Работа 9
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ волнЫ ЛАЗЕРА
ПРИ ПОМОЩИ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ
I. Теоретическая часть
1. Принцип Гюйгенса − Френеля
Рис. 9.1
Дифракция света может наблюдаться в расходящихся лучах(дифракция Френеля) ипараллельных лучах(дифракция Фраунгофера). В обоих случаях для объяснения дифракции используется:
а) принцип Гюйгенса;
б) принцип интерференции Френеля, дополняющий формальный принцип Гюйгенса.
Принцип Гюйгенса гласит: каждая точка фронта волны, зафиксированного в данный момент времени, может рассматриваться как самостоятельный точечный источник волн той же частоты, распространяющихся со скоростью, зависящей от свойств среды, только вперед по отношению к фронту падающей волны.
Однако принцип Гюйгенса не позволяет решить основную задачу дифракции: рассчитать распределение интенсивности световой волны в точках, лежащих перед волновым фронтом.
Этот недостаток принципа Гюйгенса устраняется методами расчета, базирующимися на принципе Френеля (метод зон Френеля и графический метод).
Принцип интерференции, введенный Френелем, заключается в следующем:
Рис. 9.2
2. Интенсивность в любой точке перед фронтом волны – результат интерференции излучений всех вторичных источников, расположенных на фронте волны.
3. Графический метод вычисления результирующей амплитуды при дифракции на решетке
В данной работе исследуется явление дифракции света в параллельных лучах (дифракция Фраунгофера) на дифракционной решетке.
Дифракционная решетка представляет собой большое число узких щелей равной ширины, расположенных на одинаковом расстоянии параллельно друг другу в одной плоскости. Дифракционная решетка получается, если на полированном стекле тонким алмазным резцом нанести на одинаковом расстоянии параллельно друг другу штрихи. Штрихи рассеивают свет, а места, не тронутые резцом, служат прозрачными щелями. Сумма ширины щели aи ширины штрихаbназывается периодом или постоянной решетки (с=a+b).
Так как дифракционная решетка представляет собой совокупность щелей, общая дифракционная картина определяется как дифракциейсвета на одной щели, так иинтерференциейсветовых пучков, идущих от отдельных щелей. Дифракционная картина наблюдается в фокальной плоскости линзыЛ2(рис. 9.3). ЛинзаЛ2, не вносит дополнительной оптической разности хода.
Рис. 9.3
1. Заменяем реальный источник S0(рис. 9.3) вторичными точечными когерентными источниками, расположенными на участках плоского волнового фронта, совпадающих со щелями решетки.
2. Делим волновой фронт, совпадающий с каждой щелью, линиями, параллельными краям щели, на малые зоны, так, чтобы разность хода волн, приходящих в точку наблюдения Р от двух соседних малых зон любой щели, была постоянна для данного угла дифракции и была много меньшую половины длины волны (то есть малые зоны гораздо уже зон Френеля). При этом, очевидно, малые зоны имеют одинаковую ширину. Допустим, что каждая изNщелей решетки разбивается наnмалых зон. Вся открытая часть фронта делится наp=n · Nмалых зон (здесь −Nчисло щелей в решетке).
3. Нумеруем все малые зоны решетки по порядку от 1 до р.
4. Колебания, вызываемые волнами, приходящими от каждой малой зоны в данную точку фокальной плоскости, представляем векторами амплитуд . Начальную фазу колебаний, пришедших от первой малой зоны, считаем равной нулю.
5. Строим векторную диаграмму векторов амплитуд малых зон с учётом разности фаз колебаний, возбуждаемых в точке наблюденияРволнами, приходящими от двух соседних малых зон (рис. 9.4 а). При этом векторные амплитуды практически равны по модулю:
6. Вектор амплитуды результирующего колебания напряженности электрического поля световой волны в данной точке фокальной плоскости линзы находим геометрическим сложением векторов амплитуд колебаний , вызываемых волнами, приходящими в точкуРот вторичных источников всех малых зон, то есть
(9.1)
Удобно в (9.1) суммирование сначала выполнять по малым зонам, расположенным на каждой щели:
(9.2)
Но каждая из сумм в последнем выражении – это вектор амплитуды колебаний напряженности электрического поля, которые пришли в точку Рот одной из щелей решетки (l – номер щели):
. (9.3)
Тогда вектор амплитуды колебаний в точке Рот всей решетки имеет вид:
(9.4)
то есть вектор результирующей амплитуды равен геометрической сумме векторов амплитуд колебаний, вызываемых волнами, приходящими от отдельных щелей решетки.
Определим условия главных минимумов.
Из формулы (9.4) следует, что в том случае, если все слагаемые суммы равны нулю, то есть
то есть ни одна щель в данном направлении не дает света. Так как − это амплитуды колебаний, возбуждаемых волнами, приходящими от отдельных щелей, следовательно,главные минимумы при дифракции света на дифракционной решетки наблюдаются под теми же углами, под которыми наблюдаются минимумы при дифракции света на одной щели.
Формула, дающая условия минимумов при дифракции на одной щели, является условием главных минимумовдля дифракционной решетки:
(9.5)
где а− ширина щели решетки.
При углах дифракции, для которых не выполняется условие (9.5), амплитуды колебаний, которые приходят в точку наблюдения от отдельных щелей, не равны нулю. Результат интерференции всех вторичных волн в точке наблюдения Рможем определить согласно (9.4), складывая геометрически векторы амплитуд отдельных щелей. Величина геометрической суммы векторов амплитуд отдельных щелейзависит как от величины, так и от угла, под которым пристраиваются друг к другу векторы амплитуд колебаний от соседних щелей (рис. 9.4 а).
Получим условия главных максимумовпри дифракции света на решетке.
а)
б)
∆y=(a+b)sinα=c
sinα
Пунктиром отмечен
тот фазовый «вклад», который вносится
штрихами решетки.
Рис. 9.4
(9.6)
где k− порядок главного максимума. С учетом связи разности фаз и оптической разности хода (9.4), приходим к результату:
,
т.е. с точки зрения разности хода волн главные максимумы освещенности при дифракции на решетке наблюдаются под теми углами дифракции, для которых разность хода волн, приходящих от соответствующих точек двух соседних щелей, равна нулю или целому числу длин волн.
Как видно из рис. 9.4 б, разность хода волн от соответствующих точек соседних щелей
. (9.7)
Тогда окончательно условие главных максимумовможем записать в виде:
(9.8)
Рис. 9.5
Наблюдая дифракционную картину решетки, можем по известной длине волны света определить постоянную решетки, и наоборот. Для этого необходимо лишь измерить угол дифракции одного из главных максимумов (формула (9.5)).