Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

2.5. Линейные отображения

.pdf
Скачиваний:
34
Добавлен:
09.06.2015
Размер:
149.71 Кб
Скачать

Остыловский А.Н. Лекция 2.5. Линейные отображения.

Определение. Примеры. Композиция отображений. Обратное отображение. Ядро. Образ. Задание линейного отображения образом базиса. Размерность ядра и образа. Отношение эквивалентности. Изоморфизм линейных пространств.

1. Определение. Примеры

Пусть L и M линейные пространства размерностей n и m над одним и тем же полем P.

Определение 1. Отображение A : L ! M называется линейным, если

A(x + y) = A(x) + A(y); A( x) = A(x)

для всех x; y 2 L и 2 P.

Из этого определения легко следует, что для любых x1; x2; : : : ; xn 2 L и любых 1; 2; : : : ; n 2 P

A( 1x1 + 2x2 + + nxn) = 1A(x1) + 2A(x2) + + nA(xn): (1)

Из этого факта нетрудно получить

Лемма 1. Если вектора x1, : : :, xk линейно зависимы, то и вектора A(x1), : : :, A(xk) линейно зависимы.

Если A(x) = y, то говорят, что вектор y есть образ вектора x, а вектор x есть прообраз вектора y.

Рассмотрим важнейшие примеры линейных отображений. Пример 1. Пусть L n-мерное линейное пространство над по-

лем R и M = Rn. Зафиксируем в L какой-либо базис e = (e1; : : : ; en). Для произвольного x = 1e1 + + nen 2 L положим

A(x) = [ 1; : : : ; n]T 2 Rn;

т.е. поставим в соответствие каждому вектору x его координатный столбец в выбранном базисе. Получим линейное отображение

A : L ! Rn:

Пример 2. Пусть L = Rn и M = Rm пространства вещественных столбцов и A (m n)-матрица. Полагая A(x) = Ax, получим линейное отображение A : Rn ! Rm.

1

2. Композиция отображений

Пусть A1 : L1 ! L2 и A2 : L2 ! L3 линейные отображения. Определим их композицию A2 A1 : L1 ! L3:

(A2 A1)(x) = A2(A1(x)):

Нетрудно проверить (проверьте!) линейность отображения A2 A1. Пример 3. Линейное рекуррентное соотношение

xn+2 = an+2xn+1 + bn+2xn + cn+2; n = 0; 1; : : :

можно представить в матричной форме

Xn+2 = An+2Xn+1;

где

 

2xn+13

 

 

2 1

 

 

3

 

 

2 xn

3 :

Xn+2

=

; An+2

=

n0

0

; Xn+1

=

 

 

xn+2

5

 

 

an+2

b +2

cn+2

 

 

xn+1

5

 

 

4 1

 

 

4 0

0

1

5

 

 

4 1

Такое представление имеет некоторые полезные приложения. Ввиду ассоциативности матричного умножения имеем:

Xn+2 = An+2Xn+1 = An+2(An+1Xn) = = (An+2An+1 A2)X1:

Теперь можно выразить xn+2 через x1 и x0, не вычисляя x2, x3,..., xn+1. Кроме того, произведение An+2An+1 A2 легко распараллеливается методом сдваивания, например,

A9A8A7A6A5A4A3A2 = ((A9A8)(A7A6))((A5A4)(A3A2)):

При наличии достаточно мощного многопроцессорного компьютера произведение N матриц таким способом находится примерно в N= log2 N раз быстрее, чем при последовательном счете.

Если An = A постоянная матрица, то Xn+2 = An+1X1 и матрицу An+1 можно найти в явном виде, используя, например жорданову форму. Это позволяет проследить асимптотическое поведение последовательности xn.

2

3. Обратное отображение

Предположим, что отображение A : L ! M взаимно однозначно. Определим обратное отображение A 1 : M ! L. Если A(x) = y, то положим A 1(y) = x.

