Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

TENZORY / 2.Скалярное поле

.pdf
Скачиваний:
46
Добавлен:
09.06.2015
Размер:
197.29 Кб
Скачать

Лекция 2

Скалярное поле. Производная по направлению и градиент. Оператор "набла". Нахождение градиента функции, заданной в зависимости от радиус-вектора. Интегральная формула градиента. Решение задач.

2.1Скалярное поле

Говорят, что в области задано скалярное поле, если каждой точке M из поставлено в соответствие некоторое число u = u(M).

Мы будем рассматривать стационарные скалярные поля, в которых величина u(M) зависит только от точки M и не зависит от времени.

Примеры скалярных полей различной природы доставляет нам физика. Так, можно говорить о скалярном поле температур в нагретом телом, о скалярном поле электрического потенциала в пространстве вокруг электрического заряда и т.п.

Если дано скалярное поле в области R3, то, введя прямоугольную декартову систему координат, можно представить скалярное поле в виде некоторой функции u = u(x; y; z). Напомним некоторые сведения из математического анализа о таких функциях.

Для пространственного скалярного поля u = u(M) = u(x; y; z)

уравнение u(x; y; z) = C с переменным параметром C определяет семейство поверхностей уровня, т.е. семейство поверхностей во всех точках каждой из которых скалярное поле u = u(M) имеет одно

итоже значение. Поверхности уровня могут вырождаться в линии

иточки. Для сферически симметричного поля, т.е. такого, что значение u(M) зависит только от расстояния точки M до некоторой фиксированной точки N, любая сфера с центром в точке N является поверхностью уровня.

1

l!0

Пример. Найти поверхности уровня скалярного поля

p

u = arctan x2 + y2 : z

Решение. Поверхности уровня определяются уравнением u =

x2

+ y2

= a2, где a = tan C,

 

 

 

 

C. Отсюда находим

 

 

 

< C <

 

. Мы

 

z2

2

2

видим, что поверхностями уровня являются круговые конусы x2 + y2 a2z2 = 0, ось симметрии которых совпадает с осью Oz.

2.2Производная по направлению

Пусть задана функция скалярного поля u = u(M) = u(x; y; z). Рассмотрим точку M0(x0; y0; z0) и луч l, выходящий из этой точки

 

8 y

=

y0

+ t cos

(1)

 

>

x

=

x0

+ t cos

 

 

< z

=

z0 + t cos ; t > 0

 

 

:

 

 

 

 

 

в направлении

единичного вектора

 

>

 

 

 

 

 

 

l0 = i cos + j cos + k cos :

(2)

(Направляющий вектор может быть выбран с точностью до постоянного числового множителя, т.е. любой длинны. Но нам удобно в данном случае использовать направляющий вектор единичной длинны).

Пусть M1(x0 + t cos ; y0 + t cos ; z0 + t cos ) другая точка этого луча и lu = f(M1) f(M0) приращение функции f

направлении l. Легко проверить

l = jM0M1j = t:

Устремим точку M1 по лучу l к точке M0.

Производной функции u = u(x; y; z) в точке M0 по направлению l называется предел lim llu, если он существует.

2

Производная функции u по направлению l обозначается символом @u@l . Таким образом,

@u := lim lu: @l l!0 l

Функция u = u(x; y; z) называется дифференцируемой в точ-

ке M0(x0; y0; z0), если в некоторой окрестности этой точки она может быть представлена в виде

u(M) = u(M0) + A(M) x + B(M) y + C(M) z + jM0Mj; (3)

где ! 0 при M ! M0.

В курсе математического анализа доказывается, что u = f(x; y; z)

дифференцируема тогда и только тогда, когда она имеет производ-

ную по любому направлению. При этом (3) имеет вид

u(M) = u(M0)+

@u(M0)

x+

@u(M0)

y+

@u(M0)

z+ jM0Mj: (4)

@x

 

@y

 

@z

 

При движении по лучу (1) функцию u(M) можно рассматривать

как функцию одного переменного t. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@u

= lim

lu

= lim

lu

=

du

 

=

@u

 

dx

+

@u dy

+

@u dz

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@l

 

 

 

dt

 

 

 

 

@y dt

@z dt

 

 

l!0

l

 

 

t!0

t

 

 

@x dt

 

 

Учитывая (1) получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@u

=

 

@u

cos +

@u

cos +

@u

cos

 

 

 

 

 

(5)

 

 

 

 

 

 

@l

@x

@y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или в более подробной записи

@y M0 cos + @z M0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@l M0

=

@x M0

cos +

cos :

 

 

 

 

@u

 

 

 

@u

 

 

 

 

@u

 

 

 

 

 

 

 

@u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Величина @u(M) определяет скорость изменения функции u(M)

@l

в данной точке M по заданному направлению.

