Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

302_toe / ТОЭ 3 / Лекция №36

.doc
Скачиваний:
63
Добавлен:
10.06.2015
Размер:
109.06 Кб
Скачать

6

ЛЕКЦИЯ №36

13. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

13.1. Понятие об электрических цепях с распределенными параметрами

Строго говоря, всегда параметры электрической цепи в той или иной степени распределены вдоль ее участков, и только абстрагируясь от действительности можно предполагать, что такие параметры цепи как активное сопротивление – R, индуктивность – L и емкость – C сосредоточены в ее определенных участках. Во многих случаях такое допущение не приводит к существенным ошибкам в результатах проводимого анализа. Ранее мы имели дело с цепями с сосредоточенными параметрами. Однако, такой подход не всегда возможен. Например, рассматривая электромагнитные процессы, происходящие в электрических линиях, при помощи которых электрическая энергия или сигналы передаются на расстояние, необходимо иметь ввиду, что электрические и магнитные поля распределены по всей длине линии, и превращение электрической энергии в тепло также происходит по всей длине линии. Критерием необходимости рассматривать цепь в качестве цепи с распределенными параметрами является то, что интервал времени распространения электромагнитной волны вдоль всей цепи и интервал времени, в течение которого токи и напряжения меняются на заметную величину, должны быть соизмеримыми.

Токи напряжения в таких цепях являются функциями двух независимых переменных: времени – t и расстояния – x, отсчитываемого вдоль направления цепи. Уравнения, описывающие процессы в таких цепях, являются уравнениями в частных производных. Примерами являются линии передачи электрической энергии, линии связи, антенные вводы радиотехнических устройств, обмотки электрических машин при воздействии на них импульсных токов и напряжений.

Параметры цепи могут быть распределены неравномерно вдоль линии.

Однако во многих случаях этим можно пренебречь и считать параметры равномерно распределенными. Такие линии называются однородными.

В дальнейшем под величинами R, L, C, G, M будем понимать активное сопротивление, индуктивность и т.д., приходящиеся на единицу длины, и будем обозначать их через R0, L0, C0, G0, M0. В общем случае эти параметры зависят от частоты, например, увеличение активного сопротивления и индуктивности с ростом частоты вследствие поверхностного эффекта. Однако для простоты в дальнейшем это учитывать не будем.

13.2. Уравнения линии с распределенными параметрами

Напряжения и ток в линии являются функциями двух независимых переменных – пространственной координаты x, определяющей место наблюдения, и времени t, определяющей момент наблюдения. Считается, что направление координаты x совпадает с осью линии.

Необходимо найти пространственно-временное распределение величины тока в линии i(x, t) и напряжения между проводами u(x, t). В этом случае также можно определить процесс передачи энергии по линии, когда приемники и источники находятся на обоих концах линии.

Приняв положительное направление тока в линии слева направо, условимся называть "началом" левый конец линии. Расстояние от начальной точки до произвольной обозначим через x, а от конца – через x'. Вся длина линии l = x + x'.

Выделим элементарный участок x на расстоянии x от начала. Пользуясь первичными параметрами R0, L0, C0, G0, отнесенными к единице длины линии, представим приближенно участок x в виде схемы замещения (рис. 13.1).

Обозначим:

u – напряжение между верхним и нижним проводом в точке x;

u – приращение напряжения на участке x;

i – ток в точке x;

i – приращение тока на участке x.

Уравнения для приращений напряжения и тока на элементе x линии запишутся:

(13.1)

Это уравнение в частных производных. По мере стремления x к нулю степень точности этих уравнений повышается, причем величина второго порядка малости в правой части второго уравнения может быть опущена.

В этом случае длинная линия рассматривается как цепная схема с бесконечно большим количеством звеньев, электрические параметры которых бесконечно малы.

Разделив обе части уравнений на x и перейдя к пределу x  0, получим дифференциальные уравнения линии

(13.2)

Эти уравнения носят название телеграфных.

Если за начало отсчета принять конец линии, т.е. ввести координату x', уравнения примут вид:

(13.3)

Уравнения (13.2) и (13.3) решаются однозначно при использовании начальных и граничных условий. Начальными условиями будут служить значения напряжения и тока в начале и конце линии в момент времени, принятый за нуль. Граничные условия определяются связями между напряжением и током в начале или в конце линии и зависят от заданного режима работы линии.

13.3. Периодический режим в однородной линии

При периодическом режиме под действием приложенного гармонического напряжения в любой точке линии напряжение и ток изменяются гармонически с частотой источника.

Обозначим комплексные действующие значения напряжения и тока на расстоянии x от начала линии через U = U(x) и I = I(x)

(13.4)

Так как комплексные величины U и I не зависят от времени t и являются только функциями расстояния x, то в уравнении (13.4) частные производные заменены обыкновенными.

Продифференцировав систему (13.4) по расстоянию x, получим отдельные уравнения относительно тока и напряжения

(13.5)

Введем обозначение

(13.6)

Величина называется коэффициентом распространения волны. Тогда

(13.7)

В результате получили однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка одного вида.

Решение первого из них имеет вид:

(13.8)

Ток I проще всего находится подстановкой последнего уравнения в первое уравнение системы (13.4).

или

, (13.9)

где (13.10)

носит название волнового сопротивления линии.

(13.11)

Мгновенное значение напряжения в точке x равно мнимой части выражения .

(13.12)

где 1 и 2 – аргументы комплексных чисел A1 и A2.

Таким образом, мгновенное значение напряжения в любой точке имеет две составляющие.

Рассмотрим первую из них.

Если считать точку x фиксированной и рассматривать изменение напряжения в данной точке в зависимости от времени, то первая составляющая в выражении (13.12) представляет собой гармоническую функцию с постоянной амплитудой.

Если же считать момент t фиксированным и рассматривать изменение мгновенного напряжения вдоль линии (т.е. в зависимости от расстояния x), то получим затухающую гармоническую волну напряжения, амплитуда которой убывает с ростом х, т.е. по мере удаления от начала линии.

Величина , характеризующая изменение амплитуды волны на единицу длины линии, называется коэффициентом затухания, а величина , характеризующая изменение фазы на единицу длины линии, называется коэффициентом фазы.

Убывание амплитуды волны вдоль линии обусловлено потерями в линии, а изменение фазы – конечной скоростью распространения электромагнитных колебаний.

На рис. 13.2 изображены волны напряжения, соответствующие двум следующим друг за другом моментами времени t1 и t2.

Расстояние между двумя ближайшими точками, взятое в направлении распространения волны, фазы колебаний напряжения различаются на 2, называется длиной волны – 

,

. (13.13)

С течением времени волна перемещается от начала линии к ее концу. Она называется прямой или падающей волной.

Соседние файлы в папке ТОЭ 3