2.1, 2.2.. Евклидовы пространства

Остыловский А.Н. Лекции 2.1, 2.2.

Евклидовы пространства. Аксиомы скалярного произведения. Примеры. Неравенство Коши-Буняковского. Длина. Угол. Неравенство треугольника. Приложения. Ортонормированный базис. Процесс ортогонализации. Скалярное произведение в произвольном и ортонормированном базисе. Связь матриц Грама различных базисов. Ортогональные матрицы как матрицы перехода от одного ортонормированного базиса к другому. Ортогональное дополнение. Изоморфизм евклидовых пространств.

1. Аксиомы скалярного произведения. Ранее мы рассматривали абстрактное линейное пространство. Прообразом его является пространство векторов направленных отрезков. В нём есть естественные геометрические понятия длины и угла через которые было определено скалярное произведение. Хотелось бы и в абстрактном линейном пространстве ввести понятия длины и угла. Здесь можно поступить наоборот: аксиоматически ввести скалярное произведение, а через него определить понятия длины и угла.

Определение 1. Вещественное линейное пространство E называется евклидовым, если в нём определена операция скалярного умножения, т.е. любым двум векторам x; y 2 E сопоставлено вещественное число (обозначаемое (x; y)), и это соответствие удовлетворяет следующим аксиомам, для любых x; y 2 E и любого числа :

1)(x; y) = (y; x);

2)(x + y; z) = (x; z) + (y; z);

3)( x; y) = (x; y);

4)(x; x) > 0 для всех x 6= o.

Из этих аксиом немедленно получаем:

(x; y + z) = (x; y) + (x; z);

1

(x; y) = (x; y):

Евклидово пространство размерности n будем обозначать через En.

Пример 1. В геометрическом пространстве векторов скалярное произведение, определённое как произведение их длин на косинус угла между ними, удовлетворяет аксиомам 1)–4).

Пример 2. В арифметическом пространстве Rn скалярное произведение столбцов , можно (проверьте) определить так:

( ; ) = T = 1 1 + 2 2 + + n n:

(1)

Такое скалярное произведение в Rn называют стандартным скалярным произведением. Далее мы увидим, что в Rn скалярное произведение можно задать иначе.

Пример 3. В пространстве C[a;b] всех непрерывных на отрезке

[a; b] функций скалярное произведение можно (проверьте) ввести так:

Z b

(f; g) =

f(t)g(t)dt:

(2)

a

2. Неравенство Коши-Буняковского.

Теорема 1. Для любых двух векторов x; y евклидова пространства E справедливо неравенство

(x; y)2 (x; x)(y; y):

(3)

Доказательство. Пусть o 6= x 2 E. В соответствии с аксиомами скалярного произведения для любого числа имеем

0 ( x + y; x + y) = 2(x; x) + 2 (x; y) + (y; y):

При фиксированных x; y 2 E последнее выражение есть квадратный трёхчлен f( ) с положительным старшим коэффициентом (x; x).

2

Так как трёхчлен f( ) неотрицателен для всех 2 R, то его дискриминант неположителен, т.е.

4(x; y)2 4(x; x)(y; y) 0:

Отсюда легко получить (3). 2

Пример 4. Для скалярных произведений (1), (2) неравенство Коши-Буняковского принимает вид

n	i i!2	n	( i)2	! n	( i)2!
X		Xi		X
i=1		=1		i=1

и соответственно

b 2 b b

Z Z Z

f(t)g(t)dt f2(t)dt g2(t)dt :

a a a

3. Длина вектора.

Определение 2. Длиной jxj вектора x 2 E называется число

p

jxj = (x; x):

Замечание 1. Теперь неравенство Коши-Буняковского можно записать так:

j(x; y)j jxjjyj:

(4)

Данное определение длины вектора отвечает привычным пред-

ставлениям о длине. Об этом свидетельствует

Теорема 2. 1 jxj 0 для любого x 2 E, причём jxj = 0 тогда

и только тогда, когда x = o;

2 j xj = j jjxj для любого x 2 E и любого 2 R;

3 для любых двух векторов x; y евклидова пространства E спра-

ведливо неравенство (неравенство треугольника)
jx y)j jxj + jyj:	(5)

3

Доказательство. 1 следует непосредственно из аксиом ска-

лярного произведения. 2 Имеем

pp

j xj = ( x; x) = 2(x; x) = j jjxj:

3 . Используя неравенство (4), получаем

jx yj2 = (x + y; x + y) = jxj2 2(x; y) + jyj2

jxj2 + 2jxjjyj + jyj2 = (jxj + jyj)2:

2

Пример 5. Для скалярных произведений (1), (2) неравенство треугольника принимает вид

n	( i i)2!1=2		n	( i)2!1=2	+	n	( i)2!1=2
X			X			Xi
i=1			i=1			=1

и соответственно

Z b 1=2 Z b 1=2 Z b 1=2

[f(t) g(t)]2dt f2(t)dt + g2(t)dt :

a a a

4. Угол между векторами.

