Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

А.Ю.Лоскутов - Проблемы нелинейной динамики. Подавление хаоса и управление динамическими системами

.pdf
Скачиваний:
25
Добавлен:
28.10.2013
Размер:
489.17 Кб
Скачать

Про л мы н лин йной ин мики. II. По л ни х ос и упр л ни ин мич скими сист м ми

А. .Лоскуто

Фи ич ский ф культ т Моско ско о осу рст нно о уни рсит т им.М.В.Ломоносо

ÓÄÊ 517.9; 519.2; 531 Опу лико н В стник МГУ, с р.фи .- стр., 2001, No3, c.3 21.

Аннот ция

Âòîð ÿ ÷ ñòü ð îòû1, пос ящ нной но йшим про л м м н лин йной ин м- ики, пр ст ля т со ой о ор н них р ульт то , относящихся к т ории упр -л ния н лин йными ( том числ х отич скими) ин мич скими сист м ми и по л нию х ос . Опис ны со р м нны по хо ы к ст или ции н устойчи о о по ния т рминиро нных сист м и н и ол при мл мы с прикл ной точкир ния м то ы ы о ин мич ских сист м н нный р им и ния.

Ñî ð íè

1

 íè

2

2

Сист мы с н шними о мущ ниями

4

 

2.1

Мультиплик ти но и ити но о мущ ния . . . . . . . . . . . . . . .

4

 

2.2

Î ùè ñ îéñò ï ðèî è÷ ñêè î ìóù ìûõ ñèñò ì . . . . . . . . . . . .

7

3

Упр л ни х отич скими ин мич скими сист м ми

9

3.1М то р он нсных о у ний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2Ì òî Ãð î è-Îòò -Éîðê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Ïî ë íè õ îñ

13

4.1Ï ð ì òðè÷ ñêî î ó íè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.2М то ы р он нсной и ысокоч стотной ст или ции . . . . . . . . . . . 17

5

По л ни х ос и ст или ция нных цикло

19

 

5.1

Кусочно-лин йно ото р ни и ото р ни с ип р олич ским ттр к-

 

 

 

тором . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

 

5.2

Ото р ния с критич скими точк ми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

6

Ç êëþ÷ íè

29

1Ï ð ÿ ÷ ñòü Ïðî ë ìû í ëèí éíîé èí ìèêè. I. Õ îñ. опу лико н урн л В стник МГУ, с р. Фи .- стр., 2001, No2, с.3 21.

1

1Â íè

В т ч ни ол о о р м ни пр ст л ни о х отич ских кол ниях ссоцииро лось с опущ ни м, что сист м н о хо имо о у ни по кр йн й м р чр ыч йноольшо о числ ст п н й с о о ы. т конц пция, по- и имому, сформиро л сь пойст и м понятий, сло и шихся ст тистич ской м х ник : и ни к ой от льной ч стицы принцип пр ск у мо, но по ни сист мы и оч нь ольшо о числ ч стиц чр ыч йно сло но, и поэтому т ли иро нно ин мич ско опис ни т ря т смысл. Отсю потр ность ст тистич ском опис нии. О н ко, к к пок ли мно очисл нны иссл о ния, ст тистич ски коны м ст с ними и ст тистич ско опис ни н о р нич ны только оч нь сло ными сист м ми с ольшим числом ст п - н й с о о ы. Д ло сь н сло ности иссл у мой сист мы и н н шних шум х,поя л нии при н которых н ч ниях п р м тро экспон нци льной н устойчи остии ния.

Р ити т ории ин мич ских сист м н сло мно о но о о поним ни происхо ния х отичности и при ло к ря у н йших открытий (см. о ор [1]). О осно ни эр о ич ской ипот ы Больцм н ля опр л нно о кл сс сист м [2, 3, 4], ок т льст о сохр н ния к ип рио ич ско о и ния при о мущ н-

ии инт риру мых сист м (т ор м Колмо оро -Арноль -Мо р ) [5, 6, 7], ни энтропии Колмо оро [8, 9, 10], по ко ы См йл [11, 12] и У-сист м Аносо [7, 13] стимулиро ло р ити но ых н пр л ний со р м нной м т м тики и м т м тич ской фи ики, отр ющих сю лу ину про л м, р ссм три мых т ории х отич ских кол ний (см. т к [14, 15, 16, 17]). Т ким о р ом, про л м пр ск у мости, п р он ч льно поя и шись ост точно сло ных сист м х (т ких к к и ро ин м- ич ски или сист мы ст тистич ской м х ники), ст л о щ й ля мно их н пр л ний со р м нной н уки.

