Лекция №2. Характеристики надёжности сложных технических систем

Вопросы лекции:

Введение

1. Вероятность отказа. Вероятность безотказной работы.

2. Показатели надёжности

Введение

При анализе характеристик различных технических устройств в литературе широко используют понятие «система», под которым в самом общем смысле понимают набор объектов с определёнными свойствами, а также набор связей между выделенными объектами¹. Границы системы определяет, как правило, исследователь в соответствии с целью, которая поставлена пред ним. Всё что находится за пределами границ системы, называется окружающей средой, которая может оказывать непреднамеренно мешающее воздействие на систему.

Отдельные объекты системы называют также системными элементами. В теории надёжности под элементом обычно понимают такую часть системы, надёжность которой в процессе функционирования может быть рассмотрена независимо от надёжности входящих в эту часть более простых составляющих. Так, например, котлоагрегат, турбина, сетевой подогреватель могут рассматриваться как элементы более сложной системы ТЭЦ, а сама ТЭЦ является элементом более сложной системы теплоснабжения района. С другой стороны, при анализе надёжности, например, котлоагрегата его поверхности теплообмена, коллекторы, арматура, устройства подачи топлива выступают в роли элементов. Учитывая условность деления системы на элементы, часто в теории надёжности используют обобщающие понятия устройство,изделиеилиобъект, которые относят к любой заранее выделенной и функционально самостоятельной части системы. Ниже чаще всего будет использоваться понятиеобъект, который может состоять из элементов.

Объекты и их элементы в теории надёжности делят на восстанавливаемыеиневосстанавливаемые. Невосстанавливаемый объект работает до первого отказа, а восстанавливаемый после устранения последствий отказа может использоваться по назначению. Это деление также в определённой мере условно так как, например, течь трубной системы конденсатора является отказом, в результате которого прекращается работа турбины и проводятся восстановительные работы (устранение отказа). Следовательно, при таком отказе конденсатор и турбоагрегат в целом выступают как восстанавливаемые объекты. Но если исследовать безотказность объекта только до наступления первого отказа, то в таком случае течь трубной системы может характеризовать надёжность данного турбоагрегата как невосстанавливаемого объекта.

В теории надёжности при анализе свойств объектов считают, что все показатели надёжности являются функцией непрерывной величины – времени. Допустим, что в момент времени t=0объект находился в работоспособном состоянии, а при наработкеt = t_от наступил отказ. Это позволяет считатьt_отнепрерывной случайной величиной, удовлетворяющей неравенству. Последнее неравенство даёт основание получить функцию, которая называетсявероятностью отказа. Одновременно из теории вероятностей известно, чтоявляется функцией распределения случайной величиныt_от.

Если рассмотреть вероятность того, что время безотказной работы объекта окажется больше заданного времени t, то получим выражение

, (1) которое определяет один из основных показателей надёжности вероятность безотказной работы.

При любом значении наработки t объект может быть только работоспособным или потерявшим работоспособность. Следовательно, вероятность того, что он находится в одном из двух состояний, равна вероятности достоверного события.

. (2)

Как уже отмечалось, вероятность отказа Q(t)(иначе функция ненадёжности) по определению аналогична функции распределения непрерывной случайной величины, которая, как известно, есть возрастающая функция. Тогда из (1.2) следует, что вероятность безотказной работы есть убывающая функция, т.е.

. (3)

Примерный вид функций P(t)иQ(t)показан на рис.1. Как следует из рис.1, уменьшение вероятности безотказной работыP(t)может рассматриваться как снижение с увеличением наработки количества работоспособных объектов. Соответственно, величинаQ(t) показывает рост с увеличением наработки числа отказавших объектов.

Вероятность безотказной работы P(t)может быть определена приближённо на основе анализа эксплуатационных данных или по результатам испытаний большого количестваNоднотипных объектов. Если обозначитьN_от(t)число отказавших в момент времениtобъектов, аN_и(t)- число исправных в этот же момент времени объектов, то приNотношениеN_и(t)/N  P(t). Таким образом, при фиксированномN получим

N_и(t)/N ≈ P(t). (4)

Рис.1. Функции P(t)иQ(t)

Непрерывная случайная величина t_от характеризуется, кроме указанных интегральных показателей, величиной плотности распределения или плотностью вероятности отказовf(t). Как известно из теории вероятностей, плотность распределения непрерывной случайной величины есть функция, равная пределу отношения вероятности того, что случайная величина находится в каком-то малом интервале, к ширине этого интервала

. (5)

При t0 можно записать, что

Примерное положение кривой f(t) в зависимости от наработки показано на рис.2.

Как следует из рис.2 площадка под кривой f(t), ограниченная снизу отрезкомtна оси абсцисс, численно равна вероятности отказа в интервалеt.Точнее, приближается к ней приt→ 0.

