2.15.Тензоры в евклидовом

Остыловский А.Н. Лекция 15. (Тензоры в евклидовом пространстве) Метрический тензор. Естественный изоморфизм между евклидовым пространством и ему сопряженным. Поднятие и опускание индексов. Структурный тензор алгебры.

15.1. Метрический тензор

Как известно из теории билинейных форм, всякая симметричная положительно определённая билинейная форма G : L L ! R задаёт скалярное произведение на линейном пространстве L, тем самым превращая его в евклидово. Такую билинейную форму и называют

метрическим тензором.

Пусть e = fe1; : : : ; eng базис и

gij := G(ei; ej)

суть компоненты метрического тензора G в этом базисе. Матрица

= [gij] называется матрицей Грама базиса e. При этом скалярное произведение векторов x = iei и y = jej есть значение формы G

на паре этих векторов:

(x; y) = G(x; y) = gij i j = T :

(1)

С другой стороны, рассмотрим тензор x y G типа (2; 2). Его компоненты в базисе e суть gij k l. Свернув этот тензор дважды, получим тензор типа (0; 0), т.е. инвариант числовую характеристику пары векторов x, y, одинаковую во всех базисах: gij i j.

Предложение 15.1. Поставим каждому базису евклидова пространства матрицу, обратную матрице Грама этого базиса. Это соответствие определяет тензор типа (2; 0), называемый контравариантным метрическим тензором.

Доказательство. Пусть и 0 матрицы Грама базисов e и e0 = eS. Тогда

0 = ST S:

1

Отсюда

( 0) 1 = S 1 1(S 1)T :

Обозначив через gij и g0ij элементы матриц 1 и 0 1 соответственно, перепишем последнее равенство в виде

g0ij = ki ljgkl:

Это суть закон преобразования компонент тензора типа (2; 0). Равенства 1 = E и 1 = E могут быть переписаны через

компоненты gij gij:

gijgjk = k;	gjigkj = k:	(2)
i	i

Кроме того, поскольку ( 1)T = ( T ) 1 = 1, контравариантный метрический тензор симметричен:

gij = gji:

Пример 15.1. Пусть : L L ! R невырожденная билинейная форма и B = [bij] её матрица в некотором базисе. Поставим в соответствие этому базису матрицу B 1 = [bij]. Тогда при замене базиса имеем:

B01 = (ST BS) 1 = S 1B 1S T

или (проверьте!)

b0ij = pi qjbpq;

т.е. матрица B 1 определяет компоненты тензора типа (2; 0) или билинейную форму b : L L ! R.

Нетрудно проверить

(x; y) = T B = ( T B)B 1(B ) = ibik pbqp bkq;

т.е.

b(f; g) = (x; y);

2

где f, g различные (уточните, какие) свертки тензоров x иy.

15.2. Естественный изоморфизм между E и E

Наличие метрического тензора G в евклидовом пространстве E

позволяет построить изоморфизм : E ! E пространства E на сопряжённое ему пространство E , не зависящий от выбора базисов в E и E .

Пусть y 2 E. Положим (y) = y 2 E и y (x) := (y; x); x 2 E:

Убедимся, что изоморфизм. Имеем

(y + z) (x) = (y + z; x) = (y; x) + (z; x) = y (x) + z (x);

т.е.

(y + z) = (y) + (z):

Далее,

( y) (x) = ( y; x) = (y; x) = y (x);

т.е.

( y) = (y):

Теперь докажем, что взаимно однозначно. Предположим, что

(y) = (z), т.е.

(y; x) = (z; x); x 2 E:

Тогда

(y z; x) = 0; x 2 E;

в частности, при x = y z,

(y z; y z) = 0:

3

Отсюда, ввиду невырожденности скалярного произведения, следует y z = 0 или y = z, что завершает доказательство изоморфизма E

и E как линейных пространств.

Превратим E в евклидово пространство. Пусть x ; y 2 E , x; y 2 E и (x) = x , (y) = y . Зададим скалярное произведение на E :

(x ; y ) := (x; y):

Тогда становится изоморфизмом евклидовых пространств E и E . Теперь можно отождествлять каждое евклидово пространство

E с его сопряжённым пространством E и, в частности, не различать даже в обозначениях! вектор y и ковектор y . Ввиду этого сопряжённый базис в E можно определить независимо от E .

