Волжская государственная академия водного транспорта
Кафедра математики
В.Н. Белых, Я.Н. Сенниковский
Основные понятия из линейной алгебры и дифференциального исчисления.
Методические указания для студентов заочного обучения
технических специальностей
Н. Новгород
1999
Настоящее пособие адресовано студентам всех специальностей заочного обучения. Оно призвано помочь им в освоении необходимого минимума теоретического материала и привить определенные навыки для решения задач контрольной работы № 1 и № 2. Подготовить к сдаче зачета и экзамена по темам: «Решение систем линейных уравнений», «Основы векторной алгебры и аналитической геометрии» и «основные понятия дифференциального исчисления». Изложены основные понятия приведены примеры решения задач и даны задания для выполнения контрольной работы № 1 и № 2.
Азбука…собрание в порядок…какой либо грамоты,…учебник грамоты, букварь: начальные основания какой- либо науки… Азбука наука, а ребятам бука (мука)…
В. Даль «Толковый словарь…» матричная азбука Основные определения и обозначения
Матрицей размерами "m на n" или коротко, (m x n) - матрицей называется таблица из m строк и n столбцов, элементами которой могут быть числа, буквы, вектора, матрицы, а также любые математические выражения, составленные из них. Изображают матрицу как обведенную круглыми скобками таблицу
а обозначают заглавными буквами латинского или русского алфавита - А, В, С, D и т.д. Элементы матриц, как видно из ее изображения, обозначают соответствующими малыми буквами аij, bij¸ … где i указывает номер строки, а j - номер столбца, в которых этот элемент находится.
Действия с матрицами
1. Матрица размерами "n на m" называется транспонированной по отношению к данной (m x n) – матрице если каждая е строка является соответствующим столбцом данной. Обозначают такие «взаимно транспонированные» матрицы одной и той же буквой, добавляя к одной из них верхний индекс «т», например: А и АТ, ВТ и В и т.д.
Примеры:
В
=
;
ВТ
= (2 1 0); С =
;
СТ
=
.
II. Суммой двух матриц одинаковых размерностей, например А и В, называется новая матрица С тех же размеров элементы которой
сij = аij + bij
III. Произведениемматрицы А на число λ называется матрица В элементы которой
bij = λ aij
Действия II. и III. Называют линейными действиями с матрицами, а выражения типа "αА + βВ" - линейными комбинациями матриц.
Пример
2 ·
+ 3 ·
=
IY. Произведением ( 1 х n ) - матрицы строки на ( n х 1 ) - матрицу столбец называется (1х1) - матрица единственный элемент которой
с
1 1 =
Пример
(1 -1 3) ·
= (2 – 5 – 6) = (-9).
Y. Произведением (m х n) - матрицы А на (n х p) - матрицу В называется (m х р) - матрица С Элементами которой является элементы (1 х 1) – матриц, образующихся при перемножении i – ой стройки А на j – ый столбец В. Таким образом
сij
=
Примеры 1)
· (10 -11) =
;
2)
·
=
;
3)
·
=
Особую
роль при перемножении играет так
называемая единичная (
) – матрица Е, элементы которой
Как и числовая единицы, эта матрица при умножении (если это допустимо) на любую другую не изменяет последнюю. Например
А
· Е =
·
=
= А