ТФКП - методичка

eiϕ = cosϕ + isin ϕ

и переписав предыдущее соотношение	в виде
z = reiϕ	(z≠0),

мы получим показательную форму комплексного числа. Легко проверяется справедливость следующих равенств:

ei0 =1,

eiϕ eiψ = ei(ϕ+ψ),

eiϕ

= ei(ϕ−ψ)

,

eiψ

z == re−iϕ, cosϕ = eiϕ +e−iϕ ,

sin ϕ = eiϕ −e−iϕ ,

2

2i

[r (cosϕ + sin ϕ)]n = rn (cos nϕ + isin nϕ),

n =1,2,... (формула Муавра).

Примеры

1. Представить комплексное число

z = 3 − i +

2i

в алгебраической

1

+ i

форме.

Умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное

знаменателю, получим

2i(1 − i)

2i(1 − i)

z = 3 − i +

=

3 − i +

2

= 3 − i + i

+1 = 4 ,

(1 + i)(1 − i)

т.е. Re z = 4 , Im z = 0 .

2. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовле-

2z

<1.

творяющих условию

1 + z2

Согласно определению модуля комплексного числа имеем

2z

=

2

z

=

2

x2 + y2

.

1 + z2

1 +

z

2

(1 + x2 − y2 )2 + 4x2 y2

По условию получаем

2

x2 + y2

<1.

(1 + x2 − y2 )2 + 4x2 y2

рат:

Так как обе части неравенства неотрицательны, возведем его в квад-

4(x2 + y2 )< (1 + x2 − y2 )2 + 4x2 y2 или

(1 − x2 − y2 )2 − 4 y2 > 0 .

Тогда

(x2 + (y +1)2 − 2)(x2 + (y −1)2 − 2)> 0 .

Искомое множество точек будет определяться двумя системами неравенств

11

	x2		+ (y +1)2 > 2,
		2	2
	x		+ (y −1) > 2
	и
	x2		+ (y +1)2 < 2,
		2	2
	x		+ (y −1) < 2,
Рис. 1	решения которых		изображены на рис. 1 (за-
	штрихованная часть комплексной плоскости).

Глава 3. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
3.1. Дробно-линейная функция
Определение 1. Функция вида
w =	az + b	, ad − bc ≠ 0 ,	(1)
	cz + d

где a, b, c, d – комплексные числа, называется дробно-линейной.

Отображение, задаваемое этой функцией, называется дробнолинейным.

Условие ad − bc ≠ 0 означает, что w ≠ const . Функция (1) осуществляет конформное отображение расширенной комплексной плоскости Z на расширенную комплексную плоскость w, так как производная

w'=			az − bc					≠ 0, z ≠ ∞.
		(cz + d )2
Для c ≠ 0 предполагаем, что				−	d			= ∞, w(∞)=	a	, для c = 0 функция (1)
			w		c				c
становится линейной, т. е. w = az + b и w(∞)= ∞. Функция
z =			dw − b			, ad − bc ≠ 0 ,
	− cw + a

является обратной к функции (1). Она также является дробно-линейной и однозначной на расширенной комплексной плоскости, т. е. здесь функция

(1) является однолистной.

Каждое дробно-линейное отображение может быть получено в результате последовательного выполнения трех отображений: линейного,

отображения w = 1z и снова линейного отображения.

Дробно-линейные отображения переводят:

1) окружность или прямую в окружность или прямую (круговое свойство);

12

2) пару точек, симметричных относительно окружности, – в пару точек, симметричных относительно образа этой окружности (свойство сохранения симметрии). Здесь "окружность", в частности, может быть прямой, если под последней понимать окружность бесконечного радиуса.

Существует единственное дробно-линейное отображение, которое три разных точки z1, z2 , z3 переводит соответственно в три разные точки

w1, w2 , w3 . Это отображение задается формулой

w − w1

w3 − w2

=

z − z1

z3 − z2

.

(2)

w − w w

− w z − z

2

z

3

− z

2

3

1

1

Если одна из точек zk или wk

( k =1,2,3) является бесконечно удаленной

точкой, то в формуле (2) разности, в которые входит zk

или wk , требуется

заменить единицами.

Существует бесконечно много дробно-линейных отображений, которые заданную окружность γ отображают на заданную окружность Г, причем область D, для которой γ является границей, отображается на одну из

областей, для которой Г является границей.

