1.13-14. Системы

Лекции 13-14 Остыловский А.Н. Системы линейных уравнений. Основ-

ные понятия. Существование решения. Однородные системы. Структура множества решений. Нахождение решений (основной случай). Матричное решение. Формулы Крамера. Метод Гаусса. Нахождение решений (общий случай).

13-14.1. Основные понятия. Система уравнений вида

a21x1	+ a22x2	+ + a2nxn	= b2	9
a11x1	+ a12x2	+ + a1nxn	= b1	>	(1)
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :				>
				>
				>
				=
am1x1 + am2x2 + + amnxn			= bm >

>

>

>

;

называется системой m линейных уравнений с n неизвестными x1, x2, : : :, xn.

Здесь предполагается, что aij и bi (коэффициенты системы) известные числа.

ЗАМЕЧАНИЕ. В этих двух лекциях мы не будем пользоваться немым суммированием, поэтому все индексы будем писать внизу.

Набор чисел 1; 2; : : : ; n называется решением системы (1), если каждое уравнение системы превращается в числовое равенство при подстановке в него чисел 1; 2; : : : ; n вместо соответствующих неизвестных x1; x2; : : : ; xn.

Матрица

	2a21	a22	: : : a2n 3
	a11	a12	: : : a1n
A =	6: : : : : : : : : : : : : : : : : :7
	6		7
	6am1	am2	: : : amn7
	6		7
	4		5

называется основной матрицей системы (1).

Числа, стоящие в правых частях уравнений, образуют столбец b,

называемый столбцом свободных членов. Столбец x = [x1; x2; : : : ; xn]T

1

называется столбцом неизвестных.
Матрица	2a21	a22	: : : a2n	j	b2 3
	a11	a12	: : : a1n		b1
A =	6: : : : : : : : : : : : : : : : : : : :j				7
	6				7
	6am1 am2 : : : amn				bm7
	6				7
	4			j	5

называется расширенной матрицей системы.

Если свободные члены всех уравнений равны нулю, то система называется однородной; в противном случае (если хотя бы одно из чисел bi отлично от нуля) эта система называется неоднородной. При

этом система

a21x1	+ a22x2	+ + a2nxn	= 0 9
a11x1	+ a12x2	+ + a1nxn	= 0	>	(2)
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :				>
				>
				>
				=
am1x1 + am2x2 + + amnxn = 0 >

>

>

>

;

называется однородной системой, соответствующей системе (1). Используя введенные обозначения систему (1) можно записать в

матричной форме

Ax = b:

13-14.2. Существование решения.

Теорема 1. (Кронекера-Капелли). Решение системы (1) существует тогда и только тогда, когда rang A = rang A (ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы).

Доказательство. Систему (1) можно записать в виде

2 3 2 3 2 3 2 3

	a11	7		a12
x1	6 a...21		+ x2	6 a...22
	6	7		6
	6 am1	7		6 am2
	6	7		6
	4	5		4

a1n

76

76 a2n

++ xn 6 ...

767

54

amn

b1

7 6 7

76 b2 7

7= 6 . 7:

76 .. 7

5 4 5

bm

2

Тем самым, решение системы (1) существует тогда и только тогда, когда последний столбец b матрицы A равен линейной комбинации (с коэффициентами x1, x2, : : :, xn) столбцов матрицы A. Значит добавление столбца b к матрице A не увеличивает её (столбцового) ранга. 2

13-14.3. Однородные системы. По теореме Кронекера-Капелли однородная система (2) всегда имеет решение, например, нулевое, т.е. x1 = x2 = = xn = 0. Такое решение называют тривиальным. Любое другое решение системы (2) называют нетривиальным.

Теорема 2. Система (2) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда rang A < n, где n количество неизвестных системы.

Доказательство. Нетривиальное решение системы (2) существует тогда и только тогда, когда столбцы матрицы A линейно зависимы, т.е. тогда и только тогда, когда rang A (количество линейно независимых столбцов) меньше n (количества столбцов или, что то же самое, количества неизвестных). 2

Следствие 1. Пусть x1; : : : ; xn попарно различные действительные числа, y1; : : : ; yn произвольные действительные числа. Тогда существует, причём единственный, многочлен P (x) = a0 + a1x + a2x2 + an 1xn 1 такой, что P (xi) = yi, i = 1; : : : ; n.

