Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ФМ-3А.doc
Скачиваний:
3
Добавлен:
10.07.2015
Размер:
2.51 Mб
Скачать

1.4 Момент силы. Основной закон динамики

ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА

Моментом силы относительно неподвижной точкиO называется векторная физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора , проведённого из точкиO в точку A приложения силы, на силу (рис. 1.4.1):

(1.4.1)

Здесь – псевдовектор, его направление совпадает с направлением движения правого винта при его вращении отк

Модуль момента силы

Рис. 1.4.1

,

где – угол междуи,– кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкойОплечо силы.

Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина , равная проекции на эту ось векторамомента силы, определённого относительно произвольной точкиO данной оси z (рис. 1.4.1).

Работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота:

.

С другой стороны эта работа идёт на увеличение его кинетической энергии:

, но

, поэтому

, или .

Учитывая, что , получим

. (1.4.2)

Получили основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси: момент внешних сил, действующих на тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение.

Можно показать, что если ось вращения совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство:

,

где I – главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).

1.5 Момент импульса и закон его сохранения

Моментом импульса материальной точкиА относительно неподвижной точки О называется векторная физическая величина, определяемая векторным произведением:

(1.5.1)

где – радиус-вектор, проведённый из точкиО в точку А; – импульс материальной точки (рис. 1.5.1).– псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении отк.

Рис. 1.5.1

Модуль вектора момента импульса

,

где – угол между векторамии,– плечо вектораотносительно точкиО.

Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определённого относительно произвольной точкиО данной оси. Значение момента импульса не зависит от положения точкиО на оси z.

При вращении абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси z каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса с некоторой скоростью. Скоростьи импульсперпендикулярны этому радиусу, т. е. радиус является плечом вектора. Поэтому можно записать, что момент импульса отдельной частицы

и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.

Момент импульса твёрдого тела относительно оси есть сумма моментов импульсов отдельных частиц:

.

Используя формулу , получим

, т.е. . (1.5.2)

Таким образом, момент импульса твёрдого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Продифференцируем уравнение (1.5.2) по времени:

, т.е. . (1.5.3)

Это выражение – ещё одна форма основного уравнения (закона) динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси: производная по времени от момента импульса механической системы (твёрдого тела) относительно оси равна главному моменту всех внешних сил, действующих на эту систему, относительно той же оси.

Можно показать, что имеет место векторное равенство .

В замкнутой системе момент внешних сил и, откуда

. (1.5.4)

Выражение (1.5.4) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется.

Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение (таблица 1.5.1).

Таблица 1.5.1

Поступательное

движение

Вращательное

движение

Функциональная

зависимость

Линейное перемещение

S

Угловое

перемещение

Линейная скорость

Угловая

скорость

Линейное ускорение

Угловое

ускорение

Масса

m

Момент

инерции

I

(для материальной точки)

Сила

Момент

силы

Импульс

Момент

импульса

Окончание табл. 1.5.1

Основное уравнение динамики

Работа

Работа вращения

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия вращения

Закон сохранения импульса

Закон сохранения момента импульса

  1. ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ

Маятник Обербека представляет собой настольный прибор (рис. 2.1), на вертикальной стойке основания 1 которого крепятся три кронштейна: верхний 2, средний 3, нижний 4. Положение этих кронштейнов на вертикальной стойке строго зафиксировано. На верхнем кронштейне 2 крепится блок 5 изменения направления движения эластичной нити 6, на которой подвешен крючок 7 с грузами 8. Вращение блока 5 осуществляется в узле подшипников 9, который позволяет уменьшить трение.

На среднем кронштейне 3 крепится электромагнит 14, который при подаче на него напряжения с помощью фрикциона удерживает систему с грузами в подвешенном состоянии. На этом же кронштейне расположен узел подшипников 9, на оси которого с одной стороны закреплен двухступенчатый шкив 13, на котором имеется приспособление для закрепления нити 6.

На другом конце оси находится крестовина, представляющая собой четыре металлических стержня с нанесением на них рисками через каждые 10 мм, закрепленных в бобышке 12 под прямым углом друг к другу.

На каждом стержне могут свободно перемещаться и фиксироваться грузы 11, что дает возможность ступенчатого измерения моментов инерции крестовины маятника.

На нижнем кронштейне 4 крепится фотоэлектрический датчик 15, который выдает электрический сигнал на миллисекундомер 16 для окончания счета промежутков времени. На этом же кронштейне крепится резиновый амортизатор 17, о который ударяется груз при остановке.

Маятник снабжен миллиметровой линейкой 18, по которой определяется начальное и конечное положение грузов, а, следовательно, и пройденный путь.

Миллисекундомер физический ФПМ-15 жестко закреплен на основании 1 и предназначен для измерения длительности временных интервалов. На лицевой панели миллисекундомера расположены кнопки СЕТЬ, СБРОС, ПУСК и окно, в котором размещены счетно-индикаторные декады для отсчета времени (рис. 2.2).

На задней панели находится разъем для подключения фотодатчика и электромагнита.