3

Отсюда следует, что если вектор l0 совпадает с одним из ортов i, j или k, то @u@l совпадает с соответствующей частной производной и чтобы вычислить производную по любому направлению достаточно знать производные по направлениям ортов. (Удивительный факт!)

Пример 1. Найти производную функции u = x2 2xz + y2 в

точке M0(1; 2; 1) по направлению от точки M0 к точке M1(2; 4; 3).

Решение

. Находим вектор

!

= i + 2j 2k

и его орт

 

M

M

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

!0 1

 

1

 

2

2

 

 

 

 

l0 =

M M

=

 

 

i +

 

j

 

k:

 

 

 

!

 

3

3

3

 

Далее,

 

 

jM0M1j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ux0 = 2x 2z; uy0 = 2y; uz0 = 2x;

ux0 (M0) = 4; uy0 (M0) = 4; uz0 (M0) = 2;

 

@l M0

= 4

3 + 4

3 + ( 2) 3 =

3 :

@u

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

2

16

2.3Градиент. Оператор Гамильтона

Вернёмся к формуле (5). Введём в рассмотрение вектор

 

grad u :=

@u

i +

@u

j +

@u

k;

(6)

 

 

 

 

@x

@y

@z

 

называемый градиентом функции u = u(M). (Пока рано говорить, что это есть вектор. Почему?) Тогда ввиду (2) правая часть (5) есть скалярное произведение векторов l0 и grad u. Таким образом,

 

 

 

@u

 

 

 

 

 

= l0 grad u:

(7)

 

 

 

@l

Учитывая, что jl0j = 1, получаем

 

@u

= jgrad uj cos ' = prlgrad u;

(8)

 

 

 

@l

4

т.е. имеет место

Теорема 1. Производная функции по любому направлению равна проекции градиента на это направление.

Следствие 1. Если направления векторов l0 и grad u совпадают (' = 0), то производная по направлению имеет, очевидно, наибольшее значение, равное jgrad uj, а в любом другом направлении производная меньше. Производная по направлению, противоположному градиенту, имеет наименьшее значение, равное jgrad uj. Производная по направлению, перпендикулярному градиенту, равна нулю.

Следствие 2. grad u скалярного поля u = u(x; y; z) как вектор определяется самим полем и не зависит от системы координат в которой задано поле. grad u может быть определён как вектор по направлению которого производная функции u(M) максимальна.

(Теперь доказано, что grad u есть вектор.)

Если направления l0 и l00, образуют равные углы с градиентом, то производные в этих направлениях одинаковы (удивительный на первый взгляд факт).

Пример 2. Вернёмся к примеру 1. Имеем

grad u = (2x 2z)i + 2yj + 2xk;

 

@l M1

= grad ujM1 l0 =

3 :

@u

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

Гамильтон ввёл, оказавшийся

удобным оператор набла\, обозна-

чаемый символом r

 

@

 

@

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r := i

 

+ j

 

+ k

 

:

 

 

@x

@y

@z

 

Его удобно трактовать как символический вектор. По определению применение оператора r к скалярному полю u даёт

ru := i

@u

+ j

@u

+ k

@u

= grad u:

(9)

 

 

 

@x

@y

@z

5

Через оператор "набла\можно выразить производную по направле-

нию:

cos @x + cos @y + cos

@z u =

(l0 r)u =

 

 

 

@

 

 

 

@

 

 

 

@

 

 

 

= (cos )

@u

+ (cos )

@u

+ (cos )

@u

 

=

 

@u

:

@x

@y

@z

 

@l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь l0 r формальное скалярное произведение.

2.4Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Рассмотрим поверхность S

G(x; y; z) = 0:

Пусть кривая

8

> x = x(t)

<

L : y = y(t)

>

: z = z(t)

лежит на этой поверхности и проходит через точку M0(x0; y0; z0), причём x0 = x(t0), y0 = y(t0), z0 = z(t0). Тогда

G(x(t); y(t); z(t)) 0:

Продифференцировав обе части этого тождества по t, получим

G0xx0(t) + G0yy0(t) + G0zz0(t) 0:

В частности, при t = t0 имеем

G0x(M0)x0(t0) + G0y(M0)y0(t0) + G0z(M0)z0(t0) = 0:

Левая часть этого равенства является скалярным произведением вектора

grad G(M0) = G0x(M0)i + G0y(M0)j + G0z(M0)k

6

и вектора

r0(t0) = x0(t0)i + y0(t0)j + z0(t0)k;

направленного по касательной к кривой L. Таким образом,

grad G(M0) r0(t0) = 0:

Если grad G(M0) 6= 0, то это означает

grad G(M0) ? r0(t0) = 0:

Так как кривая L была выбрана произвольно, то все касательные, проведённые в точке M0 к кривым , лежащим на поверхности S и

проходящим через точку M0, расположены в одной плоскости, перпендикулярной вектору grad G(M0). Тогда уравнение касательной плоскости к поверхности S в точке M0 можно записать в виде

G0x(M0)(x x0) + G0y(M0)(y y0) + G0z(M0)(z z0) = 0:

2.5Свойства градиента

Проведём через точку M0 поверхность уровня функции u(M). Так как на поверхности уровня функция u(M) постоянна, то производная по всякому направлению l, лежащему в касательной плоскости к поверхности уровня, в точке M0, равна нулю. Ввиду теоремы 1 это означает, что выполняется свойство

1) grad u(M0) перпендикулярен к поверхности уровня функции u(M), проходящей через точку M0.

