Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

2.14.Тензорная алгебра

.pdf
Скачиваний:
67
Добавлен:
09.06.2015
Размер:
152.99 Кб
Скачать

Лекция 13. (Остыловский А.Н. Тензорная алгебра линейного пространства) Линейное пространство полилинейных форм (тензоров). Тензорное произведение. Базис в пространстве тензоров. Свертка тензора

13.1. Пространство Tqp(L)

Множество всех полилинейных форм (тензоров) одного и того же типа (p; q) на пространстве L обозначим через Tqp(L). Полилинейные формы типа (p; q) можно складывать между собой и умножать на числа как отображения вида (??). При этом, как легко проверить, будут получаться снова полилинейные формы того же типа. Относительно указанных операций множество Tqp(L) удовлетворяет аксиомам линейного пространства. Таким образом, Tqp(L) линейное пространство.

Из определения компонент полилинейной формы в данном базисе следует, что при сложении форм их соответствующие компоненты складываются:

i1:::ip

i1:::ip

i1

:::ip

 

(T + S)j1:::jq

= Tj1:::jq

+ Sj1

:::jq

:

Аналогично при 2 R:

 

 

 

 

( T )i1:::ip = T i1:::ip :

j1:::jq j1:::jq

Так определяется сумма тензоров (полилинейных форм) и произведение числа на тензор.

13.2. Тензорное произведение тензоров

Для полилинейных форм (тензоров) S и T соответственно типов

(p; q) и (r; s) определена полилинейная форма (тензор) S T типа

(p + r; q + s), называемая тензорным произведением форм S и T . Эта полилинейная форма

S T : L L L L ! R

|

 

{z

 

} |

 

 

 

 

 

 

q{z }

 

p+r

 

 

+s

1

задаётся следующим образом:

S T (f1; : : : ; fq; fq+1; : : : ; fq+s; x1; : : : ; xp; xp+1; : : : ; xp+r) = = S(f1; : : : ; fq; x1; : : : ; xp) T (fq+1; : : : ; fq+s; xp+1; : : : ; xp+r):

Легко проверить линейность формы S T по всем ее аргументам. Непосредственно из определений операций над тензорами выте-

кает линейность тензорного умножения по обоим его аргументам:

( R + S) T = (R T ) + (S T );

R( S + T ) = (R S) + (R T );

атакже его ассоциативность:

(R S) T = R (S T ):

Однако тензорное произведение, вообще говоря, не коммутативно. Покажем это на следующем примере. Пусть e1; : : : ; en базис в L и e1; : : : ; en сопряжённый ему базис в L . Рассмотрим тензорное произведение e1 e2. Имеем

e1 e2(e1; e2) = e1(e1) e2(e2) = 1 1 = 1; e2 e1(e1; e2) = e2(e1) e1(e2) = 0 0 = 0;

т.е. e1 e2 6= e2 e1.

Выразим компоненты тензора S T через компоненты тензоров

S и T . Имеем

(S T )i1:::ipip+1:::ip+r = j1:::jqjq+1:::jq+s

=(S T )(ei1 ; : : : ; eip ; eip+1 ; : : : ; eip+r ; ej1 ; : : : ; ejq ; ejq+1 ; : : : ; ejq+s ) =

=S(ei1 ; : : : ; eip ; ej1 ; : : : ; ejq ) T (eip+1 ; : : : ; eip+r ; ejq+1 ; : : : ; ejq+s ) =

= Si1:::ip T ip+1:::ip+r :

j1:::jq jq+1;:::;jq+s

2

Таким образом, каждая из np+q компонент тензора S умножается на каждую из nr+s компонент тензора T . Тензор S T имеет np+q nr+s

компонент.

Пример 13.1. Пусть f и g линейные формы (тензоры типа (0,1)) с компонентами ai и bi, соответственно, в базисе e. Тогда f g

билинейная форма (тензор типа (0,2)) с компонентами aibj. Действительно, пусть x = iei, y = jej 2 L. Тогда

(f g)(x; y) = f(x)g(y) = (ai i)(bj j) = aibj i j;

и

2 a...1

3

 

2 a1b1 : : : a1bn

3

aT b =

[b1; : : : ; bn] =

 

6 an

7

 

6 anb1 : : : anbn 7

 

4

5

 

4

5

есть матрица билинейной формы f g в базисе e. Ясно, что матрицей формы g f будет bT a, и это вновь демонстрирует некоммутативность тензорного умножения.

Упражнение 13.1. Пусть x вектор, f ковектор, билинейная форма. Доказать, что

1)x f = f x;

2)x = x.

Упражнение 13.2. Пусть x1, x2, x3 векторы, а f1, f2, f3

ковекторы. Какие из приведенных ниже выражений имеют смысл? Если данное выражение есть тензор, указать его тип и выразить его

компоненты через компоненты исходных тензоров:

1) x1 x2 + x2 x3;

2) x1 x2 x3 + x2 x3;

3) x1 f1 2f1 x1;

4) x1 f2 + 2f1 f1;

5) x1 f2 + x2 f1;

6) f1 x1 x2 + x2 x3 f2.