В с я и с этим посл н р мя ст ло инт нси но р и ться но о н пр л ни н лин йной ин мик , пос ящ нно про л м м пр ск у мости по ния х отич ских сист м, упр л ния их ин микой и о мо ности по л ния х ос . Т ор тич ски и эксп рим нт льны р оты этой о л сти ыя или о но н о и нно и м ст с т мм ч т льно с ойст о х отич ских ин мич ских сист м: они я ляются сьм по-тли ыми и чр ыч йно чу ст ит льными к н шним о йст иям. По- и имому, им нно это о стоят льст о л ит осно проц ссо структуроо р о ния и ых тк нях. Р ити лю о о и о о ор ни м сть посл о т льность тономных к- то с моор ни ции. Бл о ря этому р и ющ яся структур х р кт ри у тсяо мо ностью п р йти о но и оч нь ольшо о числ опустимых р нопр ных состояний. Т м н м н , э олюционирующ я сист м с проя ля т только опр л - нную ( нную) ин мику. Упр л ни этим проц ссом мо т ыть осущ ст л но с помощью сл ых о йст ий, которы и лияют н ы ор то о или ино о конкр тно о состояния.

2

î ë ê ò
òð ó ìûé

Т ким о р ом, ыл о н ру н о мо ность óïð ëÿòü ин микой х отич ских сист м, т. . поср ст ом ост точно сл ых о йст ий п р о ить п р он ч льно х отич ски сист мы н ин мич ский р им и т м с мым ст или - иро ть их по ни . Бол то о, ыло пок но, что ля р спр л нных ср н шно йст и при н которых усло иях при о ит к ро нию сло ных простр нст нно протя нных структур с нными с ойст ми. Иссл о ния пок ли, что эти р -ульт ты им ют н поср ст нно отнош ни ко мно им о л стям ст ст нных н ук, поскольку н этом пути у тся н йти по хо ы к т ким ным и н сущным прило - ниям к к о р отк ( пись, ко иро ни и p сшифpо к ) информ ции [18, 19, 20], скрыт я п р сылк шифро нных соо щ ний [21, 22, 23, 24], про л м с мооp н- и ции и искусст нно со ни ко р нтных структур р спр л нных сист м х, о л ющих простр нст нно- р м нным х осом [25, 26, 27, 28], ст или ция сильно н упоpя оч нных сокр щ ний с р чной мышцы и фи рилляция [29, 30, 31, 32], ин н рия ин мич ских сист м [33], и ру их [34, 35] (см. т к о оры [36, 37]). Понятно, что р ш ни ч сти этих про л м, с о ной стороны, н чит льной ст п ни у лу ля т поним ни проц ссо и коном рност й, л щих осно по -ния с мых р ноо р ных н лин йных ин мич ских сист м и, с ру ой стороны, по оля т н чит льно про инуться р итии т ории н лин йных кол ний к к соср оточ нных т к и р спр л нных сист м.

По ст или ци й н устойчи о о или х отич ско о по ния о ычно по р ум-

тся искусст нно со ни и уч мой сист м устойчи ых (к к пр ило, п р- ио ич ских) кол ний поср ст ом н шних мультиплик ти ных или ити ныхо йст ий. Иными сло ми, ля ст или ции н о хо имо н йти т ки н шнио мущ ния, которы ы ли ы сист му и х отич ско о р им н р улярный. Прин шн й простот формулиро ки этой про л мы р ш ни ля ря ин мич ских сист м ок ы тся ост точно сло ной ч й. Бол то о, хотя н стоящр мя им тся ольшо число р от, пос ящ нных этому опросу (см., н прим р, [39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 61, 55, 56, 57, 58, 59, 60], цитиро нную т м лит р туру и о оры [50, 51, 36, 37, 63, 64]), р ить посл -о т льную т орию и ол или м н стро о о осно ть о мо ность ст или ции х отич ско о по ния у лось пок только ля ост точно о щих ñ ì éñò èí ì- è÷ ñêèõ ñèñò ì [39, 53, 55, 58, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74]).

