TENZORY / 2.Скалярное поле
.pdfЛекция 2
Скалярное поле. Производная по направлению и градиент. Оператор "набла". Нахождение градиента функции, заданной в зависимости от радиус-вектора. Интегральная формула градиента. Решение задач.
2.1Скалярное поле
Говорят, что в области задано скалярное поле, если каждой точке M из поставлено в соответствие некоторое число u = u(M).
Мы будем рассматривать стационарные скалярные поля, в которых величина u(M) зависит только от точки M и не зависит от времени.
Примеры скалярных полей различной природы доставляет нам физика. Так, можно говорить о скалярном поле температур в нагретом телом, о скалярном поле электрического потенциала в пространстве вокруг электрического заряда и т.п.
Если дано скалярное поле в области R3, то, введя прямоугольную декартову систему координат, можно представить скалярное поле в виде некоторой функции u = u(x; y; z). Напомним некоторые сведения из математического анализа о таких функциях.
Для пространственного скалярного поля u = u(M) = u(x; y; z)
уравнение u(x; y; z) = C с переменным параметром C определяет семейство поверхностей уровня, т.е. семейство поверхностей во всех точках каждой из которых скалярное поле u = u(M) имеет одно
итоже значение. Поверхности уровня могут вырождаться в линии
иточки. Для сферически симметричного поля, т.е. такого, что значение u(M) зависит только от расстояния точки M до некоторой фиксированной точки N, любая сфера с центром в точке N является поверхностью уровня.
1
Пример. Найти поверхности уровня скалярного поля
p
u = arctan x2 + y2 : z
Решение. Поверхности уровня определяются уравнением u =
x2 |
+ y2 |
= a2, где a = tan C, |
|
|
|
|
|
C. Отсюда находим |
|
|
|
< C < |
|
. Мы |
|
|
z2 |
2 |
2 |
видим, что поверхностями уровня являются круговые конусы x2 + y2 a2z2 = 0, ось симметрии которых совпадает с осью Oz.
2.2Производная по направлению
Пусть задана функция скалярного поля u = u(M) = u(x; y; z). Рассмотрим точку M0(x0; y0; z0) и луч l, выходящий из этой точки
|
8 y |
= |
y0 |
+ t cos |
(1) |
|
|
> |
x |
= |
x0 |
+ t cos |
|
|
< z |
= |
z0 + t cos ; t > 0 |
|
||
|
: |
|
|
|
|
|
в направлении |
единичного вектора |
|
||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
l0 = i cos + j cos + k cos : |
(2) |
(Направляющий вектор может быть выбран с точностью до постоянного числового множителя, т.е. любой длинны. Но нам удобно в данном случае использовать направляющий вектор единичной длинны).
Пусть M1(x0 + t cos ; y0 + t cos ; z0 + t cos ) другая точка этого луча и lu = f(M1) f(M0) приращение функции f
направлении l. Легко проверить
l = jM0M1j = t:
Устремим точку M1 по лучу l к точке M0.
Производной функции u = u(x; y; z) в точке M0 по направлению l называется предел lim llu, если он существует.
2
Производная функции u по направлению l обозначается символом @u@l . Таким образом,
@u := lim lu: @l l!0 l
Функция u = u(x; y; z) называется дифференцируемой в точ-
ке M0(x0; y0; z0), если в некоторой окрестности этой точки она может быть представлена в виде
u(M) = u(M0) + A(M) x + B(M) y + C(M) z + jM0Mj; (3)
где ! 0 при M ! M0.
