Физика_Контр№2вар№9

Q1 =Q2
	I 2 R t = I 2 R t																				(6)
1			1		2			2
или I				2 R = I						2 R											(7)
			1		1					2	2
			ε		2									ε			2
							R1 =										R2
r + R1											r + R2
			R1				=				R2
	(r + R )2								(r + R						)2
				1									2
	R		(r + R				)2 = R						(r + R )2
1					2						2						1
	R1 (r2 + 2rR2 + R2 )2 = R2 (r2 + 2rR1 + R1 )2
r2 R + 2rR R											+ R R2 = R r2							+ 2rR R		+ R2 R
			1				1			2			1		2		2	1	2	1	2
r2 (R1 − R2 )= R12 R2 − R1R22
r2 (R				− R )= R R											(R		− R )
			1				2				1		2		1		2
r2 (R				− R )= R R											(R		− R )
			1				2				1		2		1		2
r2 = R R
				1	2

r = R1R2 = 1 Ом 4 Ом = 2 Ом

Ответ: r = 2 Ом.

11

49. По квадратной рамке течет ток 4 А. Напряженность магнитного поля в центре рамки 45 А/м. Определить периметр рамки.

Дано:

H= 45 A/ м

I= 4 A

Найти: l =?

Решение:

I

B, H

I

	r0
α1	α2
	а

Чтобы найти периметр рамки, вычислим сначала магнитную индукцию в центре квадратной рамки.

Для нахождения индукции магнитного поля B воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей. Для этого определим магнитные индукции B1, B2 , B3 , B4 полей, создаваемых каждой стороной в отдельности и сло-

жим их геометрически: B = B1 + B2 + B3 + B4 .

Вычислим индукцию магнитного поля от одной стороны. Магнитная индукция поля, созданного отрезком проводника с током по закону Био- Савара-Лапласа:

12

B =	µ0 I		(cosα1 −cosα2 )						(1)
	4πr
1
	0
где µ0 −		магнитная постоянная; r0		= a	=	l	=	l	− кратчайшее расстоя-
						2 4
				2			8

ние до стороны квадрата, a = 4l −длина стороны квадрата; l − периметр рам-

ки; α1 и α2 −углы между отрезком проводника и линией, соединяющей кон-

цы отрезка с точкой поля.

В данном случае из геометрии чертежа: α1 = 450 ; α2 =1350.

Т.к. по условию задачи задан квадрат, то

B1 = B2 = B3 = B4

Магнитная индукция от четырех сторон квадрата в его центре:

B = 4B	=	4µ0 I (cosα1 −cosα2 )=	µ0 I		(cosα1 −cosα2 )=
1		4πr0	π	l	(2)
				8

= 8πµl0 I (cosα1 −cosα2 )

Напряженность магнитного поля в центре квадратной рамки:

Н = В = 8I (cosα1 −cosα2 )

µ0 πl

Из (3) периметр рамки: l = π8НI (cosα1 −cosα2 )=

	8	4 A	(	0		0	)			8 4 A		2
=				cos 45	−cos135			=
	π 45 A/ м											2
									π 45 A/ м

=8 4 A 2 = 0,32 (м) π 45 A/ м

Ответ: l = 0,32 м.

(3)

−		−	2		=
			2

13

59. По прямолинейным длинным параллельным проводникам, находящимся на расстоянии 2 см, в одном направлении текут токи по 1 А. Какую работу на единицу длины проводников нужно совершить, чтобы раздвинуть их до расстояния 4 см?

Дано:

I1 = I2 =1 A = I r1 = 2 см = 0,02 м

r2 = 4 см = 0,04 м

Найти: A =?

Решение:

Сила взаимодействия двух прямолинейных бесконечно длинных параллельных проводников на единицу длины:

	F	= µ			I1I2		(1)
				0 2πr
	l
	где		µ0 −магнитная постоянная;				r −расстояние между проводниками;

l −длина проводников; I1 −сила тока в первом проводнике; I2 − сила тока во втором проводнике.

Если токи текут в одном направлении, то проводники притягиваются. Для нахождения работы (на единицу длины проводника), необходимой для того, чтобы раздвинуть проводники, вычислим интеграл:

r2

r2

I I

I I

r2

dr

I I

r2

A = ∫

Fl dr = ∫µ0 2πr dr

= µ0 2π

∫

r = µ0

2π ln r

=

1

2

1

2

1

2

r1

r1

I 2

r1

r1

(2)

I I

r

r

2

ln

ln

= µ

1

2

= µ

2

0 2π

0 2π

r

r

1

1

Проверим размерность формулы (2):

[A]=[µ0

][I1 ][I2 ]ln

[r2

]

=

Гн

А А ln

м

=

Вб

А А 1 =

[r1

]

м

м

А м

= Вб

А

=

В с А

= В Кл =

Дж

м

м

м

м

14

Произведем вычисления:

A = 4π 10−7 12 ln 0,04 =1,39 10−7 (Дж/ м) 2π 0,02

Ответ: A =1,39 10−7 Дж/ м.

15

69. Однослойный соленоид без сердечника, длиной 20 см и диаметром 4 см имеет плотную намотку медным проводом диаметром 0,1 мм. За 0,1 с сила