Общий вид маятника

Рисунок 2.1

Рис. 2.2

  1. ОПИСАНИЕ МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТА

Маятник, используемый в данной работе (рис. 2.1), представляет собой маховик, которому придана крестообразная форма. По четырем взаимоперпендикулярным стержням могут перемещаться грузы массой На общей оси находится шкив, на который наматывается нить с привязанным на ее конец грузом. Под действием падающего груза, нить разматывается и приводит маховик в равноускоренное вращательное движение. При этом угловое ускорение крестовины

где ускорение падающего груза,радиус шкива.

Согласно уравнению движения груза

или

(14)

и

(15)

где высота падения груза,t – время падения.

Момент силы, приложенный к крестовине, равен

(16)

Из основного уравнения динамики найдем значение момента инерции крестовины с учетом (14), (15), (16):

(17)

Получив экспериментально значения иt, можно по формуле (17) вычислить экспериментальное значение момента инерции крестовины.

  1. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

  1. Включить миллисекундомер в сеть посредством вилки.

  2. Проверить подключение электромагнита и фотоэлектрического датчика к разъему ВХОД на задней панели миллисекундомера.

  3. Нажать кнопку СЕТЬ на лицевой панели миллисекундомера. При этом должны загореться цифровые индикаторы, а также лампочка фотоэлектрического датчика установки.

  4. Нажать кнопку СБРОС на передней панели, при этом на всех цифровых индикаторах должны загореться «0».

  5. Закрепить нить на малом радиусе двухступенчатого шкива. Установить на платформу основного груза три развеса, передвижные грузы на крестовине закрепить на расстоянии 150 мм от оси вращения.

  6. Вращая крестовину против часовой стрелки, перевести основной груз в верхнее положение.

  7. Отпустить основной груз, предоставив ему возможность опускаться, одновременно нажав кнопку ПУСК. В момент пересечения падающего груза оптической оси фотодатчика секундомер остановиться.

  8. Произвести отсчет времени хода маятника t по миллисекундомеру.

  9. По шкале определить ход основного груза h как разницу его верхнего и нижнего положения.

  10. Нажать кнопку СБРОС.

11. Повторить измерения по п. п. 6–10 не менее 5 раз, определить среднее значение времени.

12. Определить момент инерции крестовины по формуле (17).

13. Повторить п.п. 6–12, закрепить нить на большом радиусе двухступенчатого шкива.

Данные измерений свести в таблицу 2.

14. Меняя массу основного груза удалением разновесов, повторить п.п. 6, 7, 8, 9, 10, 12 не менее трех раз для каждой массы. Использовать значения m = 0,22; 0,17; 0,11; 0,06 кг.

Данные измерений свести в таблицу 3.

15. Меняя положение передвижных грузов на штырях, повторить п. п. 6, 7, 8, 9,10, 12 для 180, 200 мм не менее трех раз для каждогоR, (где R – расстояние от груза до оси вращения).

Данные измерений свести в таблицу 4.

16. Для каждого опыта рассчитать абсолютную погрешность момента инерции как погрешность косвенного измерения.

Значения параметров, необходимых для выполнения работы, помещены в таблице 5.

Таблица 2

п/п

Диаметр шкива, 2r, мм

m,

кг

R,

мм

t,

с

tср,

с

Iэксп.,

кг∙м2

Iэксп.ср.

кг∙м2

Iэксп.

кг∙м2

Iэксп.ср.

кг∙м2

1

2

3

4

5

42

0,22

150

1

2

3

4

5

84

0,22

150

Таблица 3

п/п

Диаметр шкива, 2r, мм

m,

кг

R,

мм

t,

с

Iэксп.

кг∙м2

Iэксп.ср

кг∙м2

Iэксп.

кг∙м2

Iэксп.ср.

кг∙м2

1

42

0,22

150

2

0,17

3

0,11

4

0,06

Таблица 4

п/п

Диаметр шкива, 2r, мм

R,

мм

m,

кг

t,

с

Iэксп.

кг∙м2

Iэксп.ср

кг∙м2

Iэксп.

кг∙м2

Iэксп.ср.

кг∙м2

1

42

150

0,22

2

160

3

180

4

200

СВЕДЕНИЯ, НЕОБХОДИМЫЕ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Таблица 5

п/п

Название параметра

Обозначение

в тексте

Значение

1

Минимальная масса основного груза (без разновеса), кг

m

0,06

2

Максимальная масса основного груза (с разновесами), кг

m

0,26

3

Масса разновеса, кг

0,05

4

Масса передвижного груза крестовины, кг

m1

0,2

5

Длина стержней крестовины, мм

l

270

6

Диаметры двухступенчатого шкива, мм

2r

42

84

Отчет должен содержать схему экспериментальной установки, заполненные таблицы 2, 3 и 4, а так же вывод к работе, в котором необходимо дать теоретическое обоснование зависимости момента инерции маятника Обербека от диаметра шкива, положения грузов на штырях и массы падающего груза. Кроме того, охарактеризовать экспериментальную зависимость момента инерции от перечисленных факторов, а так же пояснить соответствие опыта и теории.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]