Для обеспечения единственности дробно-линейного отображения достаточно выполнение одного из условий:

1) заданная точка z0 D отображается в заданную точку w0 D' , а любая кривая, выходящая из точки z0 , поворачивается на заданный угол α

(w0 = f (z0 ), α = arg(f '(z0 )));

2) точки z0 D и z1 γ отображаются соответственно в заданные точки w0 D' и w1 Γ.

Примеры

3.Найти образ окружности, заданной уравнением

x2 + y2 + 2x − 4 y +1 = 0 ,

при отображении w = 1z .

Решение. На основании кругового свойства дробно-линейного отображения окружность переходит в окружность. Для ее нахождения на

заданной окружности x2 + y2

+ 2x − 4 y +1 = 0 выберем три точки, напри-

мер: z1 = −1, z2 =1 + 2i ,

z3 = −3 + 2i , образами которых при отображении

w = 1 будут точки w = −1, w

=

1 − 2i

, w

=

− 3 − 2i

. Точками w , w , w

од-

z

1

2

5

3

13

1

2

3

нозначно определяется образ данной окружности, уравнение которой:

(u +1)2 + (v + 2)2 = 4

(w =u + iv).

(3)

Для отображения

w = 1

имеем

z

13

u = x2 +x y2 , v = − x2 +y y2 .

Выразив отсюда x = x(u,v), y = (u,v) и подставив в уравнение заданной окружности, получим искомый образ (3).

4. Найти образ области

D

при

отображении w =

z

, где

z −1

D ={z, 0 < Re(z)<1, 0 < Im(z)<1}.

Решение. Выделим действительную и мнимую части функции w.

Имеем:

x(x −1)+ y2

u =

,

v = −

y

.

(x −1)2 + y2

(x −1)2

+ y2

Будем искать образ границы области D (рис. 2).

Сторона OA: y = 0, 0 ≤ x ≤1

отображается на отрицательную часть

действительной оси ( v = 0, − ∞ <u ≤ 0 ) (рис. 3).

			v	C 1
	y		0	2
i	C	B	-i/2	C′	u
			-i	B′
		1
			x
O		A
	Область D		Образ области D

Рис. 2 Рис. 3

Сторона AB : x =1, 0 < y ≤1, отображается в линию u =1, − ∞ < v ≤ −1. Сторона BC : y =1, 1 ≥ x ≥ 0 , отображается в линию, параметрическое

уравнение которой имеет вид
u =	x(x −1)+1					, v = −								1			, 0 ≤ x ≤1.
												(x
	(x −1)2 +1													−1)2 +1
Исключив параметр x , получим
2		+		+	1		2	=		1	, 1			≥ u ≥	1	,		−1 ≥ v ≥		1	.
(u −1)			v		2					4					2					2
Аналогично образ стороны CO определяется уравнением
		1	2				=	1	,		1		≥ u ≥ 0,			−		1	≤ v ≤ 0 .
u −			+ v2					4			2							2
		2
В соответствии с принципом соответствия границ образом квадрата
будет заштрихованная область на рис. 2.																			которое точки z1 =1 и
5. Найти дробно-линейное										отображение,

z2 = −1 оставляет неподвижными, а точку z3 = i переводит в точку w3 = 0 .

14

Найти образ полуплоскости Im(z)> 0 при данном отображении. Решение. По условию имеем три пары соответствующих точек

z1 =1, z2 = −1, z3 = i, w1 =1, w2 = −1, w3 = 0.

Применяя формулу (2), получим искомое дробно-линейное отображение w = izz ++i1.

Найдем теперь образ верхней полуплоскости, границей которой является действительная ось. Согласно круговому свойству действительная ось отображается в окружность. Чтобы найти ее, на действительной оси выберем три точки, например: z1 =1, z2 = 0, z3 = −1, образами которых бу-

дут точки w1 =1, w2 = −i, w3 = −1. Они лежат на окружности w =1. По

принципу соответствия границ получаем, что образом верхней полуплоскости будет область D'={w, w <1}.

6. Найти дробно-линейное отображение, которое круг z − 4i < 2 отображает на полуплоскость v > u так, что w(4i)= −4, w(2i)= 0 .

