2). Векторы трех нижних строк об-

разуют базис в N(3) и т.д. Наконец все векторы системы (8) образуют базис в N(p) = L.

Векторы 1-го столбца системы (8) обозначим

e01 = Bp 1e1; e02 = Bp 2e1; : : : ; e0p 1 = Be1; e0p = e1:

Имеем

B(Bp 1e1) = Bpe1 = 0

Be10

=

B

e0

=

( p 2e

) =

B

p 1e

1

= e0

2

B B

1

1

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

B

e0

=

(

e

) =

B

2e

1

= e0

p 1

B

B 1

p 2

B

e0

=

B

e

1

= e0

p

p 1

или

Ae10

= e10

Ae20

= e20 + e10

: : : : : : : : :

:

Aep0 1 = ep0 1 + ep0 2

Aep0

= ep0 + ep0 1

Таким образом, векторы e01; : : : ; e0p (покажите, что они линейно независимы!) порождают p-мерное инвариантное подпространство L1. Матрица сужения преобразования A на это подпространство в базисе

e10 ; : : : ; ep0 имеет вид		20 1				03
p				0	: : : 0
			1 0	0	: : : 0	0
J	=	6:0: :	0: : :0: : :0: ::::::: : : : :1:7				;
		6				7
		6				7
		60 0 0		0	: : : 0	7
		4				5

т.е. является жордановой клеткой порядка p. Аналогично каждому из следующих столбцов системы (8) отвечает инвариантное подпространство размерности равной числу векторов соответствующего столбца.

8

Пространство L есть прямая сумма этих подпространств. Матрица оператора A : L ! L в базисе, состоящем из всех векторов системы (8) пронумерованных снизу вверх и слева направо, есть блочнодиагональная матрица с жордановыми клетками Jdk на диагонали.

Таким образом, доказана

Теорема 1. Если все корни характеристического многочлена линейного оператор A, действующего в линейном пространстве L над полем P лежат в P, то жорданов базис оператора A существует.

6. Специальный случай

Заметим, что столбцы системы (8) были построены "сверху вниз". А возможно ли строить эти столбцы "снизу вверх\? Оказывается это не всегда возможно. Это показывает пример оператора, действующего в трехмерном пространстве L и имеющего в некотором базисе матрицу

A =	20	1	13
	1	0	0
	40	0	15

Оператор имеет единственное собственное значение = 1 кратности 3. В качестве базиса подпространства N1(1), т.е. нижнего ряда системы (8), возьмем векторы a и b, соответственно, с координатными столбцами (1; 1; 0)T и (0; 1; 0)T . Тогда для первого из них, как легко подсчитать, не существует вектора x, удовлетворяющего условию (A E)x = a, т.е. из вектора a нельзя продолжить построение системы (8). Иными словами, если вектор a обозначен как e01 (см. выше), то для него не существует вектор e02, удовлетворяющий условию Be02 = e01.

Рассмотрим специальный случай, когда построение жорданова базиса в корневом подпространстве возможно именно "снизу вверх\, причем быстрее, чем изложенным выше способом.

Предложение 1. Пусть A : L ! L линейный оператор и f(x)

многочлен. Тогда Im f(A) инвариантен относительно A.

Доказательство.

A(f(A)L) = f(A)(AL) f(A)L:

Теорема. Пусть линейный оператор A : Ln ! Ln удовлетворяет условиям

9

1)все корни его характеристического многочлена вещественны и равны одному и тому же ;

2)dim Ker B = 1, где B = A E.

Тогда в пространстве L можно построить жорданов базис e01; e02; : : : ; e0n такой, что

Be01 = 0; Be02 = e01; : : : ; Be0n = e0n 1:

При этом сначала в качестве e01 выбирается произвольный вектор, удовлетворяющий условию Be01 = 0; затем в качестве e02 выбирается произвольный вектор, удовлетворяющий условию Be02 = e01 и т..д.

Доказательство. Пусть 0 6= e01 2 KerB. Тогда по условию KerB = he01i. Из теоремы о размерности суммы ядра и образа оператора следует

			dim Im B = n 1:	(9)
Предположим	e0	= Im	B. Тогда
	1	2
			he1i \ ImB = f0g	(10)
и, ввиду (9),			L = he10 i ImB:	(11)

По предложению 1 ImB инвариантно относительно A. Тогда в ImB найдется собственный вектор оператора A. Но все такие вектора по условию теоремы принадлежат he1i. Противоречие с (10). Следовательно, e01 2 ImB, т.е. в ImB найдется такой вектор e02, что

Be20 = e10 :

(12)

Если, кроме того, Be002 = e01, то B(e002 e02) = 0, и значит e02 определяется с точностью до слагаемого 2e01.

При n = 2 это рассуждение дает базу индукции доказательства теоремы.

Предположим теорема верна для (n 1)-мерного пространства и рассмотрим n-мерное пространство L. Ввиду (9) для Im B требуемый

базис e01; e02; : : : ; e0n 1 существует. Пусть u произвольный вектор из L n Im B. Тогда L = he01; : : : ; e0n 1; ui и

Bu = 1e01 + + n 1e0n 1 2 Im B:

10