Ст или ция х отич ско о по ния мо т ыть осущ ст л н умя р личными спосо ми. П р ый и них о сп чи т ы ни сист мы и х отич ско о н р улярный р им поср ст ом н шних о мущ ний, р ли о нных о р тной с я и. Дру ими сло ми, этот м то н учиты т т кущ состояни ин мич ских п р м нных сист мы. К ч ст нно отличный от нно о м то р ли у тся поср ст ом корр к- тирующ о о йст ия соот тст ии с тр у мым н ч ни м ин мич ских п р м-нных и, т ким о р ом, о р тную с я ь к к н о хо имую компон нтуин мич ской сист мы. По уст но и ш муся со л ш нию п р ый спосо ст или ции

3

õ îòè÷ ñêîé èí ìèêè í û òñÿ ïî ë íè ì õ îñ или контролиро ни м (ино

упр л ни м или p улиpо ни м) х отич ской ин мики о р тной с я и. Второй спосо носит н ни контролиро ни х ос с о р тной с я ью (controlling chaos). В с ою оч р ь, р ли ция к о о и этих м то о мо т ыть про н п р м-трич ским или сило ым спосо ми.

В ни о р тной с я и я ля тся опр л нным пр имущ ст ом, посколькуольшинст случ т кой спосо упр л ния при о ит к тр у мому р ульт ту:ы р нный р н с ло ой пр льный цикл ст или иру тся и, т ким о р ом, иссл у м я сист м ы о ится н пр пис нный р им и ния. О н ко этот м то эфф кти н, сли только и о р ющ я точк н хо ится ли и ы р нно о цик- л . В проти ном случ н о хо имо исполь о ть ополнит льны спосо ы о йст - ия [75, 76, 77, 78]. В то р мя, м то ы о р тной с я и н тр уют н- ия постоянно о компьют рно о сл ния состояни м сист мы и м н по р ныо йст иям шумо , что сущ ст нно упрощ т их исполь о ни прило ниях [79].

Ст или ция х отич ской ин мики и упр л ни по ни м р личных сист м я ля тся ч стью о щ й чи упр л ния ин мич скими сист м ми (см. [80] и при -нны т м ссылки). т про л м мо т ыть р ш н н осно исполь о ния р -личных м то о , н и ол и стны и эфф кти ны и которых пр ст л ны н стоящ й р от .

2Сист мы с н шними о мущ ниями

В нной ч сти р ссм три ются ост точно о щи с ойст ин мич ских сист м, по -р нных опр л нным н шним о йст иями. ти с ойст по оляют сущ ст - нно упростить их и уч ни и ыя ить ря ных осо нност й, присущих широкому кл ссу о мущ нных н лин йных потоко и к ск о .

Поскольку ни р ссм три ются осно ном сист мы с х отич ским по ни м,

ì ïî ìíî ñò î Ac мно ст опустимых п р м трич ских н ч ний A, Ac 2 A, ò êî , ÷òî ïðè a 2 Ac ин мич ск я сист м ( том или ином смысл , точны опр л - ния см. [1, 14]) проя ля т х отич ски с ойст .

2.1 Мультиплик ти но и ити но о мущ ния

Ïð ïîëî èì, ÷òî ð ññì òðè òñÿ èí ìè÷ ñê ÿ ñèñò ì

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = v(x; a) ;

 

(1)

x =

f

x1; x2; :::; xn

g

, v

=

f

v1

; v2

; :::; vn

g

, a

2

R, x(t0)

 

x0, с н которым о мущ н-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и м. Если т ко о мущ ни р ли уются поср ст ом мультиплик ти но о о йст -

ия по отнош нию к ин мич ским п р м нным xi, òî î îðÿò, ÷òî èì ò ì ñòî ï ð ì-òðè÷ ñêî (èëè мультиплик ти но ) упр л ни , поскольку, к к пр ило, п р м тры

4

мультиплик ти но ключ ются ин мич скую сист му. В этом случ р улиро н- и состоит т кой мо ифик ции функции v соотнош нии (1), что ы но я сист м x = v0(x; a0; t) èì ë û òð ó ìî ( û ð ííî ð í ) ïî íè . Ç ñü v0(x; a0; t) = v x; a0 + a1(t) è ï ð ì òð a1(t) î û÷íî ÿ ëÿ òñÿ T -п рио ич ской функци й. Для п р м трич ских о мущ ний ñ î ð òíîé ñ ÿ üþ учиты тся т кущ состояни сист мы, v0(x; a0; t) = v x; a(x(t)) , ò ê ÷òî ï ð ì òð a и м ня тся сп ци льным пут м, и н о я т льно п рио ич ски.