Из цепочки

prlgrad(u1 + u2) =

@(u1 + u2)

=

@u1

+

@u2

=

@l

@l

@l

 

 

 

 

= prlgrad u1 + prlgrad u2 = prl(grad u1 + grad u2)

7

ввиду произвольности направления l получаем свойство 2) grad(u1 + u2) = grad u1 + grad u2.

Замечание. Сложению градиентов (векторов по правилу параллелограмма) соответствует сложение скалярных функций векторного аргумента. Так, например, если в данной точке нам известны градиенты температурных полей от каждого из двух независимых источников, то градиент сразу от обеих "печек"можно не находить экспериментально, а вычислить как сумму их градиентов.

Очевидно свойство

3) grad(ku) = k grad u. Из цепочки

prlgrad(u1u2) =

@(u1u2)

= u1

@u2

+ u2

@u1

=

@l

 

@l

@l

 

 

 

 

= u1 prlgrad u2 + u2 prlgrad u1 = prl(u1 grad u2) + prl(u2 grad u1) = = prl(u1 grad u2 + u2 grad u1)

ввиду произвольности направления l получаем свойство

4) grad (u1u2) = u1 grad u2 + u2 grad u1. Следствие. grad(un) = nun 1grad u:

Пусть u = u(M) и F (u) дифференцируемые функции. Рассмотрим сложную функцию F (u(M)). Она, как известно из курса

анализа, снова дифференцируема. Из цепочки

 

 

 

 

@F

 

dF @u

 

dF

dF

prl(grad F ) =

 

=

 

 

 

 

=

 

prlgrad u = prl

 

 

grad u

@l

 

du @l

du

du

имеем свойство

5) grad F (u(M))) = dFdu grad u(M):

Упражнение.

grad

u1

=

u2gradu1 u1gradu2

u2

u22

 

 

Замечание. Все эти свойства градиента можно было бы полу-

чить (проверить) в координатах. Но ...

8

2.6Интегральное представление градиента

Без доказательства отметим следующую формулу:

RR u(M)n0(M)dS

grad u(P ) = lim

S

 

;

 

 

V !0

V

где

S поверхность, ограничивающая объём V содержащий точку P ;

n0(M) единичный вектор нормали к поверхности S в точке M, направленный в сторону роста функции f(P ).

2.7Нахождение градиента функции, заданной в зависимости от радиус-вектора r или от длины r радиусвектора

Пусть скалярное поле определено дифференцируемой функцией u(r), заданной в зависимости от радиуса-вектора r. Пусть l0 единичный вектор направления l из точки M(r). Так как

 

 

@u(r)

 

 

 

 

 

 

= grad u(r) l0;

 

 

 

@l

 

 

то, умножая обе части на dl, получим

 

@u(r)

dl = grad u(r) l0dl

 

 

 

 

 

 

 

 

@l

 

или, так как jdrj = dl,

 

 

 

du(r) = grad u(r) l0jdrj:

 

Учитывая, что l0jdrj = dr, получим

 

 

du(r) = grad u(r) dr:

(10)

Таким образом, дифференциал функции u(r) в точке M(r) равен скалярному произведению градиента функции u(r) и дифференциала dr радиуса-вектора r в точке M(r). 2

9

Имеет место и обратное: если существует такой вектор g(r), что для произвольного dr

du(r) = g(r) dr;

(11)

то вектор g(r) и есть градиент функции u(r).

Доказательство. Ввиду (11) функция u(r) дифференцируема. Тогда имеет место (10). Сравнивая (10) и (11), получим

g(r) dr = grad u(r) dr:

Отсюда

(g(r) grad u(r)) dr = 0:

Так как последнее равенство справедливо для любого dr, т.е. вектор g(r) grad u(r) перпендикулярен любому вектору dr, то

g(r) grad u(r) = 0

или

g(r) = grad u(r):

2

Задача. Найти градиент функции u(r) = (a r)2, где a

постоянный вектор, r радиус-вектор.

Решение. Дифференцируя функцию u(r), получим:

du(r) = 2(a r) (a dr):

Обозначим b = a r. Тогда

(a r) (a dr) = b (a dr):

Производя в полученном смешанном произведении циклическую перестановку векторов, получим:

b (a dr) = dr (b a) = dr ((a r) a):

10

Соседние файлы в папке TENZORY