1.17. Евклидовы пространства
.pdfОстыловский А.Н. Лекция 17.
Евклидовы пространства. Аксиомы скалярного произведения. Примеры. Неравенство Коши-Буняковского. Длина. Угол. Неравенство треугольника. Приложения. Ортонормированный базис. Процесс ортогонализации. Скалярное произведение в произвольном и ортонормированном базисе. Связь матриц Грама различных базисов. Ортогональные матрицы как матрицы перехода от одного ортонормированного базиса к другому. Ортогональное дополнение. Изоморфизм евклидовых пространств.
17.1. Аксиомы скалярного произведения. В лекциях 15, 16 мы рассматривали абстрактное линейное пространство. Прообразом его является пространство векторов направленных отрезков. В нём есть естественные геометрические понятия длины и угла через которые было определено скалярное произведение. Хотелось бы и в абстрактном линейном пространстве ввести понятия длины и угла. Здесь можно поступить наоборот: аксиоматически ввести скалярное произведение, а через него определить понятия длины и угла.
Определение 1. Вещественное линейное пространство E называется евклидовым, если в нём определена операция скалярного умножения, т.е. любым двум векторам x; y 2 E сопоставлено вещественное число (обозначаемое (x; y)), и это соответствие удовлетворяет следующим аксиомам, для любых x; y 2 E и любого числа :
1)(x; y) = (y; x);
2)(x + y; z) = (x; z) + (y; z);
3)( x; y) = (x; y);
4)(x; x) > 0 для всех x 6= o.
Из этих аксиом немедленно получаем:
(x; y + z) = (x; y) + (x; z);
1
(x; y) = (x; y):
Евклидово пространство размерности n будем обозначать через En.
Пример 1. В геометрическом пространстве векторов скалярное произведение, определённое как произведение их длин на косинус угла между ними, удовлетворяет аксиомам 1)–4).
Пример 2. В арифметическом пространстве Rn скалярное произведение столбцов , можно (проверьте) определить так:
( ; ) = T = 1 1 + 2 2 + + n n: |
(1) |
Такое скалярное произведение в Rn называют стандартным скалярным произведением. Далее мы увидим, что в Rn скалярное произведение можно задать иначе.
Пример 3. В пространстве C[a;b] всех непрерывных на отрезке
[a; b] функций скалярное произведение можно (проверьте) ввести так:
Z b
(f; g) = |
f(t)g(t)dt: |
(2) |
a
17.2. Неравенство Коши-Буняковского.
Теорема 1. Для любых двух векторов x; y евклидова пространства E справедливо неравенство
(x; y)2 (x; x)(y; y): |
(3) |
Доказательство. Пусть o 6= x 2 E. В соответствии с аксиомами скалярного произведения для любого числа имеем
0 ( x + y; x + y) = 2(x; x) + 2 (x; y) + (y; y):
При фиксированных x; y 2 E последнее выражение есть квадратный трёхчлен f( ) с положительным старшим коэффициентом (x; x).
2
Так как трёхчлен f( ) неотрицателен для всех 2 R, то его дискриминант неположителен, т.е.
4(x; y)2 4(x; x)(y; y) 0:
Отсюда легко получить (3). 2
Пример 4. Для скалярных произведений (1), (2) неравенство Коши-Буняковского принимает вид
n |
i i!2 |
n |
( i)2 |
! n |
( i)2! |
X |
|
Xi |
|
X |
|
i=1 |
|
=1 |
|
i=1 |
|
и соответственно
b 2 b b
Z Z Z
f(t)g(t)dt f2(t)dt g2(t)dt :
a a a
17.3. Длина вектора.
Определение 2. Длиной jxj вектора x 2 E называется число
p
jxj = (x; x):
Замечание 1. Теперь неравенство Коши-Буняковского можно записать так:
j(x; y)j jxjjyj: |
(4) |
Данное определение длины вектора отвечает привычным пред-
ставлениям о длине. Об этом свидетельствует
Теорема 2. 1 jxj 0 для любого x 2 E, причём jxj = 0 тогда
и только тогда, когда x = o;
2 j xj = j jjxj для любого x 2 E и любого 2 R;
3 для любых двух векторов x; y евклидова пространства E спра-
ведливо неравенство (неравенство треугольника) |
|
jx y)j jxj + jyj: |
(5) |
3
Доказательство. 1 следует непосредственно из аксиом ска-
лярного произведения. 2 Имеем
pp
j xj = ( x; x) = 2(x; x) = j jjxj:
3 . Используя неравенство (4), получаем
jx yj2 = (x + y; x + y) = jxj2 2(x; y) + jyj2
jxj2 + 2jxjjyj + jyj2 = (jxj + jyj)2:
2
Пример 5. Для скалярных произведений (1), (2) неравенство треугольника принимает вид
n |
( i i)2!1=2 |
|
n |
( i)2!1=2 |
+ |
n |
( i)2!1=2 |
X |
|
|
X |
|
|
Xi |
|
i=1 |
|
|
i=1 |
|
|
=1 |
|
и соответственно
Z b 1=2 Z b 1=2 Z b 1=2
[f(t) g(t)]2dt f2(t)dt + g2(t)dt :
a a a
17.4. Угол между векторами.