Дост точно ч сто прило ниях стр ч тся ситу ция, ко мультиплик ти но

ни н шних о мущ ний сист му н о мо но. То ф о ый поток Ft(x; G) р л тся н сост ляющи : ч сть, соот тст ующую н о мущ нному ф о ому потоку, Ft(x), и компон нту Ft(G), котор я иницииру тся исключит льно о мущ н- иями, Ft(x; G) = Ft(x) + Ft(G). Â ýòîì ñëó÷ èì ò ì ñòî èòè íî î ìóù íè , ò. . v0(x; a0; t) = v(x; a) + g(t), g(t) о о н ч т н шн о йст и . Т ким о р ом, упр л ни ин микой сист мы по р ум т прило ни сило ой компон нты к к- торной функции. Поэтому нный тип упр л ния по ни м ин мич ской сист мы н ы тся ñèëî ûì. В с ою оч р ь, сли сило ом контрол учиты тся о р тн я

с я ь, то функция v мо ифициру тся к к vi0 = vi(x; a) + gk(xi(t)); i = 1; 2; :::; n; 1

 

k

 

n.

 

 

 

 

По ря у причин п р м трич ский м то им т опр л нны пр имущ ст п р сило ым. Во-п р ых, прило ниях к фи ич ским, химич ским, иоло ич ским иру им ным сист м м ч сто р ссм три ются личины, которы я ляются пропорцион льными ин мич ским п р м нным xi. Äëÿ ò êèõ ñèñò ì v(0; a1; :::; am) = 0,

ип рпо рхности xi я ляются ин ри нтными мно ст ми. то о н ч т, что сист м

n

(1) отр т р льны проц ссы только н симпл кс X = xj xi > 0; P xi < const .

i=1

В этом случ н шн ити но о йст и мо т при сти к тому, что ф о ы тр ктории покинут мно ст о X, п р с к я ип рпо рхности xj = 0. Поэтому сило оо йст и ч сто я ля тся причиной ыро ния сист мы или ыхо н н -л т льный р им э олюции. Н прим р, ля иоло ич ских сист м это о н ч т ымир ни ч сти осо й. В то р мя, п р м трич ско о йст и о н ч т и м н ни р сурсо сист мы и, т ким о р ом, я ля тся ол тонким ср н нии с сило ым.

Воторых, сило о о мущ ни ор о тру н р ли о ть. Т к, ля химич ских сист м сило ой контроль по р ум т ни (и соот тст нно у л ни ) ополнит льных щ ст ; ля иоло ич ских сист м т кой м то мо т ыть р ли о н ч р ст рили цию ч сти осо й или ни м соо щ ст о ополнит льных и о .

С ру ой стороны, проти ополо ность п р м трич скому о йст ию, сило ой м то , к к пр ило, при о ит к тр у мому р ульт ту ля почти с х сист м, поскольку о мно их случ ях ст ст нно по ни мо т ыть ук льно " л - но" н шн й силой.

Опиш м о ин и но и стных р ульт то , к с ющийся сило о о о йст ия

5

[81].Р ссмотрим сл ующую сист му ур н ний

x = A( )x + F(x; ) + "g( ) ;

(2)

_ = 1 ;

нную н которой о л сти D = D0 R=T Z, D0 Rn о р нич нн я, ом-оморфн я ш ру о л сть, со р щ я точку x = 0 è èì þù ÿ ë êóþ ð íèöó @D0, è " п р м тр. Относит льно пр ой ч сти сист мы (2) у м пр пол ть сл ующ : A( ) è g( ) я ляются T -п рио ич скими функциями кл сс C0, ï ð ì-

òð " ó î ë ò îðÿ ò óñëî èþ 0

 

"

 

1, è

функция

F :

D

!

Rn èì ò è

 

N

 

 

 

 

 

 

; :::; an), aj

 

 

 

n

 

 

F(x; ) =

P

fi( ; x)xAi , N

 

N, Ai

 

Zn, Ai = (a1

0,

1

Ai

=

P

ak

2,

 

 

2

 

2

 

 

 

1

i i

 

 

 

 

i

 

 

i=1

 

 

 

 

 

i

jj jj

 

k=1

fi( ; x) T -п рио ич ски функции и кл сс C

 

ïî è êë ññ C

 

ïî x D0

. Â ÷ ñòíî-

ñòè, A( ) è F(x; ) мо ут от н ис ть. В льн йш м н м пон о ится поняти три и льно о цикл LT0 D, которым н о м мно ст о 0 R=TZ.

