1.11. Матрицы

Остыловский А.Н. Лекция 11.

Матрицы. Транспонирование матрицы. Произведение матриц.

Свойства произведения матриц. Единичная матрица. Определи-

тель произведения квадратных матриц. Обратная матрица.

11.1. Транспонирование матриц. Рассмотрим матрицу

	2	a11	: : : an1	3
A =	6	2	2	7
		:a:1: :: :: :: :a:n:
	6			7
	6 am		: : : am	7
	6	1	n	7
	4			5

из m строк и n столбцов.

Матрицу

23

		a11 a12 : : : a1m		7
		. .	.
		. .	.
B =	6 an1 an2		: : : anm
	6			7
	4			5

называют транспонированной по отношению к A и обозначают AT .

Переход от A к AT называют транспонированием. Иными словами

	fAT gji = fAgij:
Например,	3	4	=	23	03
2
"1		5#	T	2	1
				64	57
	0
				6	7
				4	5

Легко видеть, что

(AT )T = A; (A + B)T = AT + BT ; ( A)T = (A)T :

1

11.2. Произведение матриц 11.2.1. Кратные суммы. Сумму всех элементов матрицы

23

a11	a21	: : :	an1
6a12	a22	: : :	an2 7
6			7

67

6: : : : : : : : : : : : : : :7

4 5 am1 am2 : : : amn

можно подсчитать двумя способами:

1)= mi=1( nj=1aij),

2)= nj=1( mi=1aij).

В первом случае суммируются элементы в каждой строке, затем складываются полученные значения; во втором суммируются элементы в каждом столбце и затем складываются результаты. Таким образом, в двойной сумме не обязательно указывать порядок суммирования. Отсюда следует, что и в многократных суммах результат не зависит от порядка суммирования. Так, например, трёхкратную сумму

X

aikbkl clpdpj

k;l;p

можно записывать не расставляя скобки.

11.2.2. Соглашения об обозначениях. Во избежание громоздкости обозначений будем использовать следующие соглашения, принятые в тензорном исчислении:

1. Буквенный индекс рассматривают как переменную величину, принимающую значения 1; 2; : : :. Если написано выражение, содержащее буквенный индекс, не являющийся индексом суммирования, то предполагается, что выписаны все такие выражения для каждого значения этого индекса. Так, например, запись jki = jki означает выполнение таких равенств для всех возможных наборов значений индексов i; j; k:

2

2. Вводится следующее обозначение суммирования. Пусть написано выражение, состоящее из одной буквы или произведения нескольких букв с индексами, причём какой-нибудь индекс встречается дважды один раз вверху, а другой снизу. (Такие индексы называют немыми.) Под этим выражением будем понимать сумму членов такого вида, написанных для всех значений повторяющегося индекса, а знак суммы писать не будем. Такое суммирование называют немым. Если описанным образом повторяются несколько индексов, то имеется в виду многократная сумма. Например, формулы

b0	n	; T 0ij =	n
	= bkl k l		i jT ls m
	X		X
ij	i j	k	l s m k
	i;j=1		l;s;m=1

будем писать в виде

b0ij = bkl ik jl ; T 0ijk = li sjTmls km:

Обозначение любого немого индекса может быть изменено, так как немые индексы "взаимно уничтожаются\ при суммировании. Например,

AikBk = AijBj = AihBh:

При перемножении сумм следует использовать различные немые индексы.

11.2.3. Мотивировка и определение.

Определение 1. Линейным отображением A : Rn ! Rn называется отображение вида

y2	= a12x1	+ a22x2	+ + an2 xn; 9
y1	= a11x1	+ a21x2	+		+ an1 xn;	>	;	(1)
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :						>
						>
						>
						=
yn = a1nx1 + a2nx2 + + annxn >

>

>

>

;

3

Иными словами, отображение (1) столбцу

2 3

x1

6x27

6 7 n x = 6 . 7 2 R

6 .. 7

4 5 xn

ставит в соответствие столбец

2 3

y1

6y27

y = 6 . 7 2 Rn: 6 7

6 .. 7

4 5 yn

Линейное отображение A однозначно определяется своей матрицей

	2a12	a22	: : : an2 3
	a11	a21	: : : an1
A =	6: : : : : : : : : : : : : :7			:	(2)
	6		7
	6an	an	: : : an7
	6 1	2	n7
	4		5

