2.15.Тензорная алгебра(продолжение)

Остыловский А.Н. Лекция 14. (Тензорная алгебра линейного пространства) Признак тензора. Транспонирование. Симметрирование и альтернирование. Инвариантность тензорных соотношений.

14.1. Признак тензора

Пусть объкт T в каждом базисе линейного пространства Ln задан соответствующим набором чисел Tij.

Предложение 14.1. Объект T является тензором типа (0; 2)

тогда и только тогда, когда для двух произвольных векторов xi, yj

величина Tijxiyj есть инвариант.

Доказательство. Если Tij тензор, то Tijxiyj есть полная свертка, а значит инвариант. Обратно, пусть Tijxiyj инвариант. Тогда

Tij0 x0iy0j = Tpqxpyq = Tpqx0i ipy0j jq:

Вычитая из 1-го выражения последнее, получим

(Tij0 Tpq ip jq)x0iy0j = 0:

Отсюда в силу произвольности векторов x и y

Tij0 = Tpq ip jq:

Аналогично формулируются и доказыватся признаки тензоров типа (p; q).

Упражнение 14.1. Сформулируйте и докажите критерий тензоров типа (1; 1), (1; 2), (p; q).

14.2. Транспонирование

Пусть T тензор типа (p; q) с компонентами T i1:::ip в базисе e.

j1:::jq

При этом p 2 или q 2. Поставим в соответствие этому бази-

су упорядоченный набор чисел Si1:::ip , отличающийся от исходного

j1:::jq

1

j

0i1i2i3

только порядком верхних или нижних индексов. И так проделаем для каждого базиса. Например,

Si1i2i3:::ip := T i2i1i3:::ip :

j1:::jq j1:::jq

Этим соответствием определяется новый тензор S. Покажем это на примере. Пусть T тензор типа (3,1) с компонентами Tji1i2i3 и T

в базисах e и e0соответственно. Поставим базису e в соответствие набор чисел

		Si1i2i3		:= T i1i3i2 ;
		j			j
а базису e0
		S0i1i2i3		:= T 0i1i3i2 :
		j			j
Имеем
S0i1i2i3		= T 0i1i3i2	= i1 i3 i2 T k1k3k2				l	=
j		j			k1 k3 k2	l	j
= i1 i3 i2 Sk1k2k3			l		= i1 i2 i3 Sk1k2k3			l	;
k1	k3 k2 l			j	k1 k2	k3 l		j

т.е. при замене базиса набор чисел Sji1i2i3 преобразуется по тензорному закону типа (3,1), ч.т.д.

Аналогично можно убедиться, что этот способ получения нового тензора из исходного можно распространить на произвольную перестановку только верхних или только нижних индексов. При этом говорят, что новый тензор получен транспонированием исходного.

Пример 14.1. Трилинейная форма

T : L L L ! R

является тензором типа (0; 3). Пусть Tijk её компоненты в некотором базисе e и x = iei, y = jej, z = kek векторы из L. Тогда

T (x; y; z) = Tijk i j k:

Транспонированием тензора T построим тензор S с компонентами Sijk = Tkji в этом базисе. При этом

S(x; y; z) = Sijk i j k = Tkji i j k

2

и, вообще говоря, S(x; y; z) 6= T (x; y; z). Однако если Tkji = Tijk для всех i, j, то S(x; y; z) = T (x; y; z).

Упражнение 14.2. Определите операцию транспонирования на языке полилинейных форм. (Указание. Достаточно рассмотреть билинейные формы в L и в L .)

Заметим, что перестановка какого-нибудь верхнего индекса с какимнибудь нижним индексом у компонент тензора не является, вообще говоря, тензорной операцией, т.е. она не инвариантна относительно замены базиса. Убедимся в этом на примере. Возьмём две матрицы A

и S 1AS, определяющие один и тот же линейный оператор в различных базисах тензор типа (1; 1) (см. пример из п.4.1). Транспонируем их как матрицы. Полученные матрицы AT и ST AT S T определят различные линейные операторы.

Упражнение 14.3. Пусть A, B тензоры типа (1; 1). Выразить тензор C = A B через D = B A.

Упражнение 14.4. Пусть : L L ! R билинейная форма. Произвольному базису e поставим в соответствие матрицу A2, где

A матрица формы в этом базисе. Определяет ли это соответствие билинейную форму? Иными словами, является ли тензорной операция возведения в квадрат матрицы билинейной формы?

14.3. Перестановки

Как известно из комбинаторики, конечное множество M, состоящее из n элементов, можно упорядочить всего n! различными способами, называемыми обычно перестановками. Одну из этих перестановок рассматривают как "основную а все остальные как получающиеся из нее изменением порядка следования элементов. Так, например, если M = f1; 2; : : : ; ng, то в качестве основной естественно взять перестановку (1; 2; : : : ; n). Если M = fa; b; c; : : : ; x; y; zg

латинский алфавит, то в качестве основной перестановки общепри-

3

нят порядок, называемый алфавитным. Факт предшествования в основной перестановке элемента i элементу j будем символически записывать как i j или j i.