Определение 3. Углом между ненулевыми векторами x и y

называется величина ' (0 ' ), определяемая из уравнения

	cos ' =	(x; y)	:	(6)
		jxjjyj

Из неравенства (4) следует корректность такого определения угла, т.е. величина, стоящая в правой части (6), не превосходит по модулю 1, а значит равна косинусу некоторого угла.

Определение 4. Векторы x и y называются ортогональными

(x?y), если (x; y) = 0.

4

Сделаем несколько очевидных замечаний.

Замечание 2. x?x , x = o.

Замечание 3. Если вектор ортогонален нескольким векторам, то он ортогонален и любой их линейной комбинации.

Замечание 4. x?y ) jx + yj2 = (x + y; x + y) = jxj2 + jyj2

(теорема Пифагора).

Замечание 5. Система x1; : : : ; xk попарно ортогональных ненулевых векторов линейно независима.

В самом деле, умножая равенство 1x1 + + kxk = o скалярно на xi, получим i = 0, что и требовалось.

5. Ортонормированный базис. Процесс ортогонализации.

Из последнего замечания предыдущего пункта следует, что упорядоченная система n попарно ортогональных единичных векторов в En

(если она существует) образует базис. Он называется ортонормированным базисом. Иными словами, базис e = (e1; : : : ; en) ортонормированный, если

(ei

; ej) = ij =

80;

если i 6= j;

(7)

<1;

если i = j

или

:

T

=

2e..1

3

e

: : :

e

=

2:(e: :1;: e: :1): : ::::::: :(:e:1:;:e:n:):3

= E

(8)

e

e

1

.

h

ni

6(en; e1) : : : (en; en)7

6en7

6

7

6

7

4

5

4

5

Теорема 3. В En существует ортонормированный базис.

Доказательство. Пусть f1; f2; : : : ; fn произвольный базис. Вначале перестроим его в систему попарно ортогональных векторов. Положим g1 = f1. Вектор g2 будем искать в виде g2 = f2 + g1. Неопределённый коэффициент попытаемся подобрать так, чтобы

5

векторы g2 и g1 были ортогональны, т.е. (g2; g1) = 0 или

(f2 + g1; g1) = 0:

Отсюда

= (f2; g1) : (g1; g1)

Вектор g3 будем искать в виде g3 = f3 + 1g1 + 2g2. Неопределённые коэффициенты 1 и 2 подберём так, чтобы вектор g3 был ортогонален как вектору g1, так и вектору g2, т.е. (g3; g1) = (g3; g2) = 0

или

(f3 + 1g1 + 2g2; g1) = 0;

(f3 + 1g1 + 2g2; g2) = 0:

Раскрывая здесь скобки и учитывая, что (g2; g1) = 0, получим

1 =	(f3; g1)	;	2 =	(f3; g2)	:
	(g1; g1)			(g2; g2)

Итак, мы уже имеем тройку попарно ортогональных векторов g1; g2; g3. Ясно, что вектор g4, ортогональный к ним, следует искать

в виде g4 = f4 + 1g1 + 2g2 + 2g3.

Продолжая описанный процесс далее, получим систему попарно ортогональных векторов g1; : : : ; gn. Нормируя эти вектора, придём

к искомому базису
e1 =	g1		; : : : ; en =	gn	:
	jg1j			jgnj
2

6. Скалярное произведение в произвольном и ортонормированном базисах. Матрица Грама. Пусть e = (e1; : : : ; en)

произвольный базис в En и x = iei, y = jej векторы из En

(используем немое суммирование). Обозначим gij = (ei; ej). Тогда

(x; y) = ( iei; jej) = i j(ei; ej) = i jgij:

(9)

6

Последнее выражение есть двойная сумма (по i и по j); его называют

тензорной формой записи скалярного произведения. Матрица

=		T		=	2:(e: :1;: e: :1): : ::::::: :(:e:1:;:e:n:):3		=	2:g:11: : ::::::: :g:1:n:3
	e		e
					6(en; e1) : : : (en; en)7			6gn1	: : : gnn7
					6	7		6	7
					4	5		4	5

называется матрицей Грама базиса e = (e1; : : : ; en). Ввиду коммутативности скалярного произведения эта матрица симметрична, т.е. gij = gji.