Соотношения (1), используя немое суммирование, можно записать так:

		yj = aijxi;		i; j = 1; 2; : : : ; n:						(3)
Пусть вслед за отображением (3) выполнено отображение B :
Rn ! Rn:	1	1 1		1 2			1 n	9
z	2	= b12y1	+ a22y2		+ + bn2 yn;
z = b1y + b2y +							+ bny ;	>	;	(4)
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :								>
								>
								>
								=
zn = b1sy1 + b2ny2 + + bnnyn								>
								>
								>
								;
или, коротко,								>
		zk = blkyl;		l; k = 1; 2; : : : ; n:						(5)

4

Матрица этого отображения есть

	2b12	b22	: : : bn2 3
	b11	b21	: : : bn1
B =	6: : : : : : : : : : : : :7			:	(6)
	6		7
	6bn	bn	: : : bn7
	6 1	2	n7
	4		5

Подставляя (1) в (4) получим снова линейное отображение C : Rn !

Rn:

z2	= c12x1	+ c22x2	+ + cn2 xn; 9
z1	= c11x1	+ c21x2	+		+ cn1 xn;	>	;	(7)
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :						>
						>
						>
						=
zn = c1sx1 + c2sx2 + + cnnxn						>
						>
						>
						;
где						>
cik = b1kai1	+ b2kai2 + + bnkain;				k; i = 1; 2; : : : ; n:			(8)

Таким образом, элемент cki матрицы C линейного отображения C, стоящий в k-й строке и i-м столбце равен сумме произведений соответствующих элементов k-й строки матрицы B и i-го столбца матрицы A.

Построенную матрицу C называют произведением матрицы B

на матрицу A и обозначают

C = BA:

Пример. Результат последовательного выполнения линейных отображений

y2	=	x1	+ x2;	);	z2	=	2y1 y2	)
y1	= 2x1		+ 3x2;		z1	= y1 + 2y2;

есть линейное отображение

z2	=	3x1	+ 5x2	):
z1	=	4x1	+ 5x2;

5

Коэффициенты этого отображения можно получить непосредствен-

ной подстановкой выражений первого преобразования во второе. Но

быстрее это сделать перемножив матрицы

" #" # " #

1 2 2 3 4 5 = :

2 1 1 1

3 5

Умножать можно не только квадратные матрицы. А именно, пусть

A = [aik] (m n)-матрица, а B = [bkj ] (n p)-матрица. Тогда произведение AB по определению есть такая (m p)-матрица C = [cij], что

cij = ai1b1j + ai2b2j + ainbnj ;

или используя немое суммирование

cij = aikbkj :

Иными словами, элемент матрицы , стоящий в i-й строке и j-м столб-

це равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки

матрицы A и j-го столбца матрицы B.

Примеры.

23

1)	"3 2 0#					1	0				"5 4#			:
						1 2 =
	2	1	1		61		37				4	5
					6			7
	21 23				4			5
2)					1	=	273			:
	2	1		"3#				5
	61	07					617
	6		7				6 7
	4		5				4 5				2 4 3
3)	2 2 1 03223								=				:
	1		1		2	1					5
	6	2	0		17617						6	17
	6				76 7						6	7
	4				54 5						4	5

Отметим, что если число столбцов матрицы A не равно числу

строк матрицы B, то произведение AB не определено.

6

11.3. Свойства произведения матриц. В общем случае умножение матриц не коммутативно, т.е. даже если оба произведения матриц AB и BA определены, то не обязательно AB = BA. В этом

легко убедиться на примере. Пусть				"0	1#:
A =	"1	0#	; B =
	2	1		1	3
Тогда	"1	3#	; BA = "1			0#	:
AB =
	2	7			5	1

Теорема 1. Умножение матриц (при условии, что оно определено) обладает следующими свойствами:

1)A(BC) = (AB)C (ассоциативность);

2)A(B + C) = AB + AC (дистрибутивность);

3)(A + B)C = AC + BC (дистрибутивность);

4)(AB) = ( A)B = A( B), 2 R;

5)(AB)T = BT AT .

Доказательство.

