- •Волжская государственная академия водного транспорта
- •Признак Лейбница.
- •Оценка погрешности приближенного вычисления суммы знакочередующегося ряда.
- •1,2. Степенные ряды. Область сходимости функционального ряда.
- •Ряд Маклорена.
- •Основные разложения в ряд Маклорена.
- •Статистическое определение вероятности.
- •Сложение вероятностей.
- •Противоположные события.
- •Умножение вероятности.
- •2.2. Случайные величины. Закон распределения дискретной, случайной величины.
- •Математическое ожидание дискретной, случайной величины.
- •Устойчивость статистической средней.
- •Дисперсия и среднеквадратическое отклонение
- •Матожидание и дисперсия непрерывной
- •Вероятность попадания в заданный промежуток в случае нормального распределения.
- •Задание на контрольную работу Задание № 1
- •Задание №3
- •Задача №4
- •Литература
Волжская государственная академия водного транспорта
Кафедра высшей математики
Б.Н. Скрябин
Высшая математика
РЯДЫ. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Методические указания и контрольные задания
для студентов-заочников технических специальностей
Контрольная работа № 5
2004г
РЯДЫ.
Числовые ряды.
Сходимость числового ряда
Пусть дана бесконечная последовательность чисел:
u 1, u2 , u3 , u4 ......... uп ,.....
составим из них новую последовательность:
S1 = u1, S2 = u1 + u2, S3 = u1 + u2 + u3,
S4 = u1 + u2 + u3 + u4 ........,
Sп = u1 + u2 + u3 + u4 +.......+.uп.
Процесс ее составления обозначают выражением:
u1 + u2 + u3 + u4 +.......+. uп +...... = uп.
которое называется числовым рядом.
Числа u1 , u2 , u3 , u4 ,........... называются членами ряда.
п- ый член uп называются также общим членом ряда.
Числа S1, S2, S3, S4 ,........ Sп,.......называются частичными суммами ряда.
Ряд называется сходящимся, если последовательность частичных сумм имеет конечный предел: Sп = S.
Этот предел называется суммой ряда.
Запись: u1 + u2 + u3 + .......+.uп + ... = S,
Означает, что ряд сходится и его сумма равна числу S.
Например, для ряда 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + ...последовательность частичных сумм.
S1 = 0,9 , S2 = 0,99, S3 = 0,999, S4 = 0,9999,.......
Имеет конечный предел Sп = 1, следовательно, ряд сходится и его сумма равна единице: 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 +.... = 1.
Если последовательность частичных сумм не имеет предела или он бесконечен, то говоря, что ряд расходится.
Необходимое условие сходимости ряда.
В этом и следующих пунктах приведен ряд теорем, позволяющих устанавливать сходимость или расходимость ряда, не вычисляя предела последовательности частичных сумм.
ТЕОРЕМА. (необходимое условие сходимости).
Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю (uп = 0).
Как следствие, получаем:
Если общий член не стремится к нулю, то ряд расходится.
Пример.Исследовать сходимость ряда (т.е. установить, сходится он или расходится)
2/1 + 3/2 + 4/3 + 5/4 + .....+ (п + 1)/п + ....
Решение:
= (1 + ) = 1 ≠ 0
ряд расходится.
Признак Даламбера.
Пусть u1+ u2+ u3+ .......+.uп+ uп +1.......
знакоположительный ряд (все его члены положительны).
ТЕОРЕМА (признак Даламбера сходимости ряда)
Если (uп +1/ uп) < 1 (> 1), то ряд сходится (расходится).
Пример.
Исследовать сходимость ряда: ½ + 2/4 + 3/8 + .....п/2п + (п + 1) /2п+1 +...
Решение: = = (+ ) = < 1
ряд сходится.
Гармонический ряд.
Ряд
1 + 1/2р + 1/3р + ..... + 1/пр +......
называемый гармоническим, сходится (расходится) если р> 1 (р ≤ 1).
Сравнение рядов.
Пусть даны два знакоположительных ряда. Предположим, что каждый член одного из них не превосходит соответствующего члена другого.
ТЕОРЕМА (признак сравнения):
Если сходится ряд с большими членами, то и ряд с меньшими членами сходится.
Если расходится ряд с меньшими членами, то и ряд с большими членами расходится.
Теорема позволяет исследовать сходимость некоторых рядов, «сравнивая» их с рядами, с сходимости или расходимости которых уже известно.
Пример.
Исследовать сходимость ряда .
Решение. Сравним данный ряд с гармоническим рядом , который сходится (р = 2 > 1): 1/ (1 + п2) <1 / п2 данный ряд сходится.