TENZORY / Вектор-функция скалярного арг-1

Лекция 1.

Вектор-функция скалярного аргумента. Дифференцирование вектора по скалярному аргументу. Формулы дифференцирования. Интегрирование по скалярному аргументу. Решение задач.

1.1Вектор-функция скалярного аргумента. Годограф вектора

Положение движущейся точки в пространстве в момент времени t

легко задать радиус-вектором r(t). Этот и другие примеры приводят к необходимости изучать вектор-функции скалярного аргумента.

Если каждому допустимому значению скалярной величины t соответствует одно вполне определенное значение вектора r, то говорят, что задана вектор-функция от скалярного аргумента t: r = r(t). При этом параметр t вовсе не обязательно обозначает время. Это может быть, например, угол в полярной системе координат на плоскости.

Отметим, что задание функции r(t) в прямоугольной декартовой системе координат эквивалентно заданию трех скалярных функций от t: rx(t), ry(t), rz(t), ибо

r(t) = rx(t)i + ry(t)j + rz(t)k:

(1)

Откладывая значения вектора r(t) при различных значениях параметра t от общего начала O (полюса), получим годограф вектора r(t) (рис. 1)

1

Если вектор меняется только по величине, то его годограф есть прямая проходящая через полюс. Если вектор меняется только по направлению, то его годограф есть некоторая кривая на сфере с центром в полюсе.

Если годографом вектора является прямая, то в общем случае он меняется как по величине, так и по направлению (рис. 2), но он всегда может быть представлен в виде

r(t) = r0 + ta;

где r0 и a постоянные векторы.

1.2Производная вектор-функции по скалярному аргументу. Геометрический и механический смысл производной

Если для переменного вектора r(t) при t ! t0 существует такой постоянный вектор r0, что

lim jr(t) r0j = 0;

то вектор r0 называется пределом при t ! t0 вектор-функции r(t). Предположим, что вектор-функция r(t) определена на некотором интервале. Пусть t есть некоторое значение аргумента из данного интервала; ему будет соответствовать вектор r(t). Дадим аргументу t такое приращение t, чтобы значение t + t также принадлежало рассматриваемому интервалу; значению аргумента t + t будет

соответствовать вектор r(t + t). Составим разность

r(t) = r(t + t) r(t);

называемую приращением вектор функции r(t) (рис. 3). Отметим, что вектор r(t) направлен по секущей к годографу.

2

	Производной	dr		от вектор-функции по скалярному аргументу на-
		dt
	зывается предел (если он существует)
	lim			r(t + t) r(t)	= lim	r(t)		=	dr
				t		t			dt
	t!0				t!0

Поскольку вектор rt также направлен по секущей к годографу,

то вектор ddtr лежит на касательной (в пространстве!) к годографу вектора r(t) и направлен в сторону, соответствующую направлению годографа, определяемому возрастанием аргумента t (рис. 4).

Производную по переменной t будем также обозначать через r(t).

1.3Свойства производных

Свойства производных вытекают из определения. Пусть r = r(t)

и q = q(t) вектор-функции, а ' = '(t) скалярная функция. Тогда

1)dtd (r q) = ddtr ddtq;

2)dtd ('r) = d'dt r + 'ddtr;

3)dtd (r q) = ddtr q + r ddtq;

3

d

dr

dq

4)

(r q) =

q + r

:

dt

dt

dt

dt r

+ a b + dt

.

5) dt(a (b r)) = dt (b r) + a

d

da

db

dr

Докажем, например, свойство (4):

d

(r

q) = lim

(r + r) (q + q) r q

dt

t

!

0

t

= lim

( r q) + (r q) + ( r q)

=

t

t!0

t!0 r

t

+ t!0

t!0

t

t

lim

r

q

+ lim

q

t

lim

r

q

=

=ddtr q + r ddtq:

1.4Кривизна пространственной кривой

Примем теперь в качестве параметра длину дуги s, отсчитываемую в определённую сторону от некоторой начальной точки кривой.

Такая параметризация кривой называется естественной.

Производную dr(s) будем обозначать через r0, в отличие от r в ds

случае произвольного параметра t.

Выясним геометрический смысл производной r0. Из курса математического анализа известно, что

	lim			j rj	= 1:
Следовательно,				j sj
			= lim
jr0j =	ds					s			= 1
	dr(s)					r(s)

4

и

(r0)2 = 1:

(2)

Таким образом, r0 является единичным касательным вектором. Он направлен в сторону возрастания дуги s.

Дифференцируя по s тождество (2), получим

r0 r00 = 0:

Значит, вектор r00 перпендикулярен к вектору r0, а стало быть, перпендикулярен к касательной нашей кривой.

Вектор r00 называется вектором кривизны или главным нормальным вектором, а его длина называется кривизной линии в рассматриваемой точке и обозначается буквой k. Величину = k1 называют, как и у плоской кривой, радиусом кривизны. Из рассматриваемой точки кривой отложим по направлению вектора кривизны отрезок, равный радиусу кривизны; конечная точка этого отрезка называется

центром кривизны (рис. 5).

1.5Приложение к механике точки. Разложение ускорения на касательное и нормальное

Пусть материальная точка движется по кривой r = r(t); пара-

метром служит время t. Тогда скорость определяется вектором r(t),

5

•

а ускорение вектором r(t). Имеем

r =

dr

=

dr

ds

= r0s:

dt

ds dt

Дифференцируя вторично по t, получим ускорение

•r = dt

ds dt

=

dt ds dt + ds dt dt

=

d dr ds

d dr ds dr d ds

d2r ds ds

dr d2s

=

+

= (s)2r00

+ s•r0:

ds

2

dt dt

2

ds dt

Таким образом, вектор-ускорение равен сумме двух взаимно перпендикулярных векторов. Первый из них направлен к центру кривизны и называется нормальным ускорением. Его модуль равен произведению квадрата скорости на кривизну, т.е. v2= , где v величина скорости, радиус кривизны.