Т п рь мо но получить сл ующий р ульт т (см. [81]): сли сист м

y = A( )y ;

(3)

_ = 1

î ð íè÷ ííîé î ë ñòè B : L0T B ðó , òî ñóù ñò óþò í ÷ íèÿ "0 > 0 ò êè , ÷òî

ëÿ ëþ î î " < "0 сист м (2) о л т пр льным циклом LT , отличным от LT (ïðè

 

 

 

 

 

 

 

 

0

" = 0), прич м ля лю ой окр стности U

 

LT : U

 

D ñóù ñò ó ò "1 < "0 ò êî , ÷òî ëÿ

6

 

 

0

 

 

 

ëþ î î " < "1 öèêë LT

 

U. Åñëè, êðîì òî î, L0T

я ля тся устойчи ым ля сист мы (3),

 

 

 

 

 

 

 

 

то ля ост точно м лых " öèêë LT у т симптотич ски устойчи ым. Т ким о р ом,

 

 

 

 

 

 

 

0

1

сли принять, ч стности, n = 2; F(x; ) = F(x); A( ) = A =

!12

! ; Æ > 0, òî

ïðè " = 0 сист м (2) описы т н лин йны кол ния, тух ющи н которой ок-

р стности x = 0. В этом случ при нно ут р ни р нтиру т, что при н личииост точно м лой ыну ющ й силы н которой окр стности н ч л коор ин т им-ются устойчи ы ï ðèî è÷ ñêè êîë íèÿ.

Н осно нии этих р ульт то ст ст нно пр поло ить, что сли у чно по о р ть ч стоту н шн о о йст ия н õ îòè÷ ñêóþ сист му, о при ост точно м лыхмплиту х т ко о йст и при т ли о к ñò èëè öèè н устойчи ых цикло , сущ ст о ших н о мущ нной сист м , ли о к ро нию но ых устойчи ых цикло . т про л м ыл иссл о н р от х [82, 83, 84] (см. т к [85]), которых р ссм три лось ñèëî î о у ни сист м со стр нным ттр ктором. О н ко ипот о ст или ции х отич ских кол ний ï ð ì òðè÷ ñêèì î ð îì î ë ñòè Ac, от ч ющ й сущ ст о нию только х отич ско о по ния (т к что ы мо но ылоо орить им нно о ïî ë íèè õ îñ ) п р ы числ нно получил по т р ни пу лик циях [86, 88, 87] (см. т к о ор [69]), ыл р ссмотр н кл сс ифф р - нци льных ур н ний с н полиноми льной пр ой ч стью. Впосл ст ии м то по-

л ния х ос ( о р тной с я и) ыл н литич ски о осно н р от х [67, 68].

6

Ta : M ! M,

По нно н пр л ни получило широко р спростр н ни посл и стной р -оты руппы и Мэрил н [65, 66], ыло пок но, что при помощи ост точно сл ых п р м трич ских о мущ ний о мо но ст или иро ть пр ктич ски лю ой с ло ой пр льный цикл, ло нный х отич ский ттр ктор. Пу лик ция этих р -ульт то стимулиро л и уч ни опросо ст или ции х отич ско о по ния иы л ольшой инт р с к опрос м упр л ния н устойчи ыми сист м ми. Поя - ил сь ц л я с рия р от, к к числ нных, т к и т ор тич ских, пос ящ нных иссл -о ниям о мо ности по л ния х ос и получ ния п рио ич ской или ру ой тр -у мой ин мики р личных сист м х и ото р ниях. тот р л т ории ин м- ич ско о х ос н стоящ р мя про ол т инт нси но р и ться: поя ляются но ы р оты ( осно ном числ нны и эксп рим нт льны ), которых пр л ются ли о р личны усо рш нст о ния у и стных м то о , ли о их прило ния к но ым кл сс м сист м, ч стности, к р спр л нным сист м м (см., н прим р, [48, 49, 59, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95] и при о имы т м ссылки).

2.2 Î ùè ñ îéñò ï ðèî è÷ ñêè î ìóù ìûõ ñèñò ì

Пр поло им, что р ссм три м я сист м тся о ыкно нными ифф р нци льными ур н ниями и (1). Про л м упр л ния по ни м ключ тся том, что ы н йти т ко н шн о мущ ни G, пpи котором ф о ый поток Ft(x; G), ïîðî ìûéî ìóù ííîé èí ìè÷ ñêîé ñèñò ìîé x = v0(x; a; G), стр мился ы к ы р нному по мно ст у X(G) ф о о о простр нст . По мно ст о X(G) мо т ыть к кттp ктоpом т к и н устойчи ым мно ст ом. В посл н м случ о мущ ния G мо - ифицируют сист му (1) т ким о р ом, что ф о ы тр ктории по хо ят к по м- но ст у X(G) и ост ются ост точно м лой о окр стности U X(G) ïî éñò - è ì G. К к пр ило, прило ниях к ч ст по мно ст X(G) û èð òñÿ öèêë îïð ë ííî î ï ðèî .

