Элементарная теория следящей сау

Для того чтобы показать, как работают совместно рассмотренные выше типовые узлы, и облегчить изложение действия узлов с различными внутренними обратными связями, в настоящем параграфе рассматривается простейший вариант линейной непрерывной следящей САУ, имеющей только одну главную обратную связь (с пропорциональным регулированием).

Рис. 1.

Простейшая следящая САУ представлена на рис. 1. Она состоит из потенциометрического измерительного элемента, включающего задающий и приемный потенциометры ЗП и ПП, знакочувствительного усилителя или преобразователя П и электродвигателя независимого возбуждения Д. Вал двигателя приводит в движение из показанный на рисунке управляемый объект и соединен непосредственно или через редуктор с осью приемного потенциометра.

Если углы θ_вх и θ_вых равны нулю, то u_δ = u_д =0 и двигатель неподвижен. Если теперь переместить ползушку задающего потенциометра ЗП от его нулевого положения на угол θ_вх, то на выходе измерительного элемента появится напряжение, пропорциональное разности между входным и выходным углами или ошибке δ [см.(1)]. Следовательно, измерительный элемент преобразует ошибку в пропорциональное ей по величине напряжение u_δ:

u_δ = К₁δ (1)

Напряжение u_δ управляет знакочувствительным преобразователем, обеспечивающим напряжение определенной полярности на якоре двигателя u_д, пропорциональное напряжению u_δ. Этот преобразователь конструктивно может быть любым из описанных в главе 2 и 7, в том числе электронным, полупроводниковым, электромашинным или магнитным. Принято, что он имеет постоянный коэффициент усиления по напряжению К₂ и считается нами безынерционным. Тогда с учетом (1)

u_д = К₂ u_δ = К₁К₂δ. (2)

Уравнение движения

(3)

Момент двигателя без учета электромагнитной инерции якорной цепи

(4)

Здесь b = ∆M/∆Ω— коэффициент жесткости механической характеристики

двигателя;

М_к и I_к — момент и ток короткого замыкания двигателя;

r_я — сопротивление якорной цепи;

С_м — коэффициент.

Подстановка из (4) и (2) в (3) дает:

(5)

Получаем линейное дифференциальное уравнение, связывающее входной угол θ_вх и ошибку δ,

(6)

Здесь

В уравнении (6) для большей общности коэффи­циент Ь заменен коэффициентом F. Последний при на­личии в системе вязкого трения является суммой коэф­фициентов жесткости механической характеристики дви­гателя b и вязкого трения F₁, пропорционального скоро­сти вращения выходной оси,

(7)

Если можно пренебречь статическим моментом М_с и принять, что имеет место режим «постоянной заводки» θ_вх = Ω_уt∙l(t), где Ω_у =const, то (6) превращается в дифференциальное уравнение ошибки

(8)

Ошибку в настоящей линейной системе можно рас­сматривать как сумму установившейся и свободной составляющих

(9)

Установившаяся ошибка получается из (8) при производных, равных нулю,

(10)

Свободная ошибка может быть найдена при решении (8) с правой частью, равной нулю,

(11)

Характеристическое уравнение

(12)

Корни этого уравнения

(13)

Решение уравнения (8):

(14)

Проведем небольшое исследование (14).

1. Предположим, что в системе отсутствует затухание.

При этом

Тогда

(15)

В этом случае в системе возникают незатухающие ко­лебания с максимальной ошибкой и собственной частотой колебании

Графики ошибки входного и выходного углов при­ведены на рис. 2а.

2. Пусть теперь коэффициент затухания F равен кри­тическому значению F_кp, «разделяющему» колебатель­ные и апериодические процессы.

Положим .При этом ω = 0,

и . (16)

В этом случае ошибка изменяется апериодически и при малейшем уменьшении F переходный процесс по­лучает колебательный характер. Увеличение затухания до критического приводит к большей ошибке в устано­вившемся режиме и более медленному протеканию пере­ходного процесса.

Графики ошибки входного и выходного углов для второго случая приведены на рис. 2,6.

3. Обычно коэффициент затухания F выбирается меньшим критического, поэтому переходные процессы при ступенчатом возмущении получаются колебательны­ми с амплитудой, уменьшающейся с течением времени. Характер переходного процесса в рассматриваемой системе для F < F_кp принципиально показан на рис. 9-9,в.

Если подать на вход системы ступенчатый сигнал θ_вх0 ∙ l(t), где θ_вх0 =const, и изменять коэффициент зату­хания, то переходные процессы можно представлять

Рис. 2.

кривыми δ/ θ_вх (Рис. 3). Здесь введен относительный коэффициент затухания . С уменьшени­ем ξ (начиная, например,

с ξ = 0,8) растет амплитуда колебаний, и ошибка системы медленнее входит в об­ласть заданной, например 5%-ной, точности. С увеличе­нием ξ переходный процесс становится апериодическим. Время достижения установившейся ошибки δ _уст при этом также затягивается. Следовательно, существует оптимальное затухание ξ ≈ 0,7, при котором время вхож­дения ошибки в область 5%-ных отклонений от устано­вившегося значения является минимальным. Отметим, что коэффициент затухания F является параметром, сильно влияющим на характер переходного процесса.

Если не пренебрегать моментом статического сопро­тивления и считать его моментом трения М_с = const, то для нахождения максимальной ошибки в неподвижном состоянии системы или так называемой статической ошибки можно воспользоваться (6), откуда

(17)

Отсюда следует, что статическая ошибка прямо про­порциональна моменту статического сопротивления М_с и обратно пропорциональна коэффициенту усиления K.

Рис. 3.

Из уравнения (6) можно получить также ошибку установившегося движения при прежнем М_с = const и установившейся скорости движения

Ω_у =const. Действи­тельно,

(18)

Здесь к статической ошибке добавилась так называемая скоростная (кинетическая) ошибка δ _ск

(19)

Скоростная ошибка пропорциональна коэффициенту затухания и скорости заводки и обратно пропорциональ­на коэффициенту усиления К. Увеличение ошибки в (18) в сравнении с (17) физически объясняется тем, что при установившемся движении возникает противо-э. д. с. двигателя, для преодоления которой и со­здания необходимого установившегося тока в якоре нуж­но повысить напряжение на двигателе u_д, а это согласно (2) приводит к возрастанию ошибки.