Второй направлен по касательной к траектории, и его величина равна s•, т.е. ускорению движущейся точки вдоль пути движения. Этот вектор называется касательным или тангенциальным ускорением (рис. 6).

Упражнение. Найти скалярное произведение r •r и убедиться, что оно может быть отлично от нуля.

6

r(t)

1.6Производная от единичной вектор-функции и её при-

менение

Пусть r0(t) = jr(t)j орт вектора r(t), т.е. вектор, длина которого равна единице и сонаправленный вектору r(t). Тогда вектор r0(t) меняется только по направлению. Иными словами, конец вектора r0(t) движется по сфере единичного радиуса. Дифференцируя равенство (r0)2 = 1, получим

dr0 r0 = 0: dt

Тогда

dr0 ?r0 = 0: dt

Согласно определению производной

r0(t) = lim 4r0(t) = lim r0(t + 4t) r0(t):

4t 4t

Из рис. 7 находим:

j4r0(t)j = 2OM sin 42 = 2 sin 42 ;

где 4 = j 'j абсолютная величина угла между векторами r0(t)

и r0(t + t).
Получаем:
j	0	j	t>!0		r0(t)			t>!0	2 sin 2
					t				t
	r (t) = lim							= lim		=
			t 0					t 0

()

t>!0	2			t	t>!0	t		dt
= lim	sin	2			= lim		=		d		:
t 0					t 0

Следовательно, dr0 есть вектор, перпендикулярный к r0(t) и равdt

ный по модулю угловой скорости движения конца вектора r0(t) по

7

ру r. Слагаемое ру r.

направлен по каса-

кривой, лежащей на сфере единичного радиуса, если аргумент t рас-

сматривать как время. Кроме того, вектор dr0 dt

тельной к этой кривой.

Теперь рассмотрим общий случай, когда вектор r(t) изменяется и по длине и по направлению.

Вектор r(t) можно представить в виде

r(t) = jr(t)jr0(t);

где r0(t) орт вектора r(t), или коротко

r = jrjr0:

Используя свойство 2) производных, получаем:

r =	j	r	j	dr0	+	djr(t)j	r0	:	(3)
				dt
						dt

Слагаемое jrjdr0 изображает вектор, перпендикулярный к вектоdt

djr(t)jr0 изображает вектор, параллельный вектоdt

Таким образом, формула (3) даёт разложение производной r на два вектора: по направлению самого вектора r и по направлению, к нему перпендикулярному (рис. 8).

8

Замечание. Не рекомендуется писать r0 вместо dr0 , ибо операdt

торы "0"(взятие орта) и " "(дифференцирование) не перестановочны. В этом можно убедиться на простых примерах в координатах.

Упражнения

1. Найти годограф вектора

a(t) =

2t

i +

1 t2

j;

t

2

(

1

; + ):

1 + t2

1 + t2

1

Ответ: x2 + y2 = 1:

2. Найти годограф вектора

a(t) =

2t

i +

2t

j +

t2 2

k;

t

2

(

1

; + ):

2 + t2

2 + t2

2 + t2

1

Ответ: x2 + y2 + z2 = 1;

x y = 0 (окружность).

3. Найти годограф вектора

a(t) = i 4t2j + 3t2k;

t 2 (1; +1):

Ответ:

x 1

=

y

=

z

(прямая).

4

0

3

4. Уравнение движения точки r(t) = i4 cos t + j3 sin t, где t вре-

мя. Найти траекторию движения, скорость и ускорение движения.

Ответ: траектория движения есть эллипс				x2		+		y2	= 1; скорость
			16			9
	dr(t)		= i sin t+j3 cos t; ускорение w(t) =				d2r(t)				i4 cos t
v(t) =										=
	dt						dt2

j3 sin t.

5. Найти

d		a(t)	da(t)		:
dt			dt

Ответ:

d2a(t) a(t) dt2 :

9

6. Найти производную по t от смешанного произведения

a(t) da(t) d2a(t) : dt dt2

Ответ:

a(t) da(t) d3a(t) : dt dt3

7. Показать, что если вектор a(t) имеет постоянную длину, то

a(t) d2a(t) + da(t) 2 = 0: dt2 dt

Указание: продифференцировать тождество a(t) dadt(t) = 0.

8. Векторы a, b, r, s являются функциями одной переменной t. Продифференцировать по t следующие функции: a) (a b) r,

б) (a b) (r s).

r + (a b) dt ,

Ответ: а)

dt b r + a dt

da

db

dr

dt b

a dt

б)

(r s) +

(r s) + (a b)

dt s

+

da

db

dr

		ds
+ (a b)	r		.
		dt

9.Всегда ли верно равенство

da(t) 2 = dja(t)j 2? dt dt

Ответ: Не всегда. Действительно,

dja(t)j

=

da(t)

a0

(t) =

dt

dt

dt ; a(t)!

dt

cos

dt

; a0(t)!

=

dt

cos

:

\

\

da(t)

da(t)

da(t)

da(t)

Отсюда получаем:

j

; a(t)!:

jdt

2

=

dt

2

cos2

dt

\

d a(t)

da(t)

da(t)

10