Решение. Условие задачи определяет две пары соответствующих точек. Третью пару найдем, пользуясь свойством симметрии дробно линейного отображения, согласно которому точки z1 = 4i и z3 = ∞, симмет-

ричные относительно окружности z − 4i = 2, перейдут в точки w1 = −4 и w3 = −4i , симметричные относительно прямой u = v . Таким образом, найдена третья пара точек z3 = ∞ иw3 = −4i .

По формуле (2) найдем искомое отображение w = − 4iz −8 . z − 2 − 4i

3.2. Показательная и тригонометрические функции комплексного аргумента

Определение 2. Функция f (z)= ex (cos(y)+ isin(y)) называется показательной и обозначается exp z или ez .

Примеры

7. Доказать, что любая полоса шириной 2π, стороны которой параллельны действительной оси, является областью однолистности функции ez .

Доказательство. Пусть z1 и z2 – две различные точки комплекс-

ной плоскости. Очевидно, что при условии ez1 = ez2 имеем ez1−z2 =1. Отсюда, так как ez =1 при z = 2kπi, k Z, имеем

z1 − z2 = 2kπi, k Ζ, k ≠ 0 .

15

Таким образом, условие однолистности нарушается для точек z1 и z2 , для которых z1 − z2 = 2kπi , где k – любое целое число. Такому условию

не удовлетворяет множество точек z комплексной плоскости, для которых h < Im(z)< h + 2π, где h – любое действительное число. Отсюда следует, что полоса шириной 2π, стороны которой параллельны действительной оси, является областью однолистности.

8. Доказать, что при отображении w = ez :

а) образом прямой y = a является луч, выходящий из начала координат под углом a к положительному направлению действительной оси;

b) образом прямой						x = d является окружность с центром в начале
координат и радиусом ed .									z = x + ia ,
Доказательство:						а) действительно, так как		y = a , то
− ∞ < x < +∞,				тогда w = ex+ia = ex (cos(a)+isin(a)),				что означает, что
arg(w)= a,		w		= ex	изменяется от 0 до ∞, т.е. образом прямой				y = a явля-
ется луч arg		(w)= a ;
b) так				как	x = d ,	то z = d + iy ,	− ∞ < y < +∞, тогда		w = ed +iy =
= ed (cos(y)+ isin(y)), т.е.						u = ed cos (y),	v = ed sin(y),	а это – параметриче-

ское уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом ed . Тригонометрические и гиперболические функции комплексной пе-

ременной задаются формулами:

cos(z)= eiz + e−iz		;	tg(z)=	sin(z)					;
2				cos(z)
sin(z)= eiz − e−iz		;	ctg(z)=			cos(z)					;
						sin(z)
2i
ch(z)= ez + e−z	;		th(z)=		sh(z)			;
2						ch(z)
sh(z)= ez − e−z	;		cth(z)=				ch(z)			.
2							sh(z)

9. Доказать соотношения между тригонометрическими и гиперболическими функциями:

1) cos(z)= ch(iz), ch(z)= cos(iz);

2) sin(z)= −ish(iz), sh(z)= −isin(iz);

3)tg(z)= −ith(iz), th(z)= −itg(iz);

4)ctg(z)=icth(iz), cth(z)= ictg(iz).

10.Пусть z = x + iy . Доказать, что

1)Re(sin(z))= sin(x)ch(y), Im(sin(z))= cos(x)sh(y);

16

2)Re(sh(z))= sh(x)cos(y), Im(sh(z))= ch(x)sin(y);

3)Re(cos(z))= cos(x)ch(y), Im(cos(z))= −sin(x)sh(y);

4)Re(ch(z))= ch(x)cos(y), Im(ch(z))= sh(x)sin(y).

11.Найти образы прямых x = a, y = a при отображении w = sin(z).

		Решение. Для отображения						w = sin(z) имеем		u = sin(x)ch(y),
v = sh(y)cos(x) (см. пример						8). При		этом отображении		прямая x = a
( a ≠	kπ	, k Z ) переходит в кривую, параметрическое уравнение которой
2		u = sin(a)ch(y),				v = cos(a)sh(y),			− ∞ < y < +∞.
	Исключая параметр y , получаем
			u2			v2		kπ
				−			=1	( a ≠ 2	, k Z ),	(4)
			sin2 (a)		cos2 (a)