1) Учитывая п .12.3.1, имеем

fA(BC)gij = fAgikfBCgkj = aik(bkpcpj ) = aikbkpcpj ; f(AB)C)gij = f(ABgipfCgpj = (aikbkp)cpj = aikbkpcpj :

5) f(AB)T gij = fABgji = ajkbki ,

fBT AT gij = fBT gikfAT gkj = bki ajk = ajkbki :

Остальные свойства доказываются проще. 2

Замечание. Используя ассоциативность произведения матриц легко получить формулы для элементов произведения нескольких матриц. Например,

fABCDgij = fABCgikfDgkj = (aipbpscsk)dkj = aipbpscskdkj ;

7

fABCDGgij = fABCDgikfGgkj = (aipbpscsmdmk )gjk = aipbpscsmdmk gjk:

11.4. Единичная матрица. Квадратная (n n)-матрица

	2	3
	1 0 : : : 0
E =	60: : :1: : ::::::: :0:7
	6	7
	6	7
	6	7
	4	5
	0 0 : : :	1

называется единичной матрицей. Иными словами,

8

<0; если i 6= j;

fEgij = ji =

:1; если i = j:

Величина ji называется символом Кронекера.

Пусть A = [aij] произвольная (n n)-матрица. Тогда

fAEgij = aik jk = aij;

т.е. AE = A. Аналогично проверяется, что EA = A.

Оказывается, что таким свойством обладает только матрица E. Действительно, пусть ещё матрица E0 обладает указанным свойством. Тогда, с одной стороны, EE0 = E, с другой EE0 = E0. Отсюда E = E0.

11.5. Определитель произведения квадратных матриц.

Теорема 2. det(AB) = det A det B.

Доказательство. Пусть C = AB. Используя немое суммирование, имеем

det(AB) = det C = (c1; c2; : : : ; cn) = (c1 es1 ; c2; : : : ; cn) =

s1

= (a1 bp1 es1 ; c2; : : : ; cn) = (a1 bp1 ; c2; : : : ; cn) =
p1 s1	p1

8

B = [bij] =

= a1p1 (bp1 ; c2; : : : ; cn) =

1 2	n	(b	p1	; b	p2	; : : : ; b	pn	):
= ap1 ap2	apn

В этой сумме отличными от нуля будут лишь те слагаемые, в

которых все bpi попарно различны, т.е. числа

pi образуют переста-

новку из n чисел. С учетом теорем 4, 5 лекции 11

1 2

n

1

; b

2

; : : : ; b

n

) =

det(AB) = a 1 a 2

a n (b

= Xa 1 a 2

a n

( 1)

(b

; b

; : : : ; b

) =

1 2

n

N( )

1

2

n

= det B X

( 1)N( )a 1 a 2 a n

= det B det A:

1 2

n

2

11.6. Обратная матрица. Квадратную матрицу с ненулевым определителем называют невырожденной, и вырожденной в противном случае.

Теорема 3. Для всякой невырожденной (n n)-матрицы A

существует такая матрица A 1, что AA 1 = A 1A = E.

Доказательство. Пусть A = [aij] такая матрица. Рассмотрим матрицу

" #

Aji ; det A

где Aji алгебраическое дополнение элемента aji . 1) В соответствии с замечанием 2 лекции 11 имеем:

				1		Xk	aki Akj
	fABgji = aki bjk =								=
					det A
	1		8det A;	i = j;		= ji =		f	E	g	ji :
	det A			i = j
			<0;
			:	6

1Элемент bij выражается через Aji , а не через Aij!

9

Аналогично доказывается, что BA = E. 2

Замечание 1. Из теоремы 2 следует

1 = det E = det(AA 1) = det A det A 1;

det A 1 = det1 A:

Поэтому A 1 существует лишь для невырожденной матрицы A.

Замечание 2. Предположим, что для матрицы A существует ещё одна такая матрица A1 1, что AA1 1 = A1 1A = E. Тогда

A1 1AA 1 = (A1 1A)A 1 = EA 1 = A 1:

С другой стороны,

A1 1AA 1 = A1 1(AA 1) = A1 1E = A1 1:

Отсюда A1 1 = A 1, т.е. обратная матрица определяется единственным образом.

Упражнения

1. Докажите, что если матрицы A и B перестановочны, т.е. AB =

BA, то имеют место формулы сокращенного умножения а) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2;

б) A2 B2 = (A + B)(A B) и т.д.

2.Доказать, что (AT ) 1 = (A 1)T .

3.Пусть

h iT h i

x = x1; x2; : : : xn ; y = y1; y2 : : : yn ; B = xy

иA невырожденная матрица. Показать

1)B2 = B, где = yx;

2)матрица E + B невырождена тогда и только тогда, когда 6=

1;

10