В курсе математического анализа доказывается, что u = f(x; y; z)
дифференцируема тогда и только тогда, когда она имеет производ-
ную по любому направлению. При этом (3) имеет вид
u(M) = u(M0)+ |
@u(M0) |
x+ |
@u(M0) |
y+ |
@u(M0) |
z+ jM0Mj: (4) |
|||
@x |
|
@y |
|
@z |
|
При движении по лучу (1) функцию u(M) можно рассматривать
как функцию одного переменного t. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
@u |
= lim |
lu |
= lim |
lu |
= |
du |
|
= |
@u |
|
dx |
+ |
@u dy |
+ |
@u dz |
: |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
@l |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
@y dt |
@z dt |
|||||||||||||||||||||||
|
|
l!0 |
l |
|
|
t!0 |
t |
|
|
@x dt |
|
|
||||||||||||||||||||||
Учитывая (1) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
@u |
= |
|
@u |
cos + |
@u |
cos + |
@u |
cos |
|
|
|
|
|
(5) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
@l |
@x |
@y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
или в более подробной записи |
@y M0 cos + @z M0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
@l M0 |
= |
@x M0 |
cos + |
cos : |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
@u |
|
|
|
@u |
|
|
|
|
@u |
|
|
|
|
|
|
|
@u |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величина @u(M) определяет скорость изменения функции u(M)
@l
в данной точке M по заданному направлению.
3
Отсюда следует, что если вектор l0 совпадает с одним из ортов i, j или k, то @u@l совпадает с соответствующей частной производной и чтобы вычислить производную по любому направлению достаточно знать производные по направлениям ортов. (Удивительный факт!)
Пример 1. Найти производную функции u = x2 2xz + y2 в |
|||||||||||||||
точке M0(1; 2; 1) по направлению от точки M0 к точке M1(2; 4; 3). |
|||||||||||||||
Решение |
. Находим вектор |
! |
= i + 2j 2k |
и его орт |
|||||||||||
|
M |
M |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
!0 1 |
|
1 |
|
2 |
2 |
|
|
|||||
|
|
l0 = |
M M |
= |
|
|
i + |
|
j |
|
k: |
|
|||
|
|
! |
|
3 |
3 |
3 |
|
||||||||
Далее, |
|
|
jM0M1j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ux0 = 2x 2z; uy0 = 2y; uz0 = 2x; |
||||||||||||||
ux0 (M0) = 4; uy0 (M0) = 4; uz0 (M0) = 2; |
|||||||||||||||
|
@l M0 |
= 4 |
3 + 4 |
3 + ( 2) 3 = |
3 : |
||||||||||
@u |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
16 |
2.3Градиент. Оператор Гамильтона
Вернёмся к формуле (5). Введём в рассмотрение вектор |
|
||||||
grad u := |
@u |
i + |
@u |
j + |
@u |
k; |
(6) |
|
|
|
|||||
|
@x |
@y |
@z |
|
называемый градиентом функции u = u(M). (Пока рано говорить, что это есть вектор. Почему?) Тогда ввиду (2) правая часть (5) есть скалярное произведение векторов l0 и grad u. Таким образом,
|
|
|
@u |
|
|
|
|
|
|
= l0 grad u: |
(7) |
|
|
|
@l |
||
Учитывая, что jl0j = 1, получаем |
|
||||
@u |
= jgrad uj cos ' = prlgrad u; |
(8) |
|||
|
|
||||
|
@l |
4
т.е. имеет место
Теорема 1. Производная функции по любому направлению равна проекции градиента на это направление.
Следствие 1. Если направления векторов l0 и grad u совпадают (' = 0), то производная по направлению имеет, очевидно, наибольшее значение, равное jgrad uj, а в любом другом направлении производная меньше. Производная по направлению, противоположному градиенту, имеет наименьшее значение, равное jgrad uj. Производная по направлению, перпендикулярному градиенту, равна нулю.
Следствие 2. grad u скалярного поля u = u(x; y; z) как вектор определяется самим полем и не зависит от системы координат в которой задано поле. grad u может быть определён как вектор по направлению которого производная функции u(M) максимальна.
(Теперь доказано, что grad u есть вектор.)
Если направления l0 и l00, образуют равные углы с градиентом, то производные в этих направлениях одинаковы (удивительный на первый взгляд факт).