причем координата u сохраняет знак, равный sign(sin(a)), а координата v

пробегает всю числовую ось. Тогда образом прямой x = a ( a ≠	kπ	, k Z )
2

является одна ветвь гиперболы (4) с полуосями |sin(a)| и |cos(a)| и с фокусами в точках ±1. Если a = kπ, k Z , то прямая x = a превращается в кри-

вую, параметрическое уравнение которой u = 0, v = (−1)k sh(y),

− ∞ < y < +∞, т.е. в мнимую ось плоскости w. Если a = kπ +	π	, k Z , то
	2

прямая x = a	переходит в кривую, параметрическое уравнение которой
v = 0, u = (−1)k ch(y), − ∞ < y < +∞, т. е. в луч u ≤ −1, v = 0 при нечетном k
и в луч u ≥1,	v = 0 при четном k.

Аналогично образом прямой y = a , a ≠ 0 является эллипс

u2		v2
	+		=1
ch2 (a)		sh2 (a)

с полуосями ch(a) и sh(a) и с фокусами в точках ±1. Если a = 0 , то обра-

зом действительной оси в плоскости z является отрезок [−1,1] действи-

тельной оси плоскости w .

12. Доказать, что: 1) функция w = sin(z) полосу − π2 < Re(z)< π2 ото-

бражает на всю плоскость w с разрезами по лучам [1;+∞[ и ]− ∞,−1] действительной оси Ou ; 2) функция w = cos(z) полосу 0 < Re(z)< π отображает на всю плоскость w с разрезами по лучам [1;+∞[ и ]− ∞,−1] действительной оси Ou .

17

3.3. Логарифмы комплексных чисел. Степень с действительным показателем

Определение 3. Логарифмической функцией комплексного аргумента называется функция, обратная к показательной, т.е. определяемая урав-

нением

ew = z , z ≠ 0 ,

и обозначаемая w = Ln(z). Справедлива формула

Ln (z)= ln ( z )+ i(arg(z)+ 2kπ), k Z (7).

Логарифмическая функция определена на всей комплексной плоскости с выколотой точкой z = 0 , она бесконечнозначна и разные ее значения отличаются на 2kπi , k Ζ.

Каждое значение функции Ln(z) называется логарифмом комплекс-

ного числа z .

Значение логарифма комплексного числа z , z ≠ 0 , которое соответствует ln ( z )+ i arg(z), называется главным значением Ln(z) и обо-

значается через ln(z):

ln(z)= ln ( z )+ iarg(z), − π < arg(z)< π.

Тогда формула (7) принимает вид

Ln(z)= ln(z)+ 2kπi , k Z .

Определение 4. Однозначной непрерывной ветвью многозначной

функции f (z) в области D называется однозначная непрерывная функция

ϕ(z), значение которой в каждой точке z D совпадает с одним из значений функции f (z).

В области D , которая является комплексной плоскостью с разрезом вдоль луча, выходящего из начала координат под углом α1 к действитель-

ной оси, существует бесчисленное множество разных однозначных ветвей функции w = Ln(z). Каждая из этих ветвей отображает область D на одну

из полос:	Dk ={w,α1 + 2kπ< Im(w)< α1 + 2(k +1)π}, k Z .
Для	выделения однозначной ветви логарифмической функции
w = Ln(z)	достаточно определить полосу Dk , на которую эта ветвь ото-

бражает область D . Для определения полосы Dk достаточно вычислить лишь значение логарифмической функции в какой-нибудь точке z0 D .

Через Lnk (z) обозначим ту ветвь логарифмической функции Ln(z), которая отображает область D на полосу Dk . Тогда

Lnk (z)= Ln0 (z)+ 2kπi , k Z , где Ln0 (z)= ln( z )+ iArg0 (z), α1 < Arg0 (z)< α1 + 2π.

Очевидно, что каждая ветвь Lnk (z) удовлетворяет теореме о производной обратной функции, по которой

18

(Lnk (z))'=	1	,	k Z, z D .
	z

Отсюда, отображение, осуществляемое каждой ветвью логарифмической функции, является конформным для всех точек z D .

В связи с тем, что главное значение аргумента комплексного числа выбирается из промежутка ]− π,π], в формуле (5) берут α1 = −π. Тогда

Dk ={w,(2k −1)π< Im(w)< (2k +1)π}, k Z ,

а область D будет плоскостью с разрезом по лучу ]− ∞,0].