Определение 15.1. В евклидовом пространстве E базис e = (e1; : : : ; en)T называется сопряжённым к базису e = (e1; : : : ; en) если

(ei; ej) = i	; i; j = 1; : : : ; n;
j
или в матричной форме
e e = E:		(3)

Существование сопряженного базиса вовсе не очевидно.

Упражнение 15.1. В пространстве R2 со стандартным скалярным произведением построить базис, сопряженный к базису e1 = (1; 2)T , e2 = (2; 1)T . Сделать чертеж.

Упражнение 15.2. В пространстве R3 со стандартным скалярным произведением построить базис, сопряженный к базису e1 = (1; 2; 3)T , e2 = (0; 1; 2)T , e3 = (0; 0; 1)T .

Упражнение 15.3. Пусть ai = (a1i ; : : : ; ani ) базис в пространстве Rn со стандартным скалярным произведением (i = 1; : : : ; n). Построить сопряженный базис. Результат представить в матричной форме.

4

15.3. Поднятие и опускание индексов

Пусть e = fe1; : : : ; eng произвольный базис евклидова пространства E. Тогда, в силу отождествления : E ! E , сопряжённый базис e = fe1; : : : ; engT также будет базисом пространства E, но, вообще говоря, отличным от базиса e = fe1; : : : ; eng. С базисом e он связан соотношениями

(ei; ej) = ij; i; j = 1; : : : ; n:

Разложим векторы исходного базиса по векторам сопряжённого базиса

ei = hikek; i; k = 1; : : : ; n:

(4)

Тогда

gij = (ei; ej) = (hikek; ej) = hik(ek; ej) = hik jk = hij;

и мы видим, что коэффициенты разложения hij в (4) это не что иное, как компоненты метрического тензора в базисе e = fe1; : : : ; eng

(см.п.1 гл.6) и (4) принимает вид

ei = gikek; i; k = 1; : : : ; n;

(5)

или в матричной форме

e = ( e )T = e T :

Отсюда

e = 1eT :

(6)

Расписывая последнее равенство покомпонентно, получим

ei = gijej:

(7)

Соотношение (6) можно получить сразу в матричной форме. Будем искать e в виде

e = XeT :

(8)

5

Подставляя (8) в (3) получим

E = e e = XeT e = X ;

X = 1; e = 1eT :

Соотношение (6) можно прокомментировать так: матрицей перехода от исходного базиса к сопряженному является 1. При этом следует помнить, что e это строка (e1; e2; : : : ; en), а e столбец

(e1; e2; : : : ; en)T . Таким образом доказано существование сопряженного базиса.

Упражнение 15.4. Используя (6) и (7), решить упражнения 1–3 предыдущего пункта.

Пусть теперь x = iei произвольный вектор пространства E. Его тензорное произведение G x с метрическим тензором G представляет собой тензор типа (1; 2). Этот тензор мы можем свернуть по единственному верхнему и одному скажем, для определённости, второму (это не играет никакой роли ввиду симметричности тензора G) нижнему индексу. В результате получится некоторый тензор типа (0; 1), т.е. ковектор x . Значение x (y) этого ковектора на произвольном векторе y = jej есть (см. п.2 настоящей главы)

x (y) = (x; y) = gij i j = (gij i) j = j j;

где

j := gij i

(9)

компоненты свёртки тензора G x = x . Поскольку равенство x (y) = (x; y), по определению, означает, что ковектор x отождествляется с вектором x, тем самым доказано, что вектор x, рассматриваемый как ковектор, представляет собой свёртку тензора G x

или, как говорят, является свёрткой тензора G с вектором x.

6

Числа j называют ковариантными координатами вектора x в

базисе e1; : : : ; en, в отличие от его контравариантных координат j в

этом базисе.

Выясним геометрический смысл ковариантных координат вектора в трёхмерном геометрическом пространстве. Имеем

(x; ei) = ( jej; ei) = j(ej; ei) = gij j = i:

С другой стороны,

(x; ei) = jxjjeij cos i = (prei x)jeij;

где prei x длина прямоугольной проекции вектора x на ось вектора ei, взятая со знаком "плюс если угол i между x и ei острый, со знаком "минус если угол i тупой. Таким образом,

i = (prei x)jeij:

Если jeij = 1, то ковариантные координаты i есть прямоугольные проекции вектора на координатные оси, в отличие от знакомых нам из векторной алгебры контравариантных координат i параллельных проекций вектора на координатные оси. Теперь легко видеть, что если базис к тому же и ортонормированный, то i = i.