Отображение A 1 линейно. Действительно, пусть A(x) = u и

A(y) = v. Тогда A(x + y) = u + v. Отсюда A 1(u + v) = x + y =

A 1(u) + A 1(v). Ещё легче проверяется, что A 1( u) = A 1(u).

4. Ядро. Образ

Пусть A : L ! M линейное отображение. Его ядром называется множество

Ker A = fx 2 L j A(x) = 0g:

Для подпространства U пространства L определим образ Im U:

Im U = A(U) = fA(x) j x 2 Ug:

Упражнение. Докажите, что Ker A есть подпространство в L, а Im U, в частности, Im L подпространства в M.

Упражнение. Докажите, что обратное к отображению A : L ! M отображение существует тогда и только тогда, когда Ker A = 0 и dim L = dim M.

5. Задание линейного отображения образом базиса

Пусть A : L ! M линейное отображение и e = (e1; : : : ; en)какой-либо базис в L. Для произвольного x = 1e1 + + nen ввиду (1) имеем

A(x) = A( 1e1 + + nen) = 1A(e1) + + nA(en): (2)

Таким образом, для того, чтобы знать действие линейного отображения на всем пространстве L достаточно знать его действие на векторах какого-либо базиса. Обратно, произвольным образом задавая A(e1),

: : :, A(en) для какого-либо базиса в L, по формуле (2) можно продолжить отображение A на всё пространство L.

6. Размерность ядра и образа

Имеет место

Теорема 1. Пусть A : L ! M линейное отображение и e = (e1; : : : ; en) такой базис в L, что первые его k векторов

3

e1, : : :, ek образуют базис ядра Ker A. Тогда система векторов f = (A(ek+1); : : : ; A(en)) является базисом образа Im A.

Доказательство. Пусть y 2 Im A, т.е. y = A(x) для некоторого x 2 L. Разложим x по базису e:

x = 1e1 + + nen:

Тогда

y= A(x) = A( 1e1 + + nen) =

=1A(e1) + + kA(ek) + k+1A(ek+1) + + nA(en) =

=k+1A(ek+1) + + nA(en);

т.е. система f является системой образующих для Im A. Осталось показать, что система f линейно независима. Пусть

k+1A(ek+1) + + nA(en) = 0:

Отсюда

A( k+1ek+1 + + nen) = 0

и значит

k+1ek+1 + + nen 2 Ker A:

Тогда вектор k+1ek+1 + + nen можно разложить по базису Ker A

k+1ek+1 + + nen = 1e1 + + kek:

Тогда

1e1 + + kek k+1ek+1 nen = 0:

Так как (e1; : : : ; en) базис, то в последнем равенстве все коэффициенты равны нулю, в частности, k+1 = = n = 0. 2

Из этой теоремы немедленно получается следствие, которое ввиду его важности сформулируем в виде

Теорема 2. Пусть A : L ! M линейное отображение. Тогда

dim Ker A + dim Im A = dim L:

4

7. Отношение эквивалентности

Пусть A, B множества. Их прямым произведением называется множество A B всех упорядоченных пар ha; bi таких, что a 2 A, b 2 B. Иными словами

A B = fha; bi j a 2 A; b 2 Bg:

Бинарным (или двухместным) отношением на множестве M называется произвольное подмножество множества M M. При этом вместо hx; yi 2 пишут x y.

Примерами бинарных отношений на множестве действительных чисел служат отношения "x < y "x y "x < y2 + 1" и т.д.

Бинарное отношение на множестве M называют рефлексивным, если для любого x 2 M выполнено x x.

Бинарное отношение на множестве M называют симметричным, если для любых x; y 2 M из x y следует y x.

Бинарное отношение на множестве M называют транзитивным, если для для любых x; y; z 2 M из x y и y z следует x z.

Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение на множестве M называется отношением эквивалентности на множестве M. Отношение эквивалентности обычно обозначают символом " т.е. вместо x y пишут x y.

Пример 4.

