алгебра 2 семестр
.pdfСОДЕРЖАНИЕ
7 Линейные пространства |
3 |
7.1 Понятие линейного пространства . . . . . . . . . . . . . . . |
3 |
7.2Базис линейного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . 5
7.3Изоморфизм линейных пространств . . . . . . . . . . . . . 9
7.4Переход от одного базиса к другому. Матрица перехода . . 13
7.5Линейные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
8 Линейные операторы в линейном пространстве |
24 |
8.1Пространство и алгебра линейных операторов . . . . . . . 24
8.2Матрица линейного оператора в конечномерном линейном
пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
8.3Ранг и дефект линейного оператора . . . . . . . . . . . . . 34
8.4Обратимость линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . 37
8.5Характеристический многочлен матрицы и линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8.6Собственные векторы и собственные значения линейного
|
оператора и матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
42 |
9 Евклидовы (унитарные) пространства |
51 |
|
9.1 |
Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
51 |
9.2 |
Длина вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
54 |
9.3Ортогонализация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
9.4Изоморфизм евклидовых (унитарных) пространств . . . . 62
1
2 |
СОДЕРЖАНИЕ |
|
10 Линейные операторы в евклидовом (унитарном) про- |
|
|
странстве |
65 |
|
10.1 |
Сопряженное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
65 |
10.2 |
Линейные формы в евклидовом (унитарном) пространстве |
67 |
10.3Сопряженный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
10.4Нормальные операторы и матрицы . . . . . . . . . . . . . . 75
10.5Ортогональные (унитарные) матрицы . . . . . . . . . . . . 78
10.6Ортогональные (унитарные) линейные операторы . . . . . 81
10.7Самосопряженные матрицы и линейные операторы . . . . 85
11 Квадратичные формы |
89 |
11.1 Многочлены от n неизвестных . . . . . . . . . . . . . . . . |
89 |
11.2Линейные преобразования неизвестных . . . . . . . . . . . 90
11.3Квадратичная форма, ее матрица и ранг . . . . . . . . . . 93
11.4Влияние линейного преобразования на квадратичную форму 96
11.5Приведение квадратичной формы к каноническому виду . 97
11.6 |
Действительные квадратичные формы . . . . . . . . . . . |
102 |
11.7 |
Классификация типов квадратичных форм . . . . . . . . . |
108 |
Глава 7
Линейные пространства
7.1Понятие линейного пространства
Определение 7.1.1. Пусть k и V два произвольных множества. Говорят, что на множестве V определена внешняя алгебраическая операция со множеством мультипликаторов k, если задано отображение декартового произведения k V ! V . При этом отображении, образ упорядо- ченный пары ( ; a), где 2 k; a 2 V называется произведением на a
и обозначается a.
Замечание 7.1.1. Алгебраические операции, изучаемые ранее на множестве V , называются внутренними алгебраическими операциями. В каче- стве множества k чаще всего будет выступать поле, которое будем называть основным. Элементы поля k будем обозначать ; ; ; 1; 2; : : :
Определение 7.1.2. Линейным (векторным) пространством над полем k называется множество V , рассмотренное вместе с определенной на нем внутренней алгебраической операцией сложения и внешней алгебраиче- ской операцией умножения на скаляры поля k, удовлетворяемыми следующим семи аксиомам.
1.a + b = b + a;
2.a + (b + c) = (a + b) + c;
3
4 |
Глава 7. Линейные пространства |
3. |
(8 a; b 2 V ) (9 x 2 V ) b + x = a; |
4. |
(a + b) = a + b; |
5. |
( + )a = a + a; |
6. |
( )a = ( a) = ( a); |
7. |
1 a = a, |
ãäå a; b; c; x 2 V ; ; ; 1 2 k.
Замечание 7.1.2. Множество V часто называют базисным множеством линейного пространства. Его элементы будем обозначать a; b; c; a1; a2; : : :
и называть векторами.
|
Свойства линейных пространств |
1. |
(8 a 2 V ) (9 0 2 V ) a + 0 = a; |
2. |
(8 a 2 V ) (9 ( a) 2 V ) a + ( a) = 0; |
3. |
(8 a; b 2 V ) (9 (a b) 2 V ) a b = a + ( b); |
4.a = 0 , = 0 èëè a = 0;
5.( a) = ( )a = a;
6.(a b) = a b;
7.( )a = a a.
Доказательство. Аксиомы 1 3 линейного пространства указывают на то, что (V; +) образует аддитивную группу, поэтому справедливы свойства 1) 3).
4) Необходимость.
