ЛЕКЦИЯ №43
14.5. Формы записи уравнений Максвелла
Уравнения Максвелла являются фундаментальными уравнениями электромагнитного поля. Эти уравнения могут быть записаны в интегральной, дифференциальной или комплексной форме. Интегральная форма записи уравнений устанавливает связь между величинами в разных точках поля или на разных отрезках, поверхностях. Дифференциальная форма описывает соотношение между величинами вблизи одной и той же точки поля в определенный момент времени. Эту форму записи применяют при исследовании полей, изменяющихся от точки к точке. Гармонически изменяющиеся электромагнитные поля (когда проекции вектора на координатные оси являются гармоническими функциями времени) удобно характеризовать уравнениями Максвелла в комплексной форме.
Переход от интегральной формы записи уравнений к дифференциальной осуществляется с помощью теорем Остроградского-Гаусса и Стокса (14.20) и (14.21).
Система уравнений
электромагнитного поля включает в себя
четыре основных уравнения Максвелла и
уравнения связи между векторами поля
и параметрами
,
характеризующими свойства среды.
1. Закон полного тока – первое уравнение Максвелла
.
(14.37)
Ток смещения
,
также как и ток проводимости
,
создает магнитное поле. Изменяющееся
во времени электрическое поле создает
магнитное поле. Направление вектора
напряженности магнитного поля
связано с направлением полного тока и
определяется правилом правоходового
винта.
2. Закон электромагнитной индукции – второе уравнение Максвелла
(14.38)
Изменение магнитной
индукции во времени создает электрическое
поле, направление которого связано с
направлением
и определяется правилом левоходового
винта.
3. Принцип непрерывности магнитных силовых линий
.
(14.39)
Магнитный поток через замкнутую поверхность равен нулю. Магнитные силовые линии всегда замкнуты и не имеют ни истоков, ни стоков.
4. Обобщенная теорема Гаусса
(14.40)
Поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов, находящихся внутри замкнутой поверхности.
5. Уравнения связи
между векторами
и
,
и
,
и
в материальной среде
.
(14.41)
15. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
15.1. Напряженность и потенциал электростатического поля
Электростатическое поле создается совокупностью электрических зарядов, неподвижных в пространстве по отношению к наблюдателю и неизменных во времени.
В теории поля усредняют микроскопические неоднородности вещества (на элементарном уровне) в пространстве и во времени, т.е. рассматривают процессы в макроскопическом смысле. Под зарядом тела понимают скалярную величину, равную алгебраической сумме элементарных электрических зарядов в этом теле.
В дальнейшем будем иметь дело с полем, создаваемым в однородных и изотропных средах, т.е. в таких средах, электрические свойства которых одинаковы для всех точек поля и не зависят от направления. Электростатическое поле обладает способностью воздействовать на помещенный в него электрический заряд с механической силой, прямо пропорциональной величине этого заряда. В основу определения электрического поля положено механическое его проявление. Оно описывается законом Кулона, который характеризует силу взаимодействия двух точечных зарядов.
(15.1)
где
– единичный вектор, направленный по
линии, соединяющей заряды.
Если размеры тел, на которых расположены взаимодействующие заряды, много меньше расстояния между ними, то говорят о точечных зарядах.
Основными величинами,
характеризующими электростатическое
поле, являются напряженность
и потенциал .
Потенциал является скалярной величиной, и его значение в каждой точке поля определяется некоторым числом.
Электростатическое поле определено, если известен закон изменения напряженности и потенциала во всех точках этого поля.
Понятие потенциала связано с работой, совершаемой силами поля при перемещении заряда:
(15.2)
Разность потенциалов между исходной и конечной точками пути (точками 1 и 2) зависит только от положения этих точек и не зависит от пути, по которому определялась разность потенциалов. Если пройти по замкнутому пути, то исходная и конечная точки совпадут, т.е.
(15.3)
Циркуляция вектора
вдоль любого замкнутого контура равна
нулю.
Это основное свойство электростатического поля. Такое поле носит название потенциального. Потенциальными также являются гравитационное поле, установившиеся температурные поля и др.
Электростатическое поле можно охарактеризовать совокупностью силовых и эквипотенциальных линий.
Силовая линия – это мысленно проведенная в поле линия, начинающаяся на положительно заряженном теле и оканчивающаяся на отрицательно заряженном теле, касательная к которой в каждой точке дает направление напряженности поля.