Упражнение 13.3. Разложить тензор типа (2; 0) в произведение

3

тензоров типа (1; 0), если он в некотором базисе имеет матрицу

0

1

3

2

1

 

B

2

6

4

C

:

 

1

 

3

2

 

@

 

 

 

 

 

A

 

Единственно ли такое разложение?

Упражнение 13.4. Представить билинейную форму

3 1 1 + 2 1 2 + 3 2 1 + 2 2 2

как произведение линейных. Единственно ли такое представление?

Упражнение 13.5. Какие из следующих тензоров, заданных своими координатами, разложимы:

1)tij = ij;

2)tij = 1ij;

3)tij = i + j;

4)tkij = 2i+j+k2 ;

5)tijk = ij jk?

13.3. Базис в пространстве Tqp(L)

В линейном пространстве Tqp(L) построим базис, естественно связанный с заданным в L базисом e = fe1; : : : ; eng. Как всегда, обозначим через e базис в L , сопряжённый базису e.

Теорема. Всевозможные тензорные произведения вида

ei1 eip ej1 ejq 2 Tqp(L)

(1)

образуют базис пространства Tqp(L). Координатами тензора T в

этом базисе являются его компоненты T i1:::ip в базисе e.

j1:::jq

Доказательство. Из определения тензорного умножения следует, что значение тензора (1) на наборе

f1 = a1 ek1 ; : : : ;

fp = ap ekp ;

x1

= l1 el

; : : : ;

xq = lq el

q

(2)

k1

kp

 

1

1

 

q

 

4

равно

 

1

p

j1

jq

:

 

 

 

ai1

aip

1

q

 

 

 

 

 

 

 

i1:::ip

в базисе e. Тогда

Пусть теперь T тензор с компонентами Tj1:::jq

значения тензора

 

 

 

 

 

 

 

i1:::ip

eip ej1 ejq

(3)

Tj1:::jq ei1

и тензора T на наборе (2) совпадают. Значит, система тензоров (1) является системой образующих в Tqp(L). Убедимся, что система (1) линейно независима. Для этого нужно показать, что линейная комбинация (3) даёт нулевую форму лишь при нулевых коэффициентах. Но это очевидно, так как значение формы (3) на наборе

ei1 ; : : : eip ; ej1 ; : : : ; ejq

равно коэффициенту T i1:::ip . Теорема доказана.

j1:::jq

Следствие 13.1. dim Tqp(L) = np+q.

Пример 13.2. Построим базис в T20(L) пространстве билинейных форм на L. Пусть : L L ! R билинейная форма и bij := (ei; ej). Тогда

(x; y) = ( iei; jej) = i j (ei; ej) = i jbij:

(4)

Рассмотрим в T20(L) систему

ei ej;

i; j = 1; : : : ; n:

(5)

Имеем

(bijei ej)(x; y) = bijei( kek) ej( lel) =

= bij k ki l lj = bij i j:

Отсюда и из (4) следует:

= bijei ej:

5

Упражнение 1. Найти компоненты тензоров:

1)(e1 + e2) (e1 e2);

2)(e1 + 2e2) (e1 + e2) (e1 + e2) (e1 + 2e2);

3)(e1 + 2e2) (e3 + e4) (e1 2e2) (e3 e4).

Упражнение 2. Постройте базис в пространстве T11(L).

13.4. Свёртка тензора

Пусть T тензор типа (p; q) и p > 0, q > 0. Опишем операцию

его свёртывания, в результате которой получится новый тензор типа

(p 1; q 1).

i1:::ip

компоненты тензора T в произвольном базисе e.

Пусть Tj1:::jq

Поставим в соответствие этому базису упорядоченный набор чисел

Si1:::ip 1 := T i1:::ik 1iik:::ip 1 ;

j1:::jq 1 j1:::jl 1ijl:::jq 1

где справа подразумевается суммирование по i. (Мы отождествили k-й верхний и l-й нижний индексы в компонентах тензора T .) Покажем, что это соответствие определяет новый тензор S типа

(p 1; q 1). Для этого нужно убедиться, что способ получения

компонент Si1:::ip 1 не зависит от выбора базиса. При этом сами ком-

j1:::jq 1

поненты, разумеется, могут зависеть от выбора базиса. Мы впервые определяем операцию над тензорами через их компоненты. Важно понимать, что такой способ не всегда даёт тензорную операцию, т.е. не всегда приводит к новому тензору. (В следующем параграфе будет рассмотрен контрпример.) Итак, наша операция свёртывания, претендующая на тензорную, ставит в соответствие базису e0 набор чисел:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i1:::ip 1

 

 

i1:::i:::ip 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S0j :::j

 

:= T 0j

:::i:::j

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

q 1

 

 

 

1

 

q 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i1

 

 

 

 

 

ip 1

T

 

kp

 

m1

 

 

 

 

mq 1

 

=

 

 

 

i

 

 

 

 

k1:::k

 

1

 

 

 