Имеем a = ( + 0)a = a + 0a ) 0a = a a = 0. Получаем, что
0a = 0.
7.2. Базис линейного пространства |
5 |
Имеем a = (a + 0) = a + 0 ) 0 = a a = 0. Получаем, что
0 = 0.
Достаточность.
Пусть a = 0. Если = 0, то все доказано. Если 6= 0 то будет существовать 1 2 k. Тогда a = 1 a = ( 1 )a = 1( a) = 1 0 = 0.
5)Расмотрим a + ( a) = (a + ( a)) = 0 = 0 ) ( a) = a. Далее, a + ( )a = ( + ( ))a = 0 a = 0 ) ( )a = a.
6)Имеем, (a b) = (a + ( b)) = a + ( b) = a b.
7) Подсчитаем ( )a = ( + ( ))a = a + ( )a = a a.
Примеры линейных пространств:
1.V = f0g нулевое линейное пространство (тривиальное).
2.V = kn = f( 1; : : : ; n)j i 2 kg координатное линейное пространство над полем k.
3.V = M(m n; k) матрицы размерности m n с элементами из k.
4.V = L множество решений однородной системы линейных уравнений.
5.V = k[x] множество многочленов от одного неизвестного с коэффициентами из k.
6.V = ff(x) 2 k[x] jdeg f 6 ng.
7.2Конечномерные и бесконечномерные линейные пространства. Базис линейного пространства
Легко заметить, что основные понятия и факты, определенные в координатном линейном пространстве переносятся на абстрактные линейные пространства. Связано это с тем, что эти понятия и факты использовали
6 |
Глава 7. Линейные пространства |
только свойства операций над векторами, но не использовали природу самих векторов. А как видно из определения 7.1.2, операции в абстрактном линейном пространстве обладают теми же самыми свойствами, что и операции в координатном линейном пространстве. Поэтому, в абстрактных линейных пространствах можно говорить о линейной комбинации векторов, о линейно зависимых и линейно не зависимых системах векторов, о критерии и свойствах линейной зависимости, об основной теореме о линейной зависимости, о линейном выражении одной системы векторов через другую, об эквивалентных системах векторов, о базисе и ранге системы векторов. Но есть и отличия.
Пример: V = k[x]. Рассмотрим следующую систему векторов:
1; x; x2; : : : ; xn 2 V . Эта система векторов является линейно не зависи-
мой. Действительно,
0 1 + 1x + 2x2 + : : : + nxn = 0 , 0 = 1 = 2 = : : : = n = 0;
а это и означает, что 1; x; x2; : : : ; xn является линейно не зависимой системой векторов. Совершенно ясно, что n можно брать любым и как угодно большим. Поэтому в пространстве V существуют линейно не зависимые системы векторов с каким угодно большим числом этих векторов.
Определение 7.2.1. Линейное пространство V называется конечномерным, если существует натуральное число N такое, что число линейно не зависимых векторов в любой системе пространства V не превосходит N. В противном случае, линейное пространство V называется бесконечномерным.
Пример:
1.V = kn конечномерное линейное пространство.
2.V = k[x] бесконечномерное линейное пространство.
7.2. Базис линейного пространства |
7 |
В конечномерных линейных пространствах можно говорить о базисе как конечной, так и бесконечной системы векторов. В частности, можно говорить о базисе всего конечномерного линейного пространства V .
Определение 7.2.2. Базисом ненулевого конечномерного пространства V называется упорядоченная линейно не зависимая подсистема векторов
B = fe1; e2; : : : ; eng, удовлетворяя любому из следующих равносильных условий:
1.любой вектор a 2 V линейно выражается через подсистему B;
2.8 a 2 V подсистема (B; a) является линейно зависимой;
3.в пространстве V не существует линейно не зависимых подсистем с числом векторов большим, чем в B.
Определение 7.2.3. Размерностью нулевого линейного пространства считается число 0. Размерностью ненулевого конечномерного линейного пространства V называется число векторов в любом базисе этого пространства или максимальное число линейно не зависимых векторов этого пространства V .
Размерность конечномерного линейного пространства V будем обозначать dim V или rang V .
Пример:
1.dim f0g = 0;
2.dim kn = n;
3.dim M(m n; k) = mn;
4.dim L = n r;
5.dim ff(x) 2 k[x]jdeg f(x) 6 ng = n + 1.
