ЛЕКЦИЯ №53
18.9. Применение теоремы Умова-Пойнтинга для определения
активного и внутреннего индуктивного сопротивлений
проводников при переменном токе
При протекании постоянного тока сопротивление R=l/γs.
При протекании переменного тока магнитное поле меняет распределение плотности тока и оказывает влияние, как на реактивную, так и на активную составляющие сопротивления.
Для определения активного и внутреннего реактивного сопротивлений проводников при протекании переменного тока используют теорему Умова-Пойнтинга в комплексной форме. Подсчитывается поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность проводника на длине в 1 метр и делят его на квадрат тока, протекающего по проводнику. В результате получают комплексное сопротивление проводника на единицу длины:
(18.38)
Рассмотрим влияние протекания переменного тока на сопротивление прямоугольного проводника.
Поток энергии на границе проводника определяется вектором Пойнтинга
С учетом ранее сделанных допущений (2a<<h, h<<l), а также, что при стремится к единице, получим Следовательно, .
Волновое сопротивление .
При этом вектор Пойнтинга
Тогда
Следовательно, полное сопротивление шины будет
(18.39)
Распределение протекающего тока показано на рис. 18.11.
Рис. 18.11. Распределение тока в толще проводника
Магнитное поле вытесняет ток на внешние поверхности проводника, увеличивая его сопротивление. Поэтому величину 2h∆ рассматривают как эквивалентное поперечное сечение проводника.
18.10. Экранирование в переменном магнитном поле
Явление затухания электромагнитной волны в поверхностном слое металла используют для экранирования в переменном электромагнитном поле.
Электромагнитные экраны представляют собой полые цилиндрические сферические или прямоугольные оболочки, внутрь которых помещено экранируемое устройство.
Экран выполняет две функции:
1. Защищает устройство, заключенное в экран от влияния внешнего по отношению к экрану электромагнитного поля;
2. Защищает внешнее по отношению к экрану пространство от электромагнитного поля, создаваемого устройством, заключенным в экране.
Поскольку на расстоянии, равном длине волны, электромагнитная волна в металле почти полностью затухает, то для хорошего экранирования толщина стенки экрана должна быть примерно равна длине волны в металле. Практически приходится учитывать и другие факторы (механическую прочность экрана, его стоимость и т.д.).
18.11. Высокочастотный нагрев металлических деталей
и несовершенных диэлектриков
Нагрев металлических деталей перед ковкой, штамповкой, сушку древесины, наплавку и реставрацию инструментов часто производят путем помещения этих предметов в электромагнитное поле сравнительно невысокой частоты (1-20 кГц). Стальные детали (валы, шестеренки) нередко подвергают поверхностной закалке при более высокой частоте (10-500 кГц).
Энергия, выделяющаяся в виде тепла в проводящем теле, равна Электромагнитная волна, проникающая в толщу металла, быстро затухает. Поэтому теплота выделяется практически лишь в относительно тонком поверхностном слое стального изделия.
Под действием теплоты, выделившейся в поверхностном слое, последний быстро разогревается до температуры, необходимой для поверхностной закалки.
Высокочастотные поля используют также для нагрева несовершенных диэлектриков (проводимость их хотя и мала, но не равна нулю). Так, частоты 1-30 МГц используются для высокочастотного нагрева пластмасс перед штамповкой, для термической обработки пищевых продуктов, вулканизации резины и т.д.
18.12. Распространение электромагнитных волн в однородном
и изотропном диэлектрике
Проводимость идеального диэлектрика равна нулю (γ=0). Уравнения Максвелла получают следующий вид:
(18.40)
Для однородных и изотропных диэлектриков μа=const и div=0; div=0.
Решим совместно первых два уравнения Максвелла
(18.41)
Произведение измеряется в с 2/м2, т.е. имеет размерность, обратную размерности квадрата скорости. Примем =1/ν2:
(18.42)
Так как для плоской волны зависит только от координаты z, то можно записать:
(18.43)
Уравнению (18.43) соответствует характеристическое уравнение:
Корни этого уравнения:
Общее решение дифференциального уравнения
(18.44)
Первое слагаемое (18.44) представляет собой падающую волну, а второе – отраженную.
Постоянные интегрирования и можно представить в виде:
Напряженность электрического поля:
(18.45)
где
В плоской электромагнитной волне, распространяющейся в диэлектрике, как и для проводящей среды и взаимно перпендикулярны, направлено по оси y, – по оси x.
Мгновенные значения H и E для падающей волны:
(18.46)
По мере продвижения падающей волны вдоль оси z амплитуды E и H остаются неизменными, так как в диэлектрике нет токов проводимости и выделения энергии в виде теплоты.
Рис. 18.8. Падающие волны напряженностей электрического и магнитного полей
На рис. 18.8 изображены пространственные кривые E(z) и H(z). Вектор Пойнтинга падающей волны направлен вдоль оси z. Модуль вектора Пойнтинга изменяется по закону
(18.47)
Фазовая скорость электромагнитной волны в вакууме:
Если волна рапространяется в вакууме εа=ε0 и μа=μ0, то ν=300 000 км/с, т.е. фазовая скорость равна скорости света.
Фазовая скорость электромагнитной волны в диэлектрике очень велика. Длина волны: l=v/f.
Самостоятельная работа
Расчет индуктивности коаксиального кабеля и двухпроводной линии. Исследование поля сферических заземлителей. Расчет вектора Умова-Пойнтинга для двухпроводной линии.
Контрольные вопросы
-
Определите переменное электромагнитное поле и запишите совокупность уравнений Максвелла.
-
Обоснуйте возможность моделирования электростатического поля полем постоянного тока в проводящей среде.
-
Взаимное соответствие электростатического и магнитного полей.
-
Теорема Умова-Пойнтинга для мгновенных значений и для величин в комплексной форме записи.