Ветвь логарифмической функции, отображающая область D на по-

лосу D0 , является главной ветвью ln(z). Все остальные однозначные непрерывные ветви функции w = Ln(z) в этой области имеют вид

Lnk (z)= ln(z)+ 2kπi , k Z .

Значение Ln(z), равное Lnk (z), при однократном обходе точки z вокруг начала координат вдоль какой-нибудь окружности z = r переходит

в число Lnk +1(z), так, что Ln(z) непрерывно изменяется и обход совершается против движения часовой стрелки, и в число Lnk −1(z) – при обходе по

часовой стрелке.

Точка, при обходе которой по какой-нибудь окружности достаточно малого радиуса многозначная функция, непрерывно изменяясь, переходит от одного значения к другому, называется точкой ветвления функции. Точки z = 0 и z = ∞ являются точками ветвления функции w = Ln(z).

Примеры

13. Найти все значения логарифмов следующих чисел:

1; −1; e ; 1 + i ; 2i ; − i ; cos(ϕ)+ isin(ϕ), − π< ϕ≤ π;					1		(1 + i);	1 + i	.
					i
14. Решить уравнения:								1 −i
		z +1
1) ln(z + i)=1;	2) ln(i − z)					=1;
		= 0 ; 3) ln
4) ch(z)=i ;	5) sin(z)= πi .	i

15. Найти образы плоскости с разрезом вдоль отрицательной части действительной оси при отображениях ветвями логарифмической функции w = Ln(z)такими, что:

а) точка z0 =1 переходит в точку w0 = 4πi ; b) точка z0 = −i переходит в точку w0 = 32πi ;

с) точка z0 =i переходит в точку w0 = − 72πi .

Решение: а) полоса Dk , являющаяся образом плоскости с разрезом вдоль отрицательной части действительной оси, определяется ветвью

19

Lnk (z) логарифмической функции, которую найдем из условия

Lnk (1)= 4πi . Имеем:

Lnk (z)= ln(z )+ i arg(z)+ 2kπi , k Z .

Положив в этом равенстве z =1, получим 4πi = 2kπi , т.е. k = 2 . Отсюда условием Lnk (1)= 4πi определяется ветвь Ln2 (z)= ln(z)+ 4πi , кото-

рая согласно формуле (5) указанную область отображает на полосу:

D2 ={w,3π < Im(w)<5π}.

Пункты b) и с) рассмотреть самостоятельно.

16. Найти образ области D при отображении ветвью логарифмической функции w = Ln(z), которая определяется ее значением w0 в данной

точке

z0 (при выборе ветви логарифмической функции

комплексную

плоскость разрезать по отрицательной части действительной оси):

a) D ={z,2 <

z

< 4, z [− 4,−2]}, z0 =1, w0 = −2πi ;

b) D =

z

<1,0

< arg(z)<

π

,

z0

=1, w0 = 2πi ;

z,

3

= πi ;

c)

D ={z,

z

<3,0 < arg(z)< π},

z

0

=i , w

0

2

π

< arg(z)<

π

5πi

d) D =

z,−

,

z0

= i , w0 =

.

6

3

2

Решение: b) ветвь, определяемая условием Ln(1)= 2πi , имеет вид

Ln1(z)= ln(

z

)+ i arg(z)+ 2πi .

При этом отображении образом отрезка arg(z)= 0 , 0 <

z

<1, являет-

ся луч v = 2π, − ∞ < u < 0 , а образом отрезка

arg(z)=

π , 0 <

z

<1, является

v =

7π

− ∞ < u < 0 .

3

z

также

луч

,

Образом

дуги

окружности

=1,

0 < arg(z)< π

3

7π

, является отрезок u =

0 , 2π < v <

. По принципу соответст-

3

D

3

− ∞ < u < 0 ,

вия

границ

образом

области

является

полуполоса

2π < v <

7π

.

3

Пункты а), с), d) рассмотреть самостоятельно.

Определение 5. Функция w = zn ,

n = 2,3,..., называется целой степен-

ной.

Она определена и однозначна на всей комплексной плоскости. Ее

производная w'= nzn−1 существует во всех точках плоскости, поэтому

функция w = zn аналитична во всей комплексной плоскости. Очевидно, производная w' обращается в нуль лишь в точке z = 0 . Таким образом,

отображение w = zn конформно в каждой точке комплексной плоскости,

20