ТВиМС лекция№1
.pdfПлотностью |
|
распределения вероятностейXСВвточке x |
|
|||||||||
называется предел отношения вероятности попадания значений |
|
|||||||||||
этой СВ в интервал (x; x + x) к длине x этого интервала, когда |
|
|||||||||||
x ! 0: |
|
f (x) = |
lim |
P(x < X < x + x) |
: |
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x!0 |
x |
|
|
|
|
||
Отсюда следует формула f (x) = F 0(x). |
|
|
|
|
||||||||
График функции f (x) называется |
кривой распределения |
. |
||||||||||
Пример |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|
|
x |
6 |
1; |
f (x) = 8 |
0; |
x 6 1; |
|
|||
|
|
2 |
; |
|
|
|
2x; |
|
1 6 x 6 0; |
|
||
F (x) = 81 x |
|
1 6 x 6 0; |
> |
|
|
|
||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
<0; |
x > 0: |
|
||
<1; |
|
|
x > 0: |
|
|
> |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
:
>
:
Плотностью |
|
распределения вероятностейXСВвточке x |
|
|||||||||
называется предел отношения вероятности попадания значений |
|
|||||||||||
этой СВ в интервал (x; x + x) к длине x этого интервала, когда |
|
|||||||||||
x ! 0: |
|
f (x) = |
lim |
P(x < X < x + x) |
: |
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x!0 |
x |
|
|
|
|
||
Отсюда следует формула f (x) = F 0(x). |
|
|
|
|
||||||||
График функции f (x) называется |
кривой распределения |
. |
||||||||||
Пример |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|
|
x |
6 |
1; |
f (x) = 8 |
0; |
x 6 1; |
|
|||
|
|
2 |
; |
|
|
|
2x; |
|
1 6 x 6 0; |
|
||
F (x) = 81 x |
|
1 6 x 6 0; |
> |
|
|
|
||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
<0; |
x > 0: |
|
||
<1; |
|
|
x > 0: |
|
|
> |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
:
>
:
Плотностью |
|
распределения вероятностейXСВвточке x |
|
|||||||||
называется предел отношения вероятности попадания значений |
|
|||||||||||
этой СВ в интервал (x; x + x) к длине x этого интервала, когда |
|
|||||||||||
x ! 0: |
|
f (x) = |
lim |
P(x < X < x + x) |
: |
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x!0 |
x |
|
|
|
|
||
Отсюда следует формула f (x) = F 0(x). |
|
|
|
|
||||||||
График функции f (x) называется |
кривой распределения |
. |
||||||||||
Пример |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|
|
x |
6 |
1; |
f (x) = 8 |
0; |
x 6 1; |
|
|||
|
|
2 |
; |
|
|
|
2x; |
|
1 6 x 6 0; |
|
||
F (x) = 81 x |
|
1 6 x 6 0; |
> |
|
|
|
||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
<0; |
x > 0: |
|
||
<1; |
|
|
x > 0: |
|
|
> |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
:
>
:
Основные числовые характеристики НСВ
Непрерывная СВ подчинена следующему условию номировки:
Z +1
f (x) dx = 1:
1
Математическое ожидание находится по формуле
Z +1
M(X ) = xf (x) dx:
1
Дисперсия:
Z +1
D(X ) = x2f (x) dx M2(X ):
1
Средним квадратическим отклонением СВ X называют величину
p
(X ) = D(X ):
Пример
f (x) = |
|
8 |
2x; |
x |
1 6 x 6 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|
|
|
|
6 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<0; |
|
|
|
|
x > 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
M(X ) = Z 1 x ( 2x)dx = 2 Z 1 x2dx = 2 |
|
|
|
1 = |
|||||||||||||||||||||||||
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||
0 |
3 |
|
|
|
( |
1) |
3 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2(0 + |
|
|
) = |
|
|
: |
|
|
|||||||||||
3 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
M(X 2) = Z 1 x2 ( 2x)dx = 2 Z 1 x3dx = 2 |
x |
1 = |
|||||||||||||||||||||||||||
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||
0 |
4 |
|
|
|
( 1) |
4 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2(0 |
|
) = |
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
q
D(X ) = M(X 2) M2(X ) = 12 ( 23 )2 = 181 , è (X ) = 181 0;24.