Доказательство. Совокупность условий P (xi) = yi равносильна системе

2 1		x2	x22	: : : x2n 1	32	a1			3		2 y2	3
6	1	x1	x12	: : : x1n 1	76	a0			7		y1	7
	: : : : : : : : : : : : : :					...				=	6 ...		:
6					76				7		6	7
6	1	xn	x2	: : : xn 1	76 an			1	7		6 yn	7
6			n	n	76				7		6	7
4					54				5		4	5
Положим y1 =			= yn = 0. Эта однородная система имеет толь-
ко нулевое решение a0				= = an 1		= 0, так как многочлен P (x)

3

степени n 1 не может иметь n корней. Значит основная матрица нашей системы невырождена (она называется матрицей Вандермонда). Тогда и при ненулевой правой части система имеет единственное решение. 2

13-14.4. Структура множества решений. Исследуем вначале структуру множества X Rn решений системы (2).

Теорема 3. Если x; y 2 X и 2 R, то x + y 2 X и x 2 X.

Доказательство. Воспользуемся матричной записью системы (2). Имеем:

A(x + y) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0,

A( x) = A(x) = 0 = 0. 2

Следствие 2. Система (2) имеет либо только тривиальное решение (если rang A = n) , либо бесконечно много решений (если rang A < n) .

Если A Rn b 2 Rn, то по определению

A + b = fa + b j a 2 Rng:

Теорема 4. Пусть Xb множество решений системы (1),

X множество решений соответствующей ей однородной системы (2) и xb произвольное решение системы (1). Тогда Xb = X +xb.

Доказательство. Пусть yb другое решение системы (1). Тогда

A(yb xb) = Ayb Axb = b b = 0;

т.е. z = yb xb 2 X. Отсюда yb = z + xb 2 X + xb, т.е. Xb X + xb. Обратно, пусть x 2 X. Тогда

A(x + xb) = Ax + Axb = 0 + b = b;

т.е. X + xb Xb. Таким образом, X + xb = Xb. 2

Из теоремы 4 и следствия 1 получаем

4

Следствие 3. Система (1) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда rang A = n.

13-14.5. Нахождение решений (основной случай). Рассмотрим систему (1) при дополнительных условиях:

m = n; и rang A = n:

(В этом случае матрица A квадратная, число уравнений равно числу неизвестных и rang A = n). По следствию 2 система имеет единственное решение. Укажем три метода его нахождения.

14.5.1. Матричное решение. Так как det A 6= 0, то существует обратная матрица A 1. Запишем систему в матричной форме

Ax = b:

Умножим слева обе части этого равенства на A 1:

A 1Ax = A 1b:

Так как A 1A = E и Ex = x, то получаем, так называемое, матричное решение системы

x = A 1b:

(3)

13-14.5.2. Формулы Крамера. Вспомнив вид элементов обратной матрицы из (3) получим

1

xi = jAj(A1ib1 + A2ib2 + + Anibn) =

a11

1 a21

jAj ...

an1

... b1

... b2

... ...

... bn

... a1n

... a2n

... ... :

... ann

Последний определитель есть определитель матрицы, полученной из матрицы A заменой в ней i-го столбца столбцом b. Обозначим его i. Теперь решение можно записать в виде

xi = i ; i = 1; 2; : : : ; n;

5

где = det A. Это формулы Крамера.

Рассмотрим частный случай однородной системы (2) при m = n 1 и условии независимости всех уравнений, т.е. ранг матрицы

системы	2 a21			a22			: : : a2n			3
	a11			a12			: : : a1n
A =	6: : : : : : : : : : : : : : : : :7
	6									7
	6an		1;1	an		1;2	: : : an		1;n	7
	6									7
	4									5

равен n 1. Обозначим через Mi минор (n 1)-го порядка, получающийся вычёркиванием из матрицы A её i-го столбца, i = 1; 2; : : : ; n. Покажем, что тогда одним из решений нашей системы будет система чисел

M1; M2; M3; : : : ; ( 1)n 1Mn;

а всякое другое решение ему пропорционально.

Так как, по условию, rangA = n 1, то один из миноров Mi

отличен от нуля; пусть это будет Mn. Перенесём неизвестное xn в

правую часть каждого из уравнений. Применив правило Крамера к преобразованной системе, получим

xi = ( 1)n 1 Mi xn; i = 1; 2; : : : ; n 1: Mn

Неизвестное xn при этом может принимать любые значения.