Пример 2. Вернёмся к примеру 1. Имеем
grad u = (2x 2z)i + 2yj + 2xk;
|
@l M1 |
= grad ujM1 l0 = |
3 : |
|||||||||
@u |
|
|
|
|
|
|
16 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
Гамильтон ввёл, оказавшийся |
удобным оператор набла\, обозна- |
|||||||||||
чаемый символом r |
|
@ |
|
@ |
@ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
r := i |
|
+ j |
|
+ k |
|
: |
|
||||
|
@x |
@y |
@z |
|
Его удобно трактовать как символический вектор. По определению применение оператора r к скалярному полю u даёт
ru := i |
@u |
+ j |
@u |
+ k |
@u |
= grad u: |
(9) |
|
|
|
|||||
@x |
@y |
@z |
5
Через оператор "набла\можно выразить производную по направле-
нию: |
cos @x + cos @y + cos |
@z u = |
||||||||||||
(l0 r)u = |
||||||||||||||
|
|
|
@ |
|
|
|
@ |
|
|
|
@ |
|
|
|
= (cos ) |
@u |
+ (cos ) |
@u |
+ (cos ) |
@u |
|
= |
|
@u |
: |
||||
@x |
@y |
@z |
|
@l |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь l0 r формальное скалярное произведение.
2.4Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Рассмотрим поверхность S
G(x; y; z) = 0:
Пусть кривая
8
> x = x(t)
<
L : y = y(t)
>
: z = z(t)
лежит на этой поверхности и проходит через точку M0(x0; y0; z0), причём x0 = x(t0), y0 = y(t0), z0 = z(t0). Тогда
G(x(t); y(t); z(t)) 0:
Продифференцировав обе части этого тождества по t, получим
G0xx0(t) + G0yy0(t) + G0zz0(t) 0:
В частности, при t = t0 имеем
G0x(M0)x0(t0) + G0y(M0)y0(t0) + G0z(M0)z0(t0) = 0:
Левая часть этого равенства является скалярным произведением вектора
grad G(M0) = G0x(M0)i + G0y(M0)j + G0z(M0)k
6
и вектора
r0(t0) = x0(t0)i + y0(t0)j + z0(t0)k;
направленного по касательной к кривой L. Таким образом,
grad G(M0) r0(t0) = 0:
Если grad G(M0) 6= 0, то это означает
grad G(M0) ? r0(t0) = 0:
Так как кривая L была выбрана произвольно, то все касательные, проведённые в точке M0 к кривым , лежащим на поверхности S и
проходящим через точку M0, расположены в одной плоскости, перпендикулярной вектору grad G(M0). Тогда уравнение касательной плоскости к поверхности S в точке M0 можно записать в виде
G0x(M0)(x x0) + G0y(M0)(y y0) + G0z(M0)(z z0) = 0:
2.5Свойства градиента
Проведём через точку M0 поверхность уровня функции u(M). Так как на поверхности уровня функция u(M) постоянна, то производная по всякому направлению l, лежащему в касательной плоскости к поверхности уровня, в точке M0, равна нулю. Ввиду теоремы 1 это означает, что выполняется свойство
1) grad u(M0) перпендикулярен к поверхности уровня функции u(M), проходящей через точку M0.
Из цепочки
prlgrad(u1 + u2) = |
@(u1 + u2) |
= |
@u1 |
+ |
@u2 |
= |
|
@l |
@l |
@l |
|||||
|
|
|
|
= prlgrad u1 + prlgrad u2 = prl(grad u1 + grad u2)
7
ввиду произвольности направления l получаем свойство 2) grad(u1 + u2) = grad u1 + grad u2.
Замечание. Сложению градиентов (векторов по правилу параллелограмма) соответствует сложение скалярных функций векторного аргумента. Так, например, если в данной точке нам известны градиенты температурных полей от каждого из двух независимых источников, то градиент сразу от обеих "печек"можно не находить экспериментально, а вычислить как сумму их градиентов.