Приближённо определить значение функции f(t)можно опытным путём для отдельных интервалов наработки (t, t+t)

, (6)

Рис.2. Плотность вероятности отказов

где N_от(t, t+t )/Nприближённая оценка вероятности отказа за времяt, аN_от(t, t+t )– число отказов в интервале (t, t+t). Чем большеNи меньшеt, тем точнее формула (6).

Вероятность отказа за время tесть интеграл отf(t), взятый для интервала от0доt:

. (7) Очевидно, что если t=, то вероятность отказа равна единице. Из этого следует, что вся площадь под кривойf(t)всегда равна единице. Но раз, то можно записать, что

. (8)

Из теории вероятностей известно, что плотность распределения есть производная от функции распределения F(t).С учётом этого из (5), (7) следует, что в теории надёжности функция распределения случайной величины имеет смысл вероятности отказа, т.е.F(t) = Q(t), и1-F(t)=P(t).

Одной из важнейших характеристик надёжности является интенсивность отказов. Эта характеристика оценивает вероятность отказа в интервале (t, t+t) тех объектов, которые безотказно проработали времяt, т.е. до начала данного интервала. Функция интенсивности отказов может быть определена следующим образом

, (9) где - вероятность отказа в интервале (t, t+t) для объектов безотказно проработавших времяt.

На основе эксплуатационных или опытных данных можно приближённо оценить интенсивность отказов следующим образом

, (10) где - количество отказов в интервале(t, t+t);

N_исп(t) – число исправных объектов на начало интервала;

- оценка вероятности отказа в интервале ( t, t+t )

тех объектов, которые благополучно проработали время t.

Интенсивность отказов характеризует надёжность в каждый данный момент времени. Поэтому её иногда называют опасностью отказа. Так как (t)определяет надёжность только тех объектов, которые безотказно проработали времяt, то она имеет смысл условной (апостериорной) вероятности. Если рассмотреть вероятность отказа, определяемую площадью под кривой плотности распределения (рис.2)f(t)·t, то можно убедиться в том, что она характеризует вероятность отказа любого из множества рассматриваемых объектов (априорная вероятность).

Между показателями надёжности P(t), f(t)и (t) существует определённая связь. Предположим, что испытываютсяNобъектов и в момент времениtчасть из нихN_от(t)отказали, аN_исп(t)остались работоспособными. Таким образом, справедливо равенствоN = N_исп(t) + N_от(t),с учётом которого можно записать

P(t) = [N – N_OT(t) ] /N = 1 - N_от(t) /N, (11) гдеN_от(t) /N ≈ Q(t).

Дифференцируя уравнение (1.11) по времени можно получить . (12)

Правая часть уравнения (12) как это следует из (6) по абсолютной величине есть предел выражения для плотности распределения f(t).

. (13)

Умножив и разделив правую часть дифференциального уравнения (12) на N_исп(t)получим

. (14)

Произведение в правой части состоит из двух сомножителей, первый из которых есть приближённая оценка вероятности безотказной работы P(t)(см. (3)), а второй есть оценка интенсивности отказов(t)(см. (10)). Таким образом, на основании (14) можно утверждать справедливость равенства

= -P(t)(t)(15)

или (t) = - P'(t)/P(t). (15а)

Формула (15а) даёт наиболее общее выражение для вычисления интенсивности отказов. Связь между интенсивностью отказов и плотностью распределения видна из сравнения выражений (13) и (15), откуда следует

f(t) =P(t)(t) . (16)

Если в выражении (15а) разделить переменные и проинтегрировать (t) в пределах от0доt и соответственноdP(t)/P(t) от1доP(t) ,то можно получить

. Так как

, получаем или

. (17)

Формула (17) определяет вероятность безотказной работы через интенсивность отказов в общей форме. При этом предполагается, что (t) интегрируемая функция времени наработки. Эта формула широко используется в теории надёжности.

Среди показателей надёжности, наиболее широко применяемых на практике, выделяется среднее время безотказной работы или наработка на отказ Т. По смыслуТ это математическое ожидание непрерывной случайной величины – наработки до отказа. Из теории вероятностей известно, что математическое ожидание определяется интегралом

.

Так как случайная величина t_от существует только на положительной полуоси, то

.

После интегрирования по частям получим

. (18)

Первое слагаемое в (18) при равно нулю, так как функцияпри конечных значениях(t)быстрее стремится к нулю, чем параметрt. Следовательно, среднее время безотказной работы определяется по формуле

. (19)

Статистическая оценка Т при испытании всехNобъектов до отказа выполняется по формуле

. (20)

Чем больше N, тем точнее (20) приближается кТ.