13-14.5.3. Метод Гаусса. Изложим этот метод на примере. Рассмотрим систему

x	x	x	;	9	:
x1	+ x2	+ x3	= 2;	>
1 + 2 2 + 3 3			= 2
				>
				=
x1 + 3x2 x3			= 2	>
				>

;

6

Составим расширенную матрицу системы

	2	1	1	1	j	2	3
A =	6	1	2	3	j	2	7	:
	6						7
	4	1	3	1	j	2	5

Первую строку, помноженную, соответственно, на 2 и 3, приба-

вим ко второй и третьей. Получим расширенную матрицу равно-

сильной системы

	2	1				j	3
A1 =	6	3	0		1	j 27		:
	6						7
	4				2	j	5
		2		0			4

Вторую строку прибавим к третьей. Получим расширенную матри-

цу равносильной системы

A =	2	3	0	1	j		23		:
	6	1	1	1		2		7
2					j
	6							7
	4	1	0	0	j	1		5

Это завершает прямой ход метода Гаусса.

Опишем обратный ход. Третью строку, помноженную, соответ-

ственно, на 3 и 1, прибавим ко второй и первой. Получим расши-

ренную матрицу равносильной системы

23

A	=	6	0	1	1	j	1			:
			0	0	1	j	1
3			1	0	0			17
		6				j			7
		4							5

Наконец, вторую строку, помноженную на -1, прибавим к первой

23

A	=	6	0	1	0	j	0			:
			0	0	1	j	1
4			1	0	0			17
		6				j			7
		4							5

7

Этой матрице соответствует система				9
x2	=		0		;
x	=		1	>
3
				>
				=
x1	=		1	>
				>
что даёт единственное решение		исходной системы.
				;

13-14.6. Нахождение решений (общий случай).

Рассмотрим систему (1) при произвольных m, n и условии rang A = rang A = r. По теореме 1 система имеет решение. Найдём его.

Без ограничения общности будем считать, что базисный минор, общий для матриц A и A , лежит в левом верхнем углу матрицы A:

: :a:11: :x:1:+: :a: :12:x: 2: :+: : : : :+: : a: :1r:x: r: :+: : : : :+: :a: :1n:x: :n: : : =: : : :b:1:

9

>

>

a

r1

x

1

+

a

r2

x

2

+

a

rr

x

r

+ +

a

rn

x

n

=

b

r

>

:

>

>

>

>

a: :m:1:x:1: :+: :a:m:2:x: 2: :+: : : : :+: : a: :mr: :x:r:+: : : : : :+: :a:mn: : :x:n: : =: : : :b:m:

=

>

>

>

>

>

>

>

;

По теореме о базисном миноре строки матрицы A с номерами, большими r, представляют собой линейные комбинации первых r её строк. Поэтому последние m r уравнений являются следствиями первых r и, следовательно, могут быть отброшены.

Оставшиеся r уравнений перепишем так:

a: :11:x: :1 :+: : : : :+: : a: :1r:x: r: : :=: : :b:1:+: : :a:1:;r:+1: :x:r:+1: :+: : : : : :+: :a:1:n:x:n:	9	:
	>
	>
	=
ar1x1 + + arrxr = br + ar;r+1xr+1 + + arnxn	>
	>
	;

Эту систему можно рассматривать как систему r уравнений с r

неизвестными x1, x2, : : :, xr. Её определитель, будучи базисным минором, отличен от нуля, поэтому, согласно следствию 2, при любой правой части, в частности при любых xr+1, xr+2, : : :, xn, она имеет

8

единственное решение. Это означает, что числа xr+1, xr+2, : : :, xn

можно выбрать произвольно, полагая

xr+1 = C1; xr+2 = C2; : : : ; xn = Cn r;

а x1, x2, : : :, xr найти, например, методом Гаусса. Таким образом, общее решение нашей системы зависит от (n r) произвольных чисел

C1, C2, : : :, Cn r.

Упражнения

1. Найти многочлен f(x) третьей степени, для которого

f( 2) = 1; f( 1) = 3; f(1) = 13; f(2) = 33:

2. Найти все решения системы

5 x1	+ 3 x2	+ 5 x3	+ 12x 4	= 10 9:
x	x	x	x	= 4	>
2 1 + 2 2 + 3 3			+ 5 4
					>
					=
x1 + 7x2 + 9x3			+ 4x4	= 2	>
					>

;

3. Исследовать систему и найти общее решение в зависимости от значения параметра :

x1 + x2 + x3 x1 + x2 + x3 x1 + x2 + x3

9

=1 >

>

=

= 1 :

>

>

= 1 ;

4. При каких условиях данная линейная комбинация любых решений данной неоднородной системы линейных уравнений снова будет решением этой системы?

9