Для р ития н литич ско о по хо р ссмотрим ото р ни

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ta :

x

7!

f(x; a) ;

 

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

A; f =

f

f1; : : : ; fn

g

; x =

f

x1; : : : ; xn

g

. Îïð ëèì î ìóù íè G, éñò óþù

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

í ìíî ñò ï ð ì òðî

A, G :

A ! A, ê ê

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G : a 7! g(a); a 2 A :

 

(5)

То р ультирующ о мущ нно ото р ни мо но пис ть и

 

 

 

 

Ta :

8

x

7! f(x; a) ;

 

 

 

(6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

g(a);

 

x

 

M; a

 

A:

 

 

 

 

 

 

 

< a

7!

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

Д л о р ничимся только

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п рио ич скими о мущ ниями. То , н ли ируя ото р -

íè (6), ìî íî î í ðó èòü ðÿ î èíò ð ñíûõ ñ îéñò [69, 70, 96, 97]. Ïð ñ î

7

л ко понять, что п рио t лю о о цикл п рио ич ски о мущ мо о ото р ния (4) опр ля тся и соотнош ния: t = k, ï ðèî î ìóù íèÿ è k ïîëî èò ëüíî ö ëî . Ä éñò èò ëüíî, ñëè î ìóù ííî îòî ð íè èì ò t-п рио ич ский цикл, то посл о т льность коор ин т точ к, которы о формируют, т к я ля тся п рио - ич ской с п рио ом t. Но посл о т льность п р м тро a по опр л нию п рио ичн с п рио ом . Поэтому с t = k, k ö ëî .

З сь, о н ко, н о хо имо с л ть о но сущ ст нно м ч ни . Если спро к- тиро ть получ нный t-п рио ич ский цикл н простр нст о M (т. . просто р с- смотр ть сист му (6) к к н тономную), то о мо но получить цикл, который н мо т ыть н н циклом о ычном поним нии. Причин состоит том, что точки цикл , которы отлич ются ру от ру только н ч нии коор ин ты a ( сли они сущ ст уют), спро ктируются о ну и ту точку простр нст M. Поэтому и о р -ющ я точк о мущ нно о ото р ния у т по н сколько р поп ть н к- оторы точки, формирующи цикл. Н прим р, ля о ном рных ото р ний, n = 1,о щ м случ про кции н исхо но простр нст о M = I получится цикл п р- ио k . Î í êî I о мо но получить цикл с со п ющими x-êîîð èí ò ìè, êî

xi = xm; ai = am;

i = m, (xi; ai) è (xm; am) точки цикл ото р ния (6). В

6

6

этом случ н коор ин тной оси получится (P l) òî÷ ê, l число со п н- ий. В ч стности, при P = 2 ( = 2) полн о мо но про кции н лю ть только

о ну фиксиро нную точку. Для P > 2 роятно поя л ни ол эк отич ских цикло . Опис нн я ситу ция, о н ко, н я ля тся случ м о щ о поло ния, и, к к пр ило,

стр ч тся только при сп ци льно по о р нных о мущ ниях.

 

 

 

В ни -циклич ско о пр о р о ния (5) ото р ния (4) о н ч т,

÷òî ð -

ультирующ ото р ни (6) мо но пис ть к к

 

 

 

 

 

 

 

 

8 Ta1 : x 7! f(x; a1) f1 ;

 

 

 

 

 

 

= >

Ta2 : x

7!

f(x; a2)

 

f2 ;

 

 

 

 

 

Ta

 

 

 

 

 

 

(7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< : : : : : : : : : : : : : : : : : ;

 

 

 

 

 

 

> Ta : x

7! f(x; a ) f :

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

В м р ссмотр ни функций сл ующ о и : F1 = f (f 1(:::f2(f1(x)):::)), F2

f1(f (f 1(:::f3(f2(x)):::))), : : : , F = f 1(f 2(:::f1(f (x)):::)), x = fx1; : : : ; xng è fi

=

ffi(1); : : : ; fi(n)g, Fi = fFi(1); : : : ; Fi(n)g, i = 1; 2; : : : ; ; n-компон нтны функции. Т ким

о р ом, о мущ нно ото р ни (6) пр ст ится к к компо иция

 

 

T1 : x

7!