Пример
f (x) = |
|
8 |
2x; |
x |
1 6 x 6 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|
|
|
|
6 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<0; |
|
|
|
|
x > 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
M(X ) = Z 1 x ( 2x)dx = 2 Z 1 x2dx = 2 |
|
|
|
1 = |
|||||||||||||||||||||||||
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||
0 |
3 |
|
|
|
( |
1) |
3 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2(0 + |
|
|
) = |
|
|
: |
|
|
|||||||||||
3 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
M(X 2) = Z 1 x2 ( 2x)dx = 2 Z 1 x3dx = 2 |
x |
1 = |
|||||||||||||||||||||||||||
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||
0 |
4 |
|
|
|
( 1) |
4 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2(0 |
|
) = |
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
q
D(X ) = M(X 2) M2(X ) = 12 ( 23 )2 = 181 , è (X ) = 181 0;24.
Пример
f (x) = |
|
8 |
2x; |
x |
1 6 x 6 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|
|
|
|
6 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<0; |
|
|
|
|
x > 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
M(X ) = Z 1 x ( 2x)dx = 2 Z 1 x2dx = 2 |
|
|
|
1 = |
|||||||||||||||||||||||||
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||
0 |
3 |
|
|
|
( |
1) |
3 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2(0 + |
|
|
) = |
|
|
: |
|
|
|||||||||||
3 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
M(X 2) = Z 1 x2 ( 2x)dx = 2 Z 1 x3dx = 2 |
x |
1 = |
|||||||||||||||||||||||||||
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||
0 |
4 |
|
|
|
( 1) |
4 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2(0 |
|
) = |
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
q
D(X ) = M(X 2) M2(X ) = 12 ( 23 )2 = 181 , è (X ) = 181 0;24.
Пример
f (x) = |
|
8 |
2x; |
x |
1 6 x 6 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|
|
|
|
6 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<0; |
|
|
|
|
x > 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
M(X ) = Z 1 x ( 2x)dx = 2 Z 1 x2dx = 2 |
|
|
|
1 = |
|||||||||||||||||||||||||
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||
0 |
3 |
|
|
|
( |
1) |
3 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2(0 + |
|
|
) = |
|
|
: |
|
|
|||||||||||
3 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
M(X 2) = Z 1 x2 ( 2x)dx = 2 Z 1 x3dx = 2 |
x |
1 = |
|||||||||||||||||||||||||||
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||
0 |
4 |
|
|
|
( 1) |
4 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2(0 |
|
) = |
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
q
D(X ) = M(X 2) M2(X ) = 12 ( 23 )2 = 181 , è (X ) = 181 0;24.
Равномерное распределение
Пусть СВ X принимает значения из некоторого отрезка [ ; ], так что все они равновозможны, тогда плотность
(
1 ; x 2 [ ; ]; f (x) =
0; x 62[ ; ]:
Такая СВ называется равномерной. Математическое ожидание и дисперсия равномерно распредел¼нной СВ равны:
M(X ) = |
+ |
; |
D(X ) = |
( )2 |
: |
|
2 |
12 |
|||||
|
|
|
|
Вероятность попадания в заданный интервал (a; b) находится как
площадь прямоугольника под кривой распределения на участке (a; b). В случае (a; b) [ ; b] справедлива формула
b a
P(a < X < b) = ; 6 a < b 6 :
Нормальное распределение
|
1 |
|
|
(x a)2 |
||
f (x) = |
p |
|
e |
2 2 |
; |
|
2 |
||||||
где a и параметры распределения. |
|
|
Вероятность попадания СВ X в интервал (a1; a2) находится
P(a < X < a ) = |
|
a2 a |
|
|
|
a1 a |
; |
|||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
||||
где (x) интегральная функция Лапласа |
|
|
|
|||||||
|
(x) = p2 |
x |
e t |
=2dt: |
|
|
||||
|
Z0 |
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Основные числовые характеристики этого закона соответствуют его параметрам:
M(X ) = a; D(X ) = 2; (X ) = :