Элементы теории

множеств

“ Множество есть многое ,

Георг Кантор

1845-1918мыслимое нами как единое ”

Георг Кантор

Четкие и нечеткие множества

Множества, включающие только такие объекты, принадлежность или не принадлежность которых к тому

или иному множеству не вызывает сомнения, называются четкими множествами. Поскольку каждый

рассматриваемый объект либо принадлежит, либо не принадлежит к рассматриваемому четкому множеству, эти множества всегда имеют ясно очерченные границы.

Четким множествам противопоставлены нечеткие или

«лингвистические» множества, включающие такие объекты, которые могут быть отнесены к тому или иному множеству лишь с определенной степенью достоверности. Понятие нечетких множеств (fuzzy sets)

было впервые введено в 1965 году американским математиком Л. Заде.

Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными множествами.

Примеры конечных множеств

Множество	Множество	Множество русских
студентов	преподавателей	гласных букв
К числу конечных множеств относится также и			пустое
множество, т.е. множество, не содержащее ни			одного

элемента. Пустое множество обозначают знаком Ø. Например: Множество отличников в какой-либо из

групп может оказаться пустым

Примеры бесконечных множеств

В качестве примеров бесконечных множеств можно привести множества, рассматриваемые в математике: множество всех натуральных чисел (N) и множество всех целых чисел (Z).

N

Z

Способы задания множеств

Перечисление – дается полный перечень элементов множества.

Примеры:

1.Множество букв русского алфавита А={а, б, …, я}.

2.Множество делителей числа 12

D = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.

Ясно, что перечисление можно использовать только для задания конечных множеств.

Способы задания множеств

Описание – задается свойство, которому удовлетворяют все элементы множества.

Свойство, определяющее множество,

называется характеристическим. Примеры:

1.Множество всех студентов – отличников.

Характеристическое свойство: все, предусмотренные учебным планом, формы контроля пройдены только с отличными оценками.

2.Множество четных чисел.

Характеристическое свойство: число делится на 2 без остатка.

Принятые обозначения

Обычно множества обозначают заглавными латинскими буквами, а их элементы строчными латинскими буквами.

При описании множеств используются различные символы, операции. Если A есть некоторое множество, а x - входящий в него объект, то символическая запись x A означает, что x является элементом множества A; при этом говорят: «x входит в А», «x принадлежит А». Если x не принадлежит множеству А, то пишут x А.

Пример: Пусть, например, А есть множество букв русского алфавита, тогда, обозначив букву “д” как элемент х, а букву “d” как элемент y, можно записать х A, y А.

множествами

Чтобы наглядно изображать множества и отношения между ними, английский математик Дж. Венн предложил использовать замкнутые фигуры на плоскости.

Леонард Эйлер 1707 - 1783

Джон Венн 1834 - 1923

Намного раньше Леонард Эйлер для этих целей использовал круги, при этом точки внутри круга считались элементами множества.

Такие изображения называют диаграммами Эйлера - Венна.

Отношения между

множествами

Возможны пять вариантов отношения двух множеств

A B A B

Вариант 1

Вариант 2

A B	A	B	A, B

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

	A	B	множествами				A, B
			A B	A	B	A B
	Вариант 1		Вариант 2	Вариант 3 Вариант 4 Вариант 5
	Упражнение: Ответьте, какому из вариантов
	соответствуют отношения множеств, описанных ниже.
	1. А - множество успевающих студентов;						A	B
		В - множество участников художественной
	самодеятельности.
	2. А - множество студентов-юношей;						A	B
	В - множество студенток.
	3. А - множество отличников учебной группы;
	В - множество всех студентов этой группы.						A	B
	4. Какое соотношение между множеством
	успевающих		студентов			юридического
	факультета (А) и множеством всех студентов
	того же факультета (В) является мечтой						А, В
	деканата этого факультета.