F1; T2 : x

7!

F2; : : : ;

T

: x

7!

F ;

(8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ля которой н ч льны усло ия опр ляются сл ующим о р ом: x1 = f1(x0); x2 = f2(x1); : : : ; x 1 = f 1(x 2). Ò ï ðü ìî íî îê òü [70, 97], ÷òî ñëè îòî ð í- è Tk; 1 k , èì ò öèêë ï ðèî t и функции fk(x) я ляются н пр ры ными,

8

òî îòî ð íè Tp; p = k + 1 (mod ), ò ê èì ò öèêë òî î ï ðèî t. Åñëè öèêë îòî ð íèÿ Tk я ля тся устойчи ым, то цикл ото р ния Tp т к у т устойчи ым. Бол то о, сли fk ом оморфи м, то ото р ния Tk è Tp я ляются тополо ич ски эк и л нтными.

 

 

В с мом л , опустим, что fk

(x), 1

 

k

 

 

 

я ля тся функци й кл сс C0 è Tk èì-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò öèêë ï ðèî t. òî î í ÷ ò, ÷òî ñóù ñò ó ò ò ê ÿ òî÷ê x~, ÷òî Ft (x~) = x~; Fj (x~) =

~; 1 j < t. Р ссмотрим соотнош ни :

 

 

k(

 

 

k(

 

 

)) =

 

p(

 

(

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

k

 

6

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

)), p = k + 1 (mod ). Òî

x

 

k ) =

 

p (

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

F

~

 

x

 

 

 

 

F

 

 

f

 

 

x

 

 

p(

k

(~)) =

 

 

k(

k(~)) =

 

k(

 

 

 

k). Сл о т льно, ля точки

 

 

 

è n = t í é ì:

 

 

f

 

Fn

 

 

 

Fn

 

f

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

j

<

 

t èì ò

 

x

 

 

 

 

 

 

p(

k

(~))

=

Ft f

x

 

f

 

Ft

 

x

 

k(~). Áîë òî î, ïðè

 

 

 

 

 

 

 

ì ñòî

 

 

k(~), поскольку, сли

f

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fj

 

f

 

x

 

 

6

f

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fj

f

 

x

 

=

f

x

 

 

Fj

f

 

 

 

 

=

f

k(

Fj

x

 

 

 

 

 

 

f

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p(

k(~))

 

 

 

k(~), òî

 

p(

 

k(~))

 

k(~)) =

 

 

 

k(~). О н ко и - о но н чности функ-

öèé

f

i;

i

 

= 1; : : : ; ; ìî íî ïèñ òü, ÷òî

f

 

1

 

f

 

2

(: : :

f

k

(

Fj

 

x

 

 

 

f

 

f

 

2(: : :

f

 

 

x

 

 

 

k

 

 

(

k

 

 

 

 

k(~)))) =

k

 

1( k

 

 

k(~)))

(ñì. (7)), ò. .

Fj+1

x

 

 

 

 

F

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

(~) =

 

 

 

 

k(~). то проти ор чит пр поло нию, с л нному ыш .

Иными сло ми, точк

 

 

k(~) ÿ ëÿ òñÿ ï ðèî è÷ ñêîé ñ ï ðèî îì t ëÿ îòî ð íèÿ Tp.

 

 

Åñëè

òî÷ê ~

 

 

 

f

 

 

x

устойчи ой

 

ï ðèî è÷ ñêîé

 

точкой

îòî ð íèÿ

Tk, òî

 

 

ÿ ëÿ òñÿ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сущ ст у т т к я окр стность U

 

3 x~, ÷òî

 

 

ля лю ой точки x

 

2

 

U ыполня тся

lim

 

k

(

 

 

)

 

 

= ~

. Âñë ñò è

 

н пр ры ности

 

функций

 

 

k ýòî î í ÷ ò,

÷òî

ïð ë

n!1

Ftn

x

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k(

 

 

 

(

 

 

 

)) =

lim

 

 

 

 

(

k(

 

)) =

 

k(~). Т ким о р ом, с точки и окр стности

 

 

k(U)

lim

f

 

k

x

 

p

 

x

f

 

f

n!1

 

Ftn

 

 

 

n!1

Ftn

 

f

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k(~) ïî éñò è ì îòî ð íèÿ Tp.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

притя и ются к точк

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Îñíî íîé

 

смысл

îïèñ ííî î

 

постро ния

 

 

êëþ÷ òñÿ

 

òîì,

÷òî èññë î íè

ото р ния с п рио ич ским о мущ ни м мо но сущ ст нно упростить. Вм сто исхо но о н тономно о ото р ния (6) ост точно р ссмотр ть о но и тономных îòî ð íèé T1; T2; : : : ; T , опр ля мо ыр ни м (8). Т ким о р ом, ся ин мик исхо но о ото р ния (6) у т ться со окупностью ото р ний (8), которыйст уют н исимо ру от ру и с я ны лишь н ч льными усло иями. то спр ли о ля ëþ î î мно ст опустимых н ч ний A ï ð ì òð a èí ìè÷ ñêîé ñèñò ìû (4) ñ ï ðèî è÷ ñêèì î ìóù íè ì (5).

