- •СТАТИСТИКА.
- •Общие сведения о математическом моделировании
- •Моделирование рядов распределения
- •Моделирование рядов распределения
- •Моделирование рядов распределения
- •Расчет теоретических частот нормального
- •Расчет теоретических частот нормального распределения
- •Расчет теоретических частот нормального
- •Методы расчета значений теоретической
- •Методы расчета значений теоретической нормированной функции (t)
- •Критерий согласия Пирсона
- •Критерий согласия Пирсона
- •Критерий согласия Пирсона
- •Критерий согласия Пирсона
- •Критерий согласия Колмогорова
- •Критерий согласия Романовского
СТАТИСТИКА.
Аналитическая статистика.
Лекция 1. Теоретические распределения в анализе вариационных рядов.
Авторы: Равичев Л.В., Ломакина И.А. Кафедра менеджмента и маркетинга РХТУ им. Д.И.Менделеева.
Москва - 2006
Общие сведения о математическом моделировании
Различают два вида зависимостей между явлениями и процес- сами: функциональную и стохастическую (вероятностную, статистическую).
W
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Процесс, |
|
Y |
||
X |
||||||
|
|
явление. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U
2
Моделирование рядов распределения
Если имеется эмпирический ряд распределения, то необходимо найти функцию распределения, т.е. подобрать такую теоретическую кривую распределения, которая наиболее полно отображала бы закономер- ность распределения. Нахождение функции кривой распределения на- зывается моделированием эмпирического ряда распределения.
Для аппроксимации (выравнивания) эмпирических кривых распреде- ления и сопоставления их с теоретическими в статистике часто ис- пользуются нормальное распределение:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
e |
t 2 |
|
||||
|
(t ) |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где (t) – ордината кривой нормального распределения; t = (x- x )/ - стандартное отклонение; x – варианты ряда; x – средняя величина вариант; - стандарт.
3
Моделирование рядов распределения
Основные свойства кривой нормального распределения:
(t) - функция нормального распределения – четная, т.е. (-t) = (+t) ;
функция имеет бесконечно малые значения при t = ;
функция имеет максимум при t = 0;
при t = 1 функция имеет точки перегиба;
функция имеет бесконечно малые значения при t = .
Встатистике часто используют функцию плотности распределения:
|
|
|
|
P(x) |
=0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
( X X )2 |
=1,0 |
P( x ) |
e |
2 2 |
|
||
|
|
||||
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
=2,0 |
|
|
|
|
|
x |
x |
4
Моделирование рядов распределения
Связь между теоретической нормированной функцией нормального распределения и теоретической денормированной функцией нормального распределения для интервального вариационного ряда определяется соот- ношением:
т(ti ) A (ti )
где А – коэффициент нормировки, который для распределения с равными интервалами x=k рассчитывается с помощью соотношения:
n
k fi
A i 1
fi - частота i-го интервала ряда.
5
Расчет теоретических частот нормального |
||||||||||||||
|
|
распределения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример. В приведенной таблице показано распределение ткачих по степени |
||||||||||||||
выполнения норм выработки. Исходя из предположения о нормальном законе |
||||||||||||||
распределения определить теоретические частоты. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1. Находим среднее значение выполнения |
|||||||||||
Группы |
|
|
норм по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ткачих по |
Число |
Середина |
x |
f x |
|
f |
|
... x |
|
f |
|
|||
степени |
|
|
|
|
||||||||||
выполнения |
ткачих |
интервала |
x 1 |
1 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
n |
|
n |
норм, % |
f |
х’ |
|
f1 f2 |
... fn |
|
|
|
||||||
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
До 100 |
2 |
95 |
Среднее значение выполнения норм x =124,20%, |
|||||||||||
100-110 |
15 |
105 |
2. Находим взвешенное квадратическое |
|
||||||||||
110-120 |
20 |
115 |
|
|||||||||||
120-130 |
32 |
125 |
отклонение (стандарт) по формуле: |
|
|
|
||||||||
130-140 |
18 |
135 |
|
|
n |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
140-150 |
9 |
145 |
|
|
(xi |
x) |
fi |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Свыше 150 |
4 |
155 |
|
|
|
|
|
|
||||||
i 1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||
Итого |
100 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стандарт = 13,69%. |
|
|
|
|
|
|
|
|
6
Расчет теоретических частот нормального распределения
3. |
Находим значения параметра t. |
|
n |
|
|
|
4. |
Находим значения параметра t2. |
A |
k fi |
10 100 |
73,046 |
|
5. |
Находим значения теоретической |
i 1 |
||||
|
||||||
|
13,69 |
|
6.Находим значение коэффициента А.