Говорят, что в данной перестановке элементы i, j образуют инверсию, если i j, но i стоит в перестановке раньше j.

Число инверсий в перестановке (j1; j2; : : : ; jn) будем обозначать N(j1; j2; : : : ; jn). Перестановка (j1; j2; : : : ; jn) называется чётной, если N(j1; j2; : : : ; jn) число чётное, и нечётной в противном случае. Например, перестановка (1; 3; 2; 6; 5; 4) четная, ибо в ней всего 4 инверсии: (3; 2), (6; 5), (6; 4), (5; 4). Перестановка (i; j; k) не имеет инверсий, если считать ее основной, но имеет 1 инверсию, если основной считать перестановку (j; i; k).

Транспозицией называется преобразование перестановки, при котором меняются местами какие-либо два элемента, не обязательно рядом стоящие.

Всякая транспозиция меняет четность перестановки.

Все перестановки можно расположить в таком порядке, что каждая следующая будет получаться из предыдущей при помощи одной транспозиции, причем начать можно с любой перестановки. Например,

(ijk); (ikj); (kij); (kji); (jki); (jik):

14.4. Симметрирование и альтернирование

Рассмотрим тензор T типа (p; q), контравариантная валентность которого p не меньше заданного числа s 2. Выберем какие-нибудь s верхних индексов и подсчитаем, сколько тензоров можно получить из тензора T транспонированием по выбранным индексам. Переставляя индексы попарно, можно расположить их в произвольном порядке. Это, как известно, можно сделать s! способами. Итак, транспо-

4

T(ijkl)

в частности,

нируя исходный тензор по s индексам, можно получить s! тензоров. Сложим все эти тензоры и разделим сумму на s! Полученный тензор называется результатом симметрирования исходного тензора T по выбранной группе индексов. Его компоненты обозначаются заключением в круглые скобки этой группы индексов у компонент тензора

T . Индексы, не участвующие в симметрировании, могут быть выделены вертикальными чёрточками.

Аналогично определяется симметрирование по нижним индексам. Рассмотрим примеры.

1. Возьмём тензор типа (3; 0) с компонентами T ijk. Произведя его

симметрирование по 1-му и 3-му индексам, получим тензор с компонентами

T (ijjjk) = 12(T ijk + T kji); T (3j4j2) = 12(T 342 + T 243):

2. Возьмём тензор типа (1; 3) и симметрируем его по всем нижним индексам:

= 3!1 (Tjkli + Tjlki + Tklji + Tkjli + Tljki + Tlkji ):

3. Рассмотрим билинейную форму с матрицей B = [bij], т.е. тензор типа (0; 2) с компонентами bij. Симметрируя его, получим тензор с компонентами

1

b(ij) = 2!(bij + bji)

т.е. симметричную билинейную форму с матрицей H = 12(B + BT ). Операцию альтернирования изложим на примере. Рассмотрим тен-

зор Tijkl. Произведем его альтернирование по 1-му, 2-му и 4-му индексам. Для этого вначале произведем симметрирование

T

(ijjkjl)

=

1

(T

+ T

+ T

+ T

+ T

+ T

):

(1)

ijjkjl

jljkji

lijkjj

jijkjl

iljkjj

3!

ljjkji

5

Зафиксируем i, j, k. Перестановку (ijk) будем считать основной. Каждое из слагаемых в правой части (1) умножим на ( 1) , гдечисло инверсий в перестановке индексов соответствующего слагаемого. Получим требуемый тензор. Его компоненты обозначаются заключением в квадратные скобки тех индексов, по которым производится альтернирование:

1

T[ijjkjl] = 3!(Tijjkjl + Tjljkji + Tlijkjj Tjijkjl Tiljkjj Tljjkji):

Например,

1

T[31j4j2] = 3!(T31j4j2 + T12j4j3 + T23j4j1 T13j4j2 T32j4j1 T21j4j3):

Аналогично определяется альтернирование по нижним индексам, например:

T[213]i = 3!1 (T213i + T132i + T321i T123i T231i T312i ):

В качестве ещё одного примера можно взять альтернированное произведение двух векторов антисимметричный тензор типа (2; 0),

называемый иногда бивектором, с компонентами

V ij = i j j i:

Из компонент этого тензора можно составить кососимметричную

матрицу													3			3:
V = 2	( 1 2			2	1)	1			0			2		3	2
6 ( 1			0					2 2 1				1	3	3	1	7
		3		3	1)		(	2 3		3	2)
													0
4																5

В п.1.1 мы отмечали, что детерминант матрицы линейного оператора (как один из коэффициентов характеристического многочлена) есть инвариант. Теперь выразим этот инвариант при помощи тензорных операций. Пусть aij элементы матрицы линейного оператора

6

A в некотором базисе e. Тогда n-кратное тензорное произведение преобразования A само на себя A A A имеет компоненты

i1 i2	in	:
aj1 aj2	ajn

Альтернируем это произведение по всем нижним индексам. Полученный тензор типа (n; n) свернём по всем индексам. Получим тензор типа (0; 0), т.е. инвариант:

i1	i2	in	:
= a[i1 ai2		ain]