 

m

 

=

 

k1

 

k

 

 

kp 1

 

m1:::m:::mq 1

j1

 

 

i

jq 1

 

 

 

i

m i1

 

ip 1 T k1:::k kp 1

m1

 

mq 1

=

 

 

= ( k

 

i

) k1

 

kp 1 m1:::m:::mq 1

j1

 

jq 1

 

 

 

=

m i1

 

 

 

ip 1 T k1:::k kp 1

m1

 

mq 1

=

 

 

 

 

 

k

 

k1

kp 1

m1:::m:::mq 1 j1

 

jq 1

 

 

6

i1

ip 1 k1:::k kp 1

m1

 

mq 1

=

= k1 kp 1 Tm1:::k:::mq 1

j1

jq 1

 

i1

ip 1 k1:::kp 1

m1

 

mq 1

:

 

= k1

kp 1 Sm1:::mq 1 j1

jq 1

 

 

 

 

i1:::ip 1

преобразуются по

Таким образом, при замене базиса числа Sj

:::j

 

 

 

1

q 1

 

 

тензорному закону типа (p 1; q 1). Иными словами, каждому базису поставлен в соответствие упорядоченный набор чисел при замене базиса, преобразующийся по указанному закону. Значит, мы действительно получили тензор типа (p 1; q 1), построенный из тензора

T типа (p; q).

Пример 1. Пусть Tjsim компоненты тензора типа (2,2). Проверим, что Sji = Tjmim компоненты тензора типа (1,1). Имеем

Sj0i = Tjm0im = ki rmTpqkr jp mq = mq rm( kiTpqkr jp) =

= fSS 1gqr( kiTpqkr jp) = rq kiTpqkr jp = ki( rqTpqkr) jp =

= kiTpqkq jp = kiSpk jp:

Проиллюстрируем независимость результата свертки от выбора базиса коммутатвной диаграммой

Tjmik

свёртка

! Tjmim =: Sji

??

??

yy

Tjm0ik

свёртка

! Tjm0im =: Sj0i

Упражнение 1. Покажите, что свёртку можно определить на языке полилинейных функций:

S(f1; : : : ; fp 1; x1; : : : ; xq 1) =

= T (f1; : : : ; fk 1; er; fk; : : : ; fp 1; x1; : : : ; xl 1; er; xl; : : : ; xq 1):

(В правой части производится суммирование по r.)

Пример 2. Свернув тензор T типа (1; 1) с компонентами Tji, получим тензор типа (0; 0), т.е. число Tii = T11 + + Tnn. Это число

7

называется следом тензора и обозначается символом tr(T ). Таким образом, след тензора типа (1; 1) есть инвариант, т.е. число, которое не зависит от выбора базиса. В частности (см. пример в п.4.1), след матрицы линейного оператора есть инвариант:

tr(S 1AS) = tr(A):

Пример 3. Пусть f линейная форма, x вектор, т.е. f 2 T10(L), x 2 T01(L). Тогда f x 2 T11(L), и

tr(f x) = ai i = a1 1 + + an n

есть инвариант. С другой стороны, число ai i есть значение формы f = aiei на векторе x = jej и поэтому не зависит от выбора базиса.

Пример 4. Пусть T произвольный тензор типа (p; q). Взяв p

ковекторов f1; : : : ; fp и q векторов x1; : : : ; xq, мы можем построить тензор

f1 fp x1 xq T

типа (p+q; p+q). Свернув этот тензор p+q раз по нижним и верхним индексам с одинаковыми номерами, мы вновь получим инвариант тензор типа (0; 0):

1

p

j1

jq

i1:::ip

 

ai1

aip

1

q

Tj1:::jq

;

т.е. значение тензора T на ковекторах f1; : : : ; fp и векторах x1; : : : ; xq

число (??).

Замечание. Оцените с формальных позиций свёртки формулу (??) из п.2.1 умножения матриц.

Упражнение 2. Исходя из законов преобразования тензоров aijk, aij, bij, ai, bij, aijklm, k, проверить закон преобразования компонент сверток:

1) aiji; 2) aijbjk; 3) aibij; 4) aijklm k.

Упражнение 3. Исходя из геометрического смысла тензоров ai,

k, i aij, bij, hij, объяснить геометрический смысл сверток:

8

1) ai j; 2) aij j; 3) hij i j; 4) hij j i; 5) hijaip pbjq q; 6) aijbjk; 7) aijbji .

Упражнение 4. Записать произведение линейных операторов в

тензорных обозначениях.

Упражнение 5. Не используя сокращенных обозначений, выпи-

шите все компоненты тензоров, заданных в пространстве L2:

1) xiaik; 2) xiaki

3) xkai

;

4) aibj

;

5) iak;

 

 

 

i

 

i j

 

j i

6) iaj

; 7) iaj

; 8) iak; 9 ) ak i.

 

 

j k

j i

 

j l

 

l j

 

 

Упражнение 6. Вычислить:

1)ji lj kl ik;

2)ji kj lk ml ;

3)ji ij lkalk.

9