3Упр л ни х отич скими ин мич скими сист м ми

Иссл о ния про л мы упр л ния х отич скими сист м м при помощи п рио ич ских о йст ий по- и имому н ч лись с пу лик ций [86, 88, 87], и уч лся откликифф р нци льных ур н ний опр л нно о кл сс н п р м трич ски о мущ ния. Посл поя л ния р от [65, 66] и с я и с мно очисл нными прило ниями эт про-л м ст л пр м том т к и эксп рим нт льно о н ли ( к ч ст о оро см. [36, 37, 50, 51, 63, 64]). Н мно о по ыло пок но [61, 98, 99], что ля ости ния контроля н сист мой мо но исполь о ть сило о р он нсно о йст и . Хотя т к- о о йст и мо но р ли о ть л ко н о с х случ ях, о остоинст о состоиттом, что оно прим нимо н только к х отич ским сист м м.

9

3.1 М то р он нсных о у ний

Для упр л ния по ни м х отич ских ин мич ских сист м ря р от ыло пр -ло но исполь о ть т к н ы мы ð îí íñíû î ó íèÿ [61, 98, 99, 100]. тот м то осно н н н лю нии, что л о ря н лин йным мо о ым имо йст иям п рио ич ски о у м я сист м типичном случ í у т проя лять п рио - ич ско о по ния. Поэтому ля ро ния пр пис нно о (т. . р н нно о) р -им и ния пр ст ля тся ст ст нным о мущ ть сист му сп ци льным о р -ом. Сл о т льно, осно ную роль нном м то и р т опущ ни , что ур н нии ния, н которо ыхо ит сист м посл ния о мущ ния р н и стно.

Для ости ния о мо ности контроля поср ст ом р он нсных о у нийин мич скую сист му, н хо ящуюся х отич ском р им , н о хо имо ити ноключить н шн о мущ ни F(t):

x = v(x; a) + F(t) :

(9)

Д л , пусть тр у м я ин мик тся функци й y(t), котор я у о л т оря т т к н ы мому ур н нию пр пис нно о и ния,

y = g(y) :

(10)

Ò ï ðü, û èð ÿ î ìóù íè è F = g y(t) v y(t); a и по ст ляя о (9), получим ур н ни контролиро ния:

x = v(x; a) + g(y) v(y; a) :

(11)

Ò êèì î ð îì, ñëè óñòð ìèòü x ! y ïðè t ! 1, òî êîí ÷íîì ñ÷ ò èí ìèê ó ò ïð ñò ë í óð í íè ì (10).

Отличит льной ч ртой м то упр л ния при помощи р он нсных о у н- ий я ля тся то ф кт, что о пр ктич ско прим н ни н о р ничи тся только х отич скими сист м ми (что н ль я ск ть о м то Гр о и-Отт -Йорк , см. ни-). В то р мя õ îòè÷ ñêè сист мы ( н котором и п он н ч льных усло - ий) йст ит льно мо но " ст ить" сти с я пр пис нным о р ом. О н ко этоо мо но л ко н с , и сущ ст уют н ч льны усло ия, ля которых по н- и н у т ться функци й y(t). Кром то о, этот м то контроля сильно - исит от н ния ин мики сист мы, и м лы оши ки мо ли (9) мо ут р сти сл -ст и о мущ ния F(t) [100]. Т м н м н , н тру но опр л нным спосо ом ус- о рш нст о ть контролиро ни (9) (11). то при т к ольш й эфф кти ности исполь о ния м то р он нсных о у ний [56].

3.2 Ì òî Ãð î è-Îòò -Éîðê

И стный п р м трич ский ì òî ñ î ð òíîé ñ ÿ üþ, пр ло нный р от х [65, 66] и получи ший широко про ол ни о мно их ру их пу лик циях (ссылки

10

Соседние файлы в предмете Концепция современного естествознания