Нетрудно проверить, что последнее выражение в (9) можно за-

писать в виде T . Тогда
(x; y) = T :	(10)

Это есть матричная форма записи скалярного произведения. Если e = (e1; : : : ; en) ортонормированный базис, то

gij = (ei; ej) = ij

и = E единичная матрица. При этом формулы (9), (10) приобретают, соответственно, вид

(x; y) = 1 1 + 2 2 + + n n

(11)

и

(x; y) = T :

(12)

7. Связь матриц Грама различных базисов. Пусть e = (e1; : : : ; en) и e0 = (e01; : : : ; e0n) два базиса в En, связанные матрицей перехода S = [ ij], т.е. e0 = eS или e0i = ijej. Тогда

0 = e0T e0 = (eS)T (eS) = (ST eT )(eS) = ST (eT e)S = ST S:

7

Мы получили искомую связь
0 = ST S		(13)
или в компонентах
f gji = fST Sgji = fST gpi f gkpfSgjk;
т.е.
g0	= gpk p k:	(14)
ij	i j

Последнюю формулу можно получить и непосредственно:

gij0 = (e0i; e0j) = ( ipep; jkek) = ip jk(ep; ek) = gpk ip jk:

8. Ортогональные матрицы как матрицы перехода от одного ортонормированного базиса к другому. Если оба базиса e0 и e ортонормированные, т.е. = 0 = E, то формула (13) принимает вид

E = ST S:

(15)

Матрицы, удовлетворяющие такому соотношению называются ортогональными. Очевидно, условие (15) равносильно условию

ST = S 1:

(16)

Обратно, пусть e ортонормированный базис, S ортогональ-

ная матрица и e0 = eS новый базис. Тогда

e0T e0 = (eS)T (eS) = ST (eT e)S = ST ES = ST S = E;

т.е. e0 снова ортонормированный базис. Таким образом доказана

Теорема 4. Ортогональные матрицы и только они являются матрицами перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному.

8

9. Ортогональное дополнение.

Определение 5. Пусть U линейное подпространство пространства En. Множество U? всех векторов из En, ортогональных всем векторам подпространства U, называется ортогональным дополнением подпространства U.

Теорема 5. Ортогональное дополнение линейного подпространства U размерности k пространства En является линейным подпространством размерности n k.

Доказательство. Пусть e1; : : : ; ek ортонормированный базис подпространства U. Дополним его до ортонормированного базиса e = fe1; : : : ; ek; ek+1; : : : ; eng пространства En. (Почему это возможно?)

Пусть

x = 1e1 + + kek + k+1ek+1 + + nen

произвольный вектор из En. Условие x 2 U? равносильно системе

(x; ei) = 0; i = 1; : : : ; k:

Вкоординатах, с учётом ортонормированности базиса e, это даёт

i = 0; i = 1; : : : ; k:

Тогда все вектора вида

x= k+1ek+1 + + nen

итолько они принадлежат ортогональному дополнению U?, т.е. U?

есть линейная оболочка системы fek+1; : : : ; eng. 2

Следствие 1. Для любого линейного подпространства U евклидова пространства E имеет место разложение E = U U?.

Доказательство. Упражняйтесь.

9

10. Изоморфизм евклидовых пространств. Два евклидовых пространства E и E0 называются изоморфными, если существует взаимно однозначное линейное отображение A : E ! E0 сохраняющее скалярное произведение, т.е.

8x; y 2 E (x; y) = (A(x); A(y))0

(( ; )0 скалярное произведение на E0).

Теорема 6. Любые евклидовы пространства E и E0 одинаковой конечной размерности изоморфны.

Доказательство. Пусть e1; : : : ; en и e01; : : : ; e0n ортонормированные базисы, соответственно, в E и E0. Легко проверить, что отображение

A : x = 1e1 + + nen ! x0 = 1e01 + + ne0n

линейно и взаимно однозначно. Ввиду (11)

(x; y) = (x0; y0)0 = 1 1 + + n n;

где y = 1e1 + + nen: 2

Упражнения.

1.Докажите, что неравенство Коши-Буняковского превращается

вравенство тогда и только тогда, когда векторы x; y коллинеарны (пропорциональны).

2.Докажите правило параллелограмма

jx + yj2 + jx yj2 = 2(jxj + jyj)2:

3. Докажите

jxj = jyj ) (x + y; x y) = 0

(диагонали ромба пересекаются под прямым углом).

10