Определение 3. Углом между ненулевыми векторами x и y
называется величина ' (0 ' ), определяемая из уравнения
cos ' = |
(x; y) |
: |
(6) |
|
jxjjyj |
||||
|
|
|
Из неравенства (4) следует корректность такого определения угла, т.е. величина, стоящая в правой части (6), не превосходит по модулю 1, а значит равна косинусу некоторого угла.
Определение 4. Векторы x и y называются ортогональными
(x?y), если (x; y) = 0.
4
Сделаем несколько очевидных замечаний.
Замечание 2. x?x , x = o.
Замечание 3. Если вектор ортогонален нескольким векторам, то он ортогонален и любой их линейной комбинации.
Замечание 4. x?y ) jx + yj2 = (x + y; x + y) = jxj2 + jyj2
(теорема Пифагора).
Замечание 5. Система x1; : : : ; xk попарно ортогональных ненулевых векторов линейно независима.
В самом деле, умножая равенство 1x1 + + kxk = o скалярно на xi, получим i = 0, что и требовалось.
17.5. Ортонормированный базис. Процесс ортогонализации. Из последнего замечания предыдущего пункта следует, что упорядоченная система n попарно ортогональных единичных векторов в En (если она существует) образует базис. Он называется ортонормированным базисом. Иными словами, базис e = (e1; : : : ; en)
ортонормированный, если
|
|
|
|
|
|
|
|
(ei |
; ej) = ij = |
80; |
если i 6= j; |
|
(7) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<1; |
если i = j |
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|||||
|
|
T |
|
= |
2e..1 |
3 |
e |
|
: : : |
e |
= |
2:(e: :1;: e: :1): : ::::::: :(:e:1:;:e:n:):3 |
= E |
(8) |
|||
|
e |
e |
1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
h |
|
|
ni |
|
6(en; e1) : : : (en; en)7 |
|
|
||
|
|
|
|
|
6en7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
6 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
|
|
Теорема 3. В En существует ортонормированный базис.
Доказательство. Пусть f1; f2; : : : ; fn произвольный базис. Вначале перестроим его в систему попарно ортогональных векторов. Положим g1 = f1. Вектор g2 будем искать в виде g2 = f2 + g1. Неопределённый коэффициент попытаемся подобрать так, чтобы
5
векторы g2 и g1 были ортогональны, т.е. (g2; g1) = 0 или
(f2 + g1; g1) = 0:
Отсюда
= (f2; g1) : (g1; g1)
Вектор g3 будем искать в виде g3 = f3 + 1g1 + 2g2. Неопределённые коэффициенты 1 и 2 подберём так, чтобы вектор g3 был ортогонален как вектору g1, так и вектору g2, т.е. (g3; g1) = (g3; g2) = 0
или
(f3 + 1g1 + 2g2; g1) |
= 0; |
|
||
(f3 + 1g1 + 2g2; g2) |
= 0: |
|
||
Раскрывая здесь скобки и учитывая, что (g2; g1) = 0, получим |
||||
|
(f3; g1) |
(f3; g2) |
|
|
1 = |
|
; 2 = |
|
: |
(g1; g1) |
(g2; g2) |
|||
Итак, мы уже имеем тройку попарно ортогональных векторов |
g1; g2; g3. Ясно, что вектор g4, ортогональный к ним, следует искать
в виде g4 = f4 + 1g1 + 2g2 + 2g3.
Продолжая описанный процесс далее, получим систему попарно ортогональных векторов g1; : : : ; gn. Нормируя эти вектора, придём
к искомому базису |
|
|
|
||
e1 = |
g1 |
; : : : ; en = |
gn |
: |
|
jg1j |
|
jgnj |
|||
2 |
|
|
|
|
|
17.6. Скалярное произведение в произвольном и орто-
нормированном базисах. Матрица Грама. Пусть e = (e1; : : : ; en)
произвольный базис в En и x = iei, y = jej векторы из En
(используем немое суммирование). Обозначим gij = (ei; ej). Тогда
(x; y) = ( iei; jej) = i j(ei; ej) = i jgij: |
(9) |
6
Последнее выражение есть двойная сумма (по i и по j); его называют
тензорной формой записи скалярного произведения. Матрица
= |
|
T |
|
= |
2:(e: :1;: e: :1): : ::::::: :(:e:1:;:e:n:):3 |
= |
2:g:11: : ::::::: :g:1:n:3 |
||
e |
e |
||||||||
|
|
|
|
|
6(en; e1) : : : (en; en)7 |
|
6gn1 |
: : : gnn7 |
|
|
|
|
|
|
6 |
7 |
|
6 |
7 |
|
|
|
|
|
4 |
5 |
|
4 |
5 |
называется матрицей Грама базиса e = (e1; : : : ; en). Ввиду коммутативности скалярного произведения эта матрица симметрична, т.е. gij = gji.