8 |
Глава 7. |
Линейные пространства |
Пусть V |
конечномерное линейное пространства и e1; e2; : : : ; en åãî |
|
базис. Тогда любой вектор a 2 V можно выразить чрез этот базис |
||
|
a = 1e1 + 2e2 + : : : + nen: |
(7.1) |
Так как базис является линейно не зависимой системой векторов, то это выражение (7.1) для вектора a единственно. Таким образом, каждому вектору a 2 V ставится в соответствие упорядоченная система
( 1; 2; : : : ; n) относительно базиса e1; e2; : : : ; en.
Определение 7.2.4. Координатами (компонентами) вектора a 2 V относительно заданного базиса e1; e2; : : : ; en линейного пространства V называется упорядоченная совокупность коэффициентов линейного выражения вектора a через этот базис.
Пишут, вектор a = ( 1; 2; : : : ; n).
Определение 7.2.5. Координатным столбцом вектора a относительно заданного базиса e1; e2; : : : ; en называется столбец, составленный из координат вектора a относительно этого базиса.
0 1
1
BC
B2 C
BC
Обозначим a = |
. |
BC
B: : : C
@ A
n
Определение 7.2.6. Сопоставление вектору a 2 V его координатного столбца относительно заданного базиса пространства V называется стандартным отображением линейного пространства V размерности n в координатное линейное пространство kn.
Ясно, что каждый базис e1; e2; : : : ; en определяет свое стандартное отображение V ! kn.
7.3. Изоморфизм линейных пространств |
9 |
Предложение 7.2.1. Координатный столбец суммы двух векторов равен сумме координатных столбцов слагаемых векторов. Координатный столбец произведения вектора на скаляр, равен координатному столб-
цу этого вектора, умноженному на этот скаляр. |
|
|
Это предложение 7.2.1 означает, что |
|
|
|
a + b = a + b è a = a. |
|
Дадим другую форму записи (7.1). Ясно, что aT = ( 1; 2; : : : ; n)
матрица размерности 1 n. Возьмем базисный столбец пространства V
0 e1 |
1 |
матрица размерности n 1. Тогда |
e~ = B e2 |
C |
|
B |
C |
|
B |
C |
|
BC
B: : : C
@ A
en
aT e~ = 1e1 + 2e2 + : : : + nen = a:
Таким образом, a = aT e~ матричная запись равенства (7.1).
7.3Изоморфизм линейных пространств
Пусть V и V 0 два линейных пространства над одним и тем же основным полем k.
Определение 7.3.1. Изоморфизмом линейного пространства V на линейное пространство V 0 над одним и тем же основным полем k называет- ся всякая биекция f : V ! V 0, удовлетворяющая условиям линейности:
1. (8 a; b 2 V ) f(a + b) = f(a) + f(b); 2. (8 2 k; a 2 V ) f( a) = f(a).
Условие 1 означает, что отображение f является изоморфизмом аддитивной группы (V; +) в аддитивную группу (V 0; +).
Определение 7.3.2. Линейное пространство V называется изоморф-
ным линейному пространству V 0 (V V 0), если существует хотя бы
=
один изоморфизм f : V ! V 0.
10 |
Глава 7. Линейные пространства |
Предложение 7.3.1. Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на классе линейных пространств над одним и тем же основным полем k.
Это предложение 7.3.1 означает, что для отношения изоморфности справедливы следующие утверждения
1.V V , то есть выполняется свойство рефлексивности;
=
2.åñëè V V 0, òî V 0 V (симметричность);
==
3.åñëè V 00 V 0 è V 0 V , òî V 00 V (транзитивность).
== =
ТЕОРЕМА 7.3.1 (о свойствах изоморфных линейных пространств) .
Справедливы следующие утверждения:
1.при изоморфизме линейно зависимой системы векторов переходят в линейно зависимые, а линейно не зависимые системы векторов переходят в линейно не зависимые;
2.изоморфные линейные пространства одновременно либо конечномерные, либо бесконечномерные;
3.при изоморфизме базис системы векторов переходит в базис, ранг системы векторов при изоморфизме не изменяется.
Доказательство. 1) Пусть f : V ! V 0 является изоморфизмом. Возь-
мем линейно зависимую систему векторов a1; a2; : : : ; as из V . Это озна- чает, что существуют скаляры 1; 2; : : : ; s не все равные нулю такие, ÷òî 1a1 + 2a2 + : : : + sas = 0. Перейдем к образам этих векторов f( 1a1 + 2a2 + : : : + sas) = f(0). Так как f изоморфизм, то1f(a1) + 2f(a2) + : : : + sf(as) = 0, здесь не все i = 0. Последнее соотношение указывает на то, что векторы f(a1); f(a2); : : : ; f(as) являются линейно зависимыми в V 0.