Министерство транспорта Российской Федерации

ВОЛЖСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Двойные и тройные интегралы

Контрольные задания для студентов – заочников

второго курса всех специальностей

Контрольная работа № 5

Н. Новгород

1999 г.

I ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ

I.I. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

I. Определение двойного интеграла

Пусть даны: 1) область Д на плоскости х, у;

2) функция двух переменных Z = f (х,у).

Выполним следующее вычисление:

1) разобьем область Д на произвольное число частей произвольных размеров и формы;

2) в каждой части выберем произвольную точку;

3) в каждой из этих точек вычислим значение данной функции;

4) умножим каждое их этих значений на площадь соответствующей части;

5) все такие произведения сложим.

Получившееся число называется ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММОЙ функции f (х,у) в области Д.

Он обозначается

2. Вычисление двойного интеграла

Пусть область Д. ограничена снизу графиком функции у=у₁(х), а сверху графиком функции у=у₂(х).

Для вычисления двойного интеграла

1) спроектируем область Д. на ось х;

Проекцией будет некоторый промежуток [а,в] на этой оси:

2) зафиксируем на промежутке [а,в] произвольную точку х и приведем через нее вертикальную прямую. Будем передвигаться по ней в направлении возрастания у: при этом f будет функцией Толькой одной переменной у.

Вычислим интеграл этой функции вдоль участка вертикальной прямой, расположенного в области Д.,

;

3) величина этого интеграла зависит от того, какое взято х, т.е. является функцией от х. Найдем ее интеграл по промежутку а ≤ х ≤ в. Можно доказать, что получившееся число равно искомому двойному интегралу

3. Моменты инерции пластинки

Пусть дана однородная материальная пластинка Д.. Поверхностную плоскость (массу, приходящуюся на единицу площади) обозначим ρ.

Найдем J₀ - момент инерции пластинки относительно начала координат:

1) разобьем пластинку Д. на какое-либо число n достаточно мелких частей произвольной формы. Их площади обозначим ∆ S_к (к=1,2,…, n);

2) найдем массы отдельных частей ρ · ∆S_к;

3) в каждой части выберем произвольную точку (х_к, у_к);

4) приближенно найдем момент инерции каждой части, считая ее массу сосредоточенной в точке (х_к, у_к)

;

5) момент инерции всей пластинки будет

;

6) это равенство тем точнее, чем мельче отдельные части. Следовательно, точное равенство получим, перейдя к пределу при стремлении размеров отдельных частей к нулю, а их числа к бесконечности

:

7) здесь под знаком предела стоит интегральная сумма функции в областиД.. Следовательно, сам предел есть интеграл этой функции по области Д.

.

Рассуждение, с помощью которого получена эта формула, типично. Сходным образом, как двойные интегралы, вычисляются и многие другие физические величины, связанные с пластинкой. В частности, так получаются формулы для моментов инерции относительно осей и для площади пластинки, приведенные ниже.

Моменты инерции пластинки Д. относительно начала координат J₀, оси абсцисс J_х, оси ординат J_у равны (поверхностная плотность ρ, как постоянная вынесена за знак интеграла)

; ;.