Очевидно свойство
3) grad(ku) = k grad u. Из цепочки
prlgrad(u1u2) = |
@(u1u2) |
= u1 |
@u2 |
+ u2 |
@u1 |
= |
||
@l |
|
@l |
@l |
|||||
|
|
|
|
= u1 prlgrad u2 + u2 prlgrad u1 = prl(u1 grad u2) + prl(u2 grad u1) = = prl(u1 grad u2 + u2 grad u1)
ввиду произвольности направления l получаем свойство
4) grad (u1u2) = u1 grad u2 + u2 grad u1. Следствие. grad(un) = nun 1grad u:
Пусть u = u(M) и F (u) дифференцируемые функции. Рассмотрим сложную функцию F (u(M)). Она, как известно из курса
анализа, снова дифференцируема. Из цепочки |
|
|
|
|||||||||
|
@F |
|
dF @u |
|
dF |
dF |
||||||
prl(grad F ) = |
|
= |
|
|
|
|
= |
|
prlgrad u = prl |
|
|
grad u |
@l |
|
du @l |
du |
du |
имеем свойство
5) grad F (u(M))) = dFdu grad u(M):
Упражнение.
grad |
u1 |
= |
u2gradu1 u1gradu2 |
|
u2 |
u22 |
|||
|
|
Замечание. Все эти свойства градиента можно было бы полу-
чить (проверить) в координатах. Но ...
8
2.6Интегральное представление градиента
Без доказательства отметим следующую формулу:
RR u(M)n0(M)dS
grad u(P ) = lim |
S |
|
; |
|
|
||
V !0 |
V |
где
S поверхность, ограничивающая объём V содержащий точку P ;
n0(M) единичный вектор нормали к поверхности S в точке M, направленный в сторону роста функции f(P ).
2.7Нахождение градиента функции, заданной в зависимости от радиус-вектора r или от длины r радиусвектора
Пусть скалярное поле определено дифференцируемой функцией u(r), заданной в зависимости от радиуса-вектора r. Пусть l0 единичный вектор направления l из точки M(r). Так как
|
|
@u(r) |
|
|||
|
|
|
|
|
= grad u(r) l0; |
|
|
|
@l |
|
|
||
то, умножая обе части на dl, получим |
|
|||||
@u(r) |
dl = grad u(r) l0dl |
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
@l |
|
|||
или, так как jdrj = dl, |
|
|
|
|||
du(r) = grad u(r) l0jdrj: |
|
|||||
Учитывая, что l0jdrj = dr, получим |
|
|||||
|
du(r) = grad u(r) dr: |
(10) |
Таким образом, дифференциал функции u(r) в точке M(r) равен скалярному произведению градиента функции u(r) и дифференциала dr радиуса-вектора r в точке M(r). 2
9
Имеет место и обратное: если существует такой вектор g(r), что для произвольного dr
du(r) = g(r) dr; |
(11) |
то вектор g(r) и есть градиент функции u(r).
Доказательство. Ввиду (11) функция u(r) дифференцируема. Тогда имеет место (10). Сравнивая (10) и (11), получим
g(r) dr = grad u(r) dr:
Отсюда
(g(r) grad u(r)) dr = 0:
Так как последнее равенство справедливо для любого dr, т.е. вектор g(r) grad u(r) перпендикулярен любому вектору dr, то
g(r) grad u(r) = 0
или
g(r) = grad u(r):
2
Задача. Найти градиент функции u(r) = (a r)2, где a
постоянный вектор, r радиус-вектор.
Решение. Дифференцируя функцию u(r), получим:
du(r) = 2(a r) (a dr):
Обозначим b = a r. Тогда
(a r) (a dr) = b (a dr):
Производя в полученном смешанном произведении циклическую перестановку векторов, получим:
b (a dr) = dr (b a) = dr ((a r) a):
10