1.Отношение подобия на множестве треугольников есть отношение эквивалентности.

2.Отношение "m делится на k"на множестве натуральных чисел транзитивно, рефлексивно, но не симметрично.

3.Отношение "x < y"на множестве действительных чисел транзитивно, но не симметрично и не рефлексивно.

4.Отношение принадлежности студентов к одной и той же студенческой группе на множестве студентов данного вуза есть отношение эквивалентности.

Пусть на множестве M задано отношение эквивалентности. Класс эквивалентности, порожденный элементом x 2 M, есть по определению

[x] = fy 2 M j y xg:

5

Предложение 1. Если x y, то [x] = [y].

Доказательство. Пусть z 2 [x]. Тогда z x. Отсюда и из x y следует z y. Тогда z 2 [y], т.е. [x] [y]. Аналогично доказывается включение [y] [x]. 2

Предложение 2. Если классы эквивалентности на множестве M пересекаются, то они совпадают.

Доказательство. Пусть [x] \ [y] 3 z. Тогда x z и z y. Отсюда x y. Теперь ввиду предыдущего предложения [x] = [y]. 2

Следствие 1. Если [x] 6= [y], то [x] \ [y] = ?.

Таким образом, отношение эквивалентности на множестве M разбивает M на непересекающиеся классы эквивалентности.

8. Изоморфизм линейных пространств

Пусть L и M линейные пространства над одним и тем же полем P. Если существует взаимно однозначное линейное отображение A : L ! M, то оно называется изоморфизмом, а пространства L и M изоморфными. При этом пишут L ' M. Изоморфизм L ! M вовсе не обязательно единственный. На множестве всех линейных пространств отношение изоморфизма есть бинарное отношение.

Так как A 1 есть снова линейное отображение, то из L ' M следует M ' L, т.е. отношение изоморфизма симметрично.

Пусть A : L ! M и B : M ! G суть изоморфизмы. Тогда B A : L ! G есть снова взаимно однозначное линейное отображение, т.е. изоморфизм. Значит отношение изоморфизма транзитивно.

Так как тождественное отображение E : L ! L является изоморфизмом, то отношение изоморфизма рефлексивно.

Таким образом, отношение изоморфизма на множестве всех линейных пространств есть отношение эквивалентности.

Теорема 3. Два конечномерных линейных пространства над одним и тем же полем изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности одинаковы.

Доказательство. Пусть L n-мерное линейное пространство над полем P. Зафиксируем в L какой-либо базис e1; : : : ; en. Координатный столбец произвольного вектора x = 1e1 + + nen определен однозначно. Поэтому отображение A : L ! Pn

A(x) = [x]e = [ 1 : : : ; n]

6

взаимно однозначно. Кроме того для всех x; y 2 L и всех 2 P

[x + y]e = [x]e + [y]e; [ x] = [x]

т.е.

A(x + y) = A(x) + A(y); A( x) = A(x):

Таким образом, произвольное n-мерное линейное пространство над полем P изоморфно пространству Pn. Ссылка на транзитивность отношения изоморфизма завершает доказательство. 2

Алгебра изучает алгебраические системы, например, линейные пространства, с точностью до изоморфизма. Дело в том, что изоморфные системы неразличимы в языке этих систем. Всякое утверждение истинное (ложное) в одной системе истинно (ложно) в другой. Например, если в линейном пространстве L для всякого линейного отображения L ! L существует двумерное инвариантное подпространство, то и любое изоморфное L линейное пространство удовлетворяет этому свойству.

Упражнения

1. Докажите линейность композиции линейных отображений

A2 A1.

2. Докажите ассоциативность композиции отображений:

(A3 A2) A1 = A3 (A2 A1):

3.Докажите, что Ker A и Im A есть подпространства, соответственно, в L и M и dim Im U dim U.

4.Верно ли, что:

а) A(L1 \ L2) = A(L1) \ A(L2); б) A(L1 \ L2) A(L1) \ A(L2)?

7