Здесь n индексов суммирования, каждый из которых принимает по n значений. Следовательно, правая часть распадается на nn слагаемых. Каждое из этих слагаемых представляет собой алгебраическую сумму n! членов, возникающих при альтернировании. Если в наборе индексов, определяющем какое-нибудь из названных nn слагаемых, есть два равных индекса, то такое слагаемое равно нулю. Действительно, для каждого члена в нём, взятого со знаком "плюс найдётся неотличающийся член, взятый со знаком "минус". Если же в наборе индексов, определяющем слагаемое, все индексы различны, то, переставляя сомножители в каждом члене этого слагаемого, можно привести его к виду

a1[1a22 ann]:

Всего слагаемых второго типа n! Следовательно,

= n!a1[1a22 ann]:

Расписав подробно альтернирование, получим

1		(kX1 n	N(k1:::kn)	1	n	i
= n!	n!		( 1)	ak1	akn	= det[aj	]:
		:::k	)

Определение 1. Тензор называется симметричным по паре индексов, если результат его альтернирования по этой паре равен нулю.

7

Симметричный по паре индексов тензор не меняется при транспонировании по этой паре индексов. В самом деле, если, например,

T[ij] = 0, то Tij = Tji:

Тензор симметричен по группе индексов, если он симметричен по любым двум индексам из этой группы. В этом случае он не меняется при любом транспонировании по индексам этой группы.

Не представляет труда убедиться, что результат симметрирования тензора по нескольким индексам будет тензором, симметричным по этим индексам.

Определение 2. Тензор называется кососимметричным или антисимметричным по паре индексов, если равен нулю результат его симметрирования по этим индексам. Кососимметричный по паре индексов тензор меняет знак при транспонировании по этой паре индексов.

Тензор кососимметричен по группе индексов, если он кососимметричен по любой паре индексов из этой группы. В этом случае он не меняется при транспонировании, которому соответствует перестановка с чётным числом нарушений порядка, и меняет знак, если транспонированию соответствует перестановка с нечётным числом нарушений порядка. Действительно, такие транспонирования сводятся, соответственно, к чётному и нечётному числу транспонирований, переставляющих пары индексов.

Тензор кососимметричен (абсолютно кососимметричен), если он кососимметричен по любой паре индексов.

Можно доказать, что результат альтернирования тензора по нескольким индексам кососимметричен по этим индексам.

Если тензор кососимметричен по двум индексам, то равны нулю все те его компоненты, у которых совпадают значения этих индексов.

8

Действительно, пусть, например,

i1i2	i2i1	:
Tj1j2j3	= Tj1j2j3

Тогда тех компонент, у которых i1 = i2 = k, мы имеем

kk	=	kk
Tj1j2j3		Tj1j2j3
и, следовательно,
kk		= 0:
Tj1j2j3

В качестве примера рассмотрим следующее

Предложение 14.2. Каждый тензор типа (0; 2) однозначно представляется в виде суммы симметричного и кососимметричного тензоров.

Действительно, пусть такое представление имеет место, т.е.

Bij = Pij + Qij;

где

P[ij] = 0; Qij = 0:

Тогда, альтернируя и симметрируя обе части равенства, получаем, соответственно,

B[ij] = Q[ij] = Qij;

B(ij) = P(ij) = Pij;

что доказывает однозначность искомого представления. С другой стороны, всегда

	1		1			1			1
B(ij) + B[ij] =		Bij +			Bji +			Bij		Bji;
	2			2			2		2

т.е.

Pij + Qij = Bij;

и предложение полностью доказано.

9

Отметим, что на языке матриц доказательство этого предложения

выглядит проще. Положим

S =	1	(B + BT ); Q =	1	(B BT ):
	2		2

Тогда

ST = S; QT = Q; S + Q = B:

Упражнение 14.5. Не используя сокращенных обозначений, вы-

пишите все компоненты тензоров, заданных в пространстве L2:

1) x(iyk); 2) x[iyk]; 3) x(kaii);

4) x[kaii]; 5) ai[iakk]; 6) ai(iakk).

Упражнение 14.6. Пусть aij и bij компоненты, соответственно, симметричного и антисимметричного тензоров. Показать, что

aijbij = 0.

Упражнение 14.7. Пусть aijk i j k = 0 для любого вектора i.

Доказать, что a[ijk] = 0.

Упражнение 14.8. Доказать, что a(jiakl ) = ai(jakl), a[jiakl ] = ai[jakl].

Упражнение 14.9. Показать:

1)[ii jj kk] = (n3 3n2 + 2n)=6;

2)(ii jj kk) = (n3 + 3n2 + 2n)=6.

14.5. Об инвариантности тензорных соотношений

Пусть имеется какое-то соотношение между тензорами. Если выбран базис, это соотношение порождает соответствующие соотношения между компонентами этих тензоров. Вид соотношений между компонентами одинаков во всех базисах. Например, соотношение

T = A x + B y;

где A, B билинейные формы, а x, y векторы, равносильно равенству

Tjki = ajk i + bjk i

10