Числа i являются координатами вектора x в сопряжённом базисе e1; : : : ; en. Действительно, используя (5) и (9), получим

x = iei = i(gikek) = ( igik)ek = kek:

Числа i являются компонентами вектора x в базисе e1; : : : ; en. Действительно,

x(ei) = (x; ei) = ( jej; ei) j(ej; ei) = jgij = i:

Переход от контравариантных координат вектора к его ковариантным координатам по формуле (9) можно назвать опусканием индекса. Чтобы поднять индекс, т.е. перейти от ковариантных координат вектора к его контравариантным координатам, свернём тензор

7

i с контравариантным метрическим тензором gij. Получим

gij i = gij(gki k) = (gijgki) k = kj k = j:

В ортонормированном базисе gij = (ei; ej) = ij. Тогда из (9) следует i = j ij = i и мы вновь убеждаемся в совпадении ко- и контравариантных координат вектора в таком базисе.

Замечание 15.1. При опускании (поднятии) индекса у вектора (ковектора) нам было безразлично, с какой стороны писать gij. Например,

gij i = igij = j:

Операцию опускания или поднятия индекса в евклидовом пространстве можно применить к тензору любого строения. Но здесь последнее замечание уже не выполняется.

Пусть дан, например, тензор Tkij типа (2; 1). В силу коммутативности умножения чисел

Tkijgih = gihTkij;

но естественными обозначениями для этих сверток будут

T ijgih = T j		;	gihT ij	= T j	;
k	kh		k	hk

т.е один и тот же тензор имеет разные (транспонированные по нижним индексам) обозначения. Чтобы избегать такого рода неудобств, используют следующие приемы.

Во-первых, в свертке двух тензоров метрические тензоры gij, gij

пишут слева. Например,

gpjThkj = Qphk gijTkip = Tkjp:

Но в некоторых случаях этого приема может оказаться недостаточно, чтобы избежать путаницы. Например,

gjqgijTrskip = (gjqgij)Trskip = iqTrskip = Trskqp:

8

С другой стороны,

gjqgijTrskip = gjq(gijTrskip) = gjqTjrskp = Trsqkp:

Во-вторых (и это есть радикальный прием), принимают другой способ записи и упорядочения верхних и нижних индексов. Под каждым верхним индексом и над каждым нижним индексом будем ставить точку и теперь все индексы единым образом упорядочены слева направо. Например, у тензора Tl ijp k индексы имеют порядок l, i, j, p, k. Если точки не проставлены, то как обычно считаем, что нижние индексы следуют за верхними. Результат опускания второго индекса у тензора Trskip примет вид

gijTrskip = gijT kiprs = T kj prs:

Упражнение 15.5. Используя новую технику записи индексов, проделайте свертку gjqgijTrskip двумя способами и убедитесь, что на этот раз не возникает путанницы в записях.

Пример 15.2. Линейный оператор A , сопряженный данному оператору A, определяется условием

8x8y (A x; y) = (x; Ay):

(10)

Выясним, как выражается матрица A оператора A через матрицу

A оператора A. Запишем (10) в координатах

gpka pi i k = gij iajk k:

Так как это соотношение выполняется для любых столбцов , , то

gpka pi = gijajk:

Домножая обе части на gkm, получим

gkmgpka pi = gkmgijajk;

9

pma pi = gkmgijajk; a mi = gkmgijajk = aim:

Окончательно,

a mi = aim:

Упражнение 15.6. Проверить, что в случае ортонормированного базиса полученное соотношение в матричной форме принимает известный вид: A = AT :

Упражнение 15.7. Расписывая соотношение (10) в матричной форме, доказать, что оператор B сопряжен оператору A тогда и только тогда, когда в любом (некотором) базисе их матрицы связаны соотношением

B = 1AT ;

где матрица Грама текущего базиса.

Упражнение 15.8. Показать, что оператор A ортогонален тогда и только тогда, когда в любом (некотором) базисе его матрица удовлетворяет соотношению

AT A 1 = E

или

api aqrgpqgrj = ij:

Во что превращаются эти соотношения в случае ортонормированного базиса?

Тензор T называется ассоциированным тензору Q, если он получен из Q поднятием или опусканием индекса. Легко проверить, что это отношение на множестве всех тензоров в данном линейном пространстве симметрично, рефлексивно и транзитивно, т.е. является отношением эквивалентности. Тем самым множество всех тензоров

10