Нетрудно проверить, что последнее выражение в (9) можно за-
писать в виде T . Тогда |
|
(x; y) = T : |
(10) |
Это есть матричная форма записи скалярного произведения. Если e = (e1; : : : ; en) ортонормированный базис, то
gij = (ei; ej) = ij
и = E единичная матрица. При этом формулы (9), (10) приобретают, соответственно, вид
(x; y) = 1 1 + 2 2 + + n n |
(11) |
и
(x; y) = T : |
(12) |
17.7. Связь матриц Грама различных базисов. Пусть e = (e1; : : : ; en) и e0 = (e01; : : : ; e0n) два базиса в En, связанные матрицей перехода S = [ ij], т.е. e0 = eS или e0i = ijej. Тогда
0 = e0T e0 = (eS)T (eS) = (ST eT )(eS) = ST (eT e)S = ST S:
7
Мы получили искомую связь |
|
|
0 = ST S |
(13) |
|
или в компонентах |
|
|
f gji = fST Sgji = fST gpi f gkpfSgjk; |
|
|
т.е. |
|
|
g0 |
= gpk p k: |
(14) |
ij |
i j |
|
Последнюю формулу можно получить и непосредственно:
gij0 = (e0i; e0j) = ( ipep; jkek) = ip jk(ep; ek) = gpk ip jk:
17.8. Ортогональные матрицы как матрицы перехода от одного ортонормированного базиса к другому. Если оба базиса e0 и e ортонормированные, т.е. = 0 = E, то формула (13) принимает вид
E = ST S: |
(15) |
Матрицы, удовлетворяющие такому соотношению называются ортогональными. Очевидно, условие (15) равносильно условию
ST = S 1: |
(16) |
Обратно, пусть e ортонормированный базис, S ортогональ-
ная матрица и e0 = eS новый базис. Тогда
e0T e0 = (eS)T (eS) = ST (eT e)S = ST ES = ST S = E;
т.е. e0 снова ортонормированный базис. Таким образом доказана
Теорема 4. Ортогональные матрицы и только они являются матрицами перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному.
8
17.9. Ортогональное дополнение.
Определение 5. Пусть U линейное подпространство пространства En. Множество U? всех векторов из En, ортогональных всем векторам подпространства U, называется ортогональным дополнением подпространства U.
Теорема 5. Ортогональное дополнение линейного подпространства U размерности k пространства En является линейным подпространством размерности n k.
Доказательство. Пусть e = (e1; : : : ; en) ортонормированный базис в En. Произвольный базис g1; : : : ; gn подпространства U
разложим по базису |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
e |
|
|
|
1:e: |
1: :+: : : : : :1:e:n: |
9: |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
:g:1: :=: : : : |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
> |
|
|
|
|
|
|
g |
|
= |
1 |
e |
+ |
|
n |
e |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
(17) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
1 |
|
|
|
k |
n |
|
k |
|
1 |
k n |
> |
|
||||
|
x = e |
|
+ |
+ e |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||
Вектор |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
n |
принадлежит> |
|
только тогда, когда (x; gi) = 0 для всех i = 1; : : : ; k, что ввиду (11)
равносильно |
|
|
|
|
|
|
1: |
: : : :=: : :0: |
9 |
: |
|
||
: :1: : :+: : : : : : |
|
||||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
n |
|
n |
|
> |
|
|
|
1 |
|
1 |
+ |
|
|
n |
|
n |
= 0 |
|
|
|
|
|
k |
|
= |
|
(18) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
U? |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
k |
|
|
|
координатах> |
есть множество реше- |
|||||||
Таким образом, множество |
в |
|
|
|
|
|
> |
|
|
ний однородной системы линейных уравнений (18), а значит (пример 2 лекции 17) является линейным подпространством размерности n k. 2
Следствие 1. Для любого линейного подпространства U евклидова пространства E имеет место разложение E = U U?.
Доказательство. Упражняйтесь.
17.10. Изоморфизм евклидовых пространств. Два евклидовых пространства E и E0 называются изоморфными, если суще-
9
ствует взаимно однозначное линейное отображение A : E ! E0 сохраняющее скалярное произведение, т.е.
8x; y 2 E (x; y) = (A(x); A(y))0
(( ; )0 скалярное произведение на E0).
Теорема 6. Любые евклидовы пространства E и E0 одинаковой конечной размерности изоморфны.
Доказательство. Пусть e1; : : : ; en и e01; : : : ; e0n ортонормированные базисы, соответственно, в E и E0. Легко проверить, что отображение
A : x = 1e1 + + nen ! x0 = 1e01 + + ne0n
линейно и взаимно однозначно. Ввиду (11)
(x; y) = (x0; y0)0 = 1 1 + + n n;
где y = 1e1 + + nen: 2
Упражнения.
1.Докажите, что неравенство Коши-Буняковского превращается
вравенство тогда и только тогда, когда векторы x; y коллинеарны (пропорциональны).
2.Докажите правило параллелограмма
jx + yj2 + jx yj2 = 2(jxj + jyj)2:
3. Докажите
jxj = jyj ) (x + y; x y) = 0
(диагонали ромба пересекаются под прямым углом).
4. Покажите, что определитель ортогональной матрицы равен
1.
10