7.Находим теоретические частоты m(t) и fm.
Группы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ткачих по |
Число |
Середина |
|
|
|
|
Теоретические частоты |
||
степени |
|
|
|
|
|||||
ткачих |
интервала |
t=(x’-x)/ |
t2 |
|
|
|
|||
выполнения |
|
|
|
||||||
f |
x’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
норм, % |
|
|
|
|
(t) |
m(t) |
fm |
||
|
|
|
|
|
|
||||
х |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
До 100 |
2 |
95 |
-2,133 |
4,551 |
0,04099 |
2,99 |
3 |
||
100-110 |
15 |
105 |
-1,403 |
1,968 |
0,14916 |
10,90 |
11 |
||
110-120 |
20 |
115 |
-0,672 |
0,452 |
0,31828 |
23,25 |
23 |
||
120-130 |
32 |
125 |
0,058 |
0,003 |
0,39826 |
29,10 |
29 |
||
130-140 |
18 |
135 |
0,789 |
0,623 |
0,29223 |
21,35 |
21 |
||
140-150 |
9 |
145 |
1,520 |
2,309 |
0,12574 |
9,19 |
9 |
||
Свыше 150 |
4 |
155 |
2,250 |
5,063 |
0,03173 |
2,32 |
2 |
||
Итого |
100 |
- |
- |
|
|
- |
- |
99,10 |
99 |
7
Расчет теоретических частот нормального |
||||||||
|
|
|
|
распределения |
|
|||
|
|
Эмпирическое и теоретическое распределение ткачих по |
||||||
|
|
|
|
степени выполнения норм |
|
|||
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
Эмпирическая |
ткачих |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кривая |
||
20 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Теоретическая |
||
Число |
15 |
|
|
|
|
|
|
кривая |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
90 |
100 |
110 |
120 |
130 |
140 |
150 |
160 |
|
|
|
Выполнение норм, % |
|
|
8
Методы расчета значений теоретической |
|||||||
|
нормированной функции (t) |
|
|
||||
1. С помощью таблицы значений нормированной функции: |
|
|
|||||
Целые и |
|
|
Сотые доли t |
|
|
|
|
десятые |
|
|
|
|
|
||
0 |
1 |
2 |
3 |
|
8 |
9 |
|
доли t |
|
||||||
|
|||||||
0,0 |
0,3989 |
0,3989 |
0,3989 |
0,3988 |
|
0,3977 |
0,3973 |
0,1 |
0,3970 |
0,3965 |
0,3961 |
0,3956 |
|
0,3925 |
0,3918 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2,1 |
0,0440 |
0,0431 |
0,0422 |
0,0413 |
|
0,0371 |
0,0363 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5,0 |
0,0000015 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
Расчет значений t может быть произведен с помощью стандартной функ- |
|||||||
ции Excel НОРМАЛИЗАЦИЯ. |
|
|
|
|
|
||
НОРМАЛИЗАЦИЯ(Х’;X; ) |
|
|
|
|
|
||
НОРМАЛИЗАЦИЯ(95;124,20;13,69) |
|
-2,133263057 |
|
9
Методы расчета значений теоретической нормированной функции (t)
.
льную функцию рас- плотности распре-
функции (t) не-
НОРМРАСП на .
НОРМРАСП(95;124,20;13,69;0)* 13,69 0,041021332
10