Эквипотенциальные (равнопотенциальные) поверхности представляют собой совокупность точек поля, имеющих одинаковый потенциал. Линии равного потенциала называются эквипотенциальными.
Эквипотенциальные и силовые линии в любой точке поля пересекаются под прямым углом (рис. 15.1).
Рис. 15.1. Картина электрического поля
Между точками 1 и 2 всегда имеется разность потенциалов. Разделив эту разность на кратчайшее расстояние между этими точками, получим скорость изменения потенциала в этом направлении. При стремлении расстояния между точками к нулю
(15.4)
Так как направление
векторов
и
совпадают, то можно записать:
Модуль вектора напряженности поля E = –d/dn.
Вектор напряженности
можно записать, как
.
Тогда
(15.5)
Напряженность в какой-либо точке поля равна скорости изменения потенциала в этой точке, взятой с обратным знаком.
В общем случае
(15.6)
Тогда
(15.7)
15.2. Поляризация вещества. Вектор электрического смещения
Свободными называются заряды, которые под воздействием сил поля могут свободно перемещаться в веществе, их перемещение не ограничено внутримолекулярными силами. Связанными называют заряды, входящие в состав вещества и удерживаемые в определенных положениях внутримолекулярными силами. Эти заряды связаны с самим веществом и неотделимы от него.
При наличии внешнего
электростатического поля напряженностью
молекулы диэлектрика деформируются.
Положительный заряд смещается по
направлению внешнего поля, а отрицательный
– в противоположном направлении, образуя
диполь – связанный заряд. В диэлектриках,
имеющих дипольные молекулы, их
электрические моменты под влиянием
внешнего поля частично ориентируются
по направлению поля. У большинства
диэлектриков направление вектора
поляризованности
совпадает с направлением вектора
напряженности внешнего поля, а направление
вектора напряженности поляризованных
зарядов
противоположно направлению вектора
напряженности внешнего поля (от + Q
к – Q).
Поэтому результирующий вектор
напряженности поля в диэлектрике
меньше вектора напряженности поля в
вакууме при одном и том же внешнем поле
(рис. 15.2).
Рис. 15.2. Поляризация диполей во внешнем поле
С увеличением
поляризации диэлектрика увеличивается
вектор
.
Вектор поляризованности определяют по
геометрической сумме электрических
моментов диполей в единице объема
(15.8)
Для большинства диэлектриков
(15.9)
где – относительная диэлектрическая восприимчивость.
В электротехнических расчетах используется также вектор электрического смещения (индукции):
, (15.10)
где
.
Вектор
зависит как от свободных, так и от
связанных зарядов.
15.3. Теорема Гаусса в интегральной форме
Формулируется тремя способами:
1. Поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность, окружающую некоторый объем, равен алгебраической сумме свободных зарядов, находящихся внутри этой поверхности
(15.11)
Вектор
– это такая характеристика поля, которая
не зависит от диэлектрических свойств
среды.
2. Так как
,
то теорему Гаусса для однородной и
изотропной среды можно записать:
(15.12)
Вектор
– это характеристика поля, которая
зависит от диэлектрических свойств
среды.
3. Поток вектора
через любую замкнутую поверхность
создается не только суммой свободных
зарядов, но и суммой связанных зарядов
.
(15.13)
Теорему Гаусса можно использовать для нахождения напряженности или электрического смещения в какой-либо точке поля, если через эту точку можно провести замкнутую поверхность таким образом, что все ее точки будут в симметричных (одинаковых условиях по отношению к заряду, находящемуся внутри замкнутой поверхности).
Такой поверхностью являются обычно сфера (если заряд точечный), или боковая поверхность цилиндра (если заряд линейный).
В качестве примера использования теоремы Гаусса найдем напряженность поля, создаваемую точечным зарядом в точке, удаленной на расстояние r от заряда. С этой целью через заданную точку проведем сферическую поверхность радиусом r, полагая, что заряд находится в центре сферы (рис. 15.3).
Рис. 15.3. К определению поля точечного заряда
Элемент поверхности
сферы
перпендикулярен поверхности сферы и
направлен в сторону внешней нормали,
т.е. векторы
и
в каждой точке сферы совпадают по
направлению
(15.14)
Напряженность поля:
Откуда
(15.15)
где C – постоянная интегрирования.