2.8.Полярное разложение

Остыловский А.Н. Лекция 8. (Полярное разложение) Положительные операторы. Положительный квадратный корень из положительного оператора. Полярное разложение. Геометрическая интерпретация.

8.1. Положительные операторы

Самосопряженный оператор A, действующий в евклидовом пространстве E называется положительно определенным (обозначение A > 0), если

(Ax; x) > 0

для всех 0 6= x 2 E.

Теорема 8.1. Тогда и толко тогда A > 0, когда все его собственные значения 1; : : : ; n положительны.

Доказательство. По основной классификационной теореме о самосопряженных операторах существует ортонормированный базис e = (e1; : : : ; en) из собственных векторов оператора A:

Aei = iei; (i = 1 : : : ; n):
Для x = 1e1 + nen 2 E имеем
Ax = A( 1e1 + nen) = 1 1e1 + n nen:
Тогда
(Ax; x) = 1( 1)2 + n( n)2:
Отсюда легко следует утверждение теоремы.	2

Пример 8.1. Пусть A вещественная симметричная матрица порядка n с положительными собственными значениями 1; : : : ; n. На евклидовом пространстве Rn со стандартным скалярным произведением определим оператор A следующим образом:

Ax = Ax:

Тогда оператор A положительно определен. Действительно, существует ортогональная матрица S такая, что

S 1AS = = diag[ 1; : : : ; n]:

1

Отсюда A = S S 1 = S ST и для 0 6= x 2 Rn имеем

(x; Ax) = (x; Ax) = xT Ax = xT S ST x = (ST x)T (ST x) =

= yT y = 1(y1)2 + + n(yn)2;

где y = [y1; : : : yn]T = ST x 6= 0.

Вещественную симметричную матрицу A с положительными собственными значениями называют положительно определенной и пишут A > 0.

Предложение 8.1. Оператор, обратный к положительному оператору A, снова положительный.

Доказательство. Так как оператор A взаимно однозначный, то для любого вектора x 6= 0 найдется такой вектор u 6= 0, что x = Au.

Тогда

(A 1x; x) = (A 1Au; Au) = (u; Au) > 0:

2

8.2. Положительный квадратный корень из положительного оператора

Теорема 8.2. Для всякого положительно определенного оператора A существует, причем единственный, положительно определенный оператор B такой, что A = B2.

Доказательство. Матрица оператора A в ортонормированном базисе e из его собственных векторов диагональна

[A]e = = diag[ 1; : : : ; n]:

Ввиду взаимно однозначного соответствия между операторами и матрицами при фиксированном базисе, оператор B с матрицей

pp

B = diag[ 1; : : : ; n]

в базисе e существует и единственный; при этом B2 = A. (Имеются p

ввиду положительные корни i). По теореме 8.1 имеем B > 0. 2

Следствие 8.1. Для каждой матрицы A > 0 существует, причем единственная, матрица B > 0, такая, что A = B2.

Пример 8.2. Для матрицы

5 3 A = 3 5

2

находим собственные значения: 1 = 2, 2 = 8. Им соответсвуют нор-

											1						1
мированные собственные вектора: p															(1; 1)T и p					(1; 1)T . Составлен-
												2						2
ная из этих столбцов матрица											1					1
			P = p2
						1					1				1
ортогональна, т.е. P T P = E и																	0		8 :
		P 1AP = = diag[ 1; 2] =
																	2		0
Из равенства P 1AP = получаем A = P P 1. Отсюда
			A1=2 = P 1=2P 1:
Таким образом,
p2 1 1						p8 p2 1 1														2			1 3
			0
A1=2 = 1		1 1	p2 0								1				1 1		=				p2			3	1 :

Можно проверить, что квадрат последней матрица дает исходную матрицу A.

Теорема 8.3. Для любого невырожденного оператора A операторы AA и A A положительно определены.

Доказательство. Имеем

(AA x; y) = (A x; A y) = (x; AA y);
что доказывает самосопряженность оператора AA .
Далее,
(AA x; x) = (A x; A x) = jA xj2 > 0;
т.е. AA > 0. Для A A аналогично.	2

Теорема 8.4. Ортогональный положительный оператор A является тождественным.

Доказательство. Ввиду ортогональности A имеем A = A 1. Но оператор A самосопряженный, поэтому A = A . Тогда A = A 1. От-

сюда A2 = E и, согласно теореме 8.2, A = E.

2

3

8.3. Полярное разложение Теорема 8.5. Невырожденный линейный оператор можно пред-

ставить, причем единственным образом, в виде

A = QL;

(1)

где Q ортогональный, а L положительный операторы.

Доказательство. По теореме 8.3 имеем A A > 0. Тогда по теоре-

ме 8.3 существует, причем единственный, оператор L > 0 такой, что

L2 = A A. Положим

Q = AL 1:

(2)

Убедимся, что Q ортогонален:

Q Q = (AL 1) (AL 1) = (L 1) A AL 1 =

= L 1(A A)L 1 = L 1L2L 1 = E:

Теперь из (2) следует искомое разложение A = QL.

Докажем единственность построенного разложения. Из (1) имеем

A A = LQ QL = LQ 1QL = L2:

Тогда ввиду теоремы 8.2 оператор L определяется однозначно. Теперь из (1) с необходимостью Q = AL 1. 2

Следствие 8.2. Невырожденный линейный оператор можно представить, причем единственным образом, в виде A = L1Q, где Q ортогональный, а L1 положительный операторы.

Доказательство. Имеем

A = QL = QL(Q 1Q) = (QLQ 1)Q = L1Q;

где L1 = QLQ 1 самосопряженный оператор. (Почему?) Проверим положительность L1:

(L1x; x) = (QLQ 1x; x) = (LQ 1x; Q 1x) = (Ly; y) > 0;

где y = Q 1x.			2
Пример 8.3. Построим полярное разложение для матрицы
A =	4	3	:
	5	0

4

Для положительной матрицы	12
B = AT A =		9
	41	12

найдем собственные числа и соответствующие им нормированные собственные вектора:

1 = 5; 2	= 45; e10 = p10		3	;	e20 = p10		1	:
	1		1		1		3

Из столбцов e01, e02 составим ортогональную матрицу

P = p10		3	1	:
1		1	3

Тогда

P T BP = 50 450 = :

Отсюда B = P P T , и мы можем построить положительную матрицу p

				5			14	3
L = P 1=2P T =							3 6 :
				5
При этом L2 = B.
Найдем				1
L 1 = P 1=2P T =								6 3		:
Положим			15p5				3 14
				1			2 1
Q = AL 1 =		=							:
				p5		1		2

Легко проверить ортогональность матрицы Q. При этом A = QL искомое разложение.

8.4. Геометрическая интерпретация

Пусть A = QL полярное разложение оператора A. Тогда Ax = (QL)x = Q(Lx). Таким образом, действие оператора A равносильно последовательному выполнению следующих преобразований: сначала выполняется растяжение вдоль некоторых попарно ортогональных осей (оператор L), затем композиция двумерных поворотов и зеркальных отражений (оператор Q). В частности, произвольную малую

5

деформацию пространства можно считать линейным оператором. Поэтому она представима в виде композиции "чистой\деформации самосопряжённого оператора и поворота, который не является деформацией.

Упражнения

1. Постройте QL- и LQ-разложения для матриц:

2 5		;	p			p3		;	p			p2		:
			0						0
11	10		3			2			2			1

6