Лекции № 4 - 5
1. Предмет теории вероятностей
1.1 Краткие исторические сведения
1.2 Наблюдение, испытание и событие.
1.3 Различные определения вероятности
1.3.1 Примеры решения задач
1.3.2 Упражнения
2. Операции над событиями
2.1 Упражнения
2.2 Упражнения
3. Свойства вероятности
3.1 Вероятность несовместных событий
3.2 Вероятность совместных событий
3.3 Вероятность противоположных событий
3.4 Упражнение
4. Условные вероятности. Независимые и зависимые события
4.1 Упражнение
4.2 Вычисление условной вероятности
4.3 Вероятность зависимых событий
4.4 Упражнение
4.5 Вероятность независимых событий
4.6 Упражнения
4.7 Формула полной вероятности
4.8 Упражнения
4.9 Формула Байеса (теорема гипотез)
4.10 Формула Бернулли
4.11 Упражнения
Предмет теории вероятностей
Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.
Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.
При исследовании случайных явлений в самых разных областях (природа, техника, общество) можно выделить некоторые детерминированные законы, действующие с однозначной определенностью, но кроме них всегда присутствуют и элементы неопределенности, обусловленные совокупностью случайных факторов.
Например, рассмотрим бросание вверх монеты, падающей на твердую горизонтальную поверхность. Что будет всегда? Во-первых, монета всегда, в конце концов, падает вниз, как бы высоко мы ее не забросили (если, конечно, ее не схватит пролетающая птица, и мы не попадем ей в кабину низко летящего самолета). Во-вторых, она всегда ложится плашмя, а не становится на ребро. А вот какая из ее сторон, орел или решка, будет смотреть вверх, однозначно предсказать не возможно.
Предметом теории вероятностей, как раз и являются, специфические закономерности в случайных явлениях.
Практика показывает, что наблюдая в совокупности массы однородных случайных явлений, можно обнаружить в них вполне определенные закономерности, некоторые устойчивости, свойственные именно массовым случайным явлениям.
В случае с бросанием монеты при многократном повторении этого действия, частота появлений орла и решки постепенно стабилизируется и стремится к ½. Такое же свойство «устойчивости частот» проявляется и при многократном повторении любого другого опыта, исход которого представляется заранее неопределенным, случайным. (Бросание игральной кости, стрельба по мишени.) Так же в природе и обществе.
Подобные специфические, так называемые статистические, закономерности наблюдаются всегда, когда мы имеем дело с массой однородных случайных явлений. Закономерности, проявляющиеся в этой массе, оказываются практически независимыми от индивидуальных особенностей отдельных случайных явлений, входящих в эту массу. Эти отдельные особенности в массе как бы взаимно погашаются, нивелируются, и средний результат массы случайных явлений оказывается практически уже не случайным. Именно эта многократно подтвержденная опытом устойчивость массовых случайных явлений и служит базой для применения вероятностных (статистических) методов исследования.
Методы теории вероятности по природе приспособлены только для исследования массовых случайных явлений; они не дают возможность предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений, предсказать средний исход массы аналогичных опытов, конкретный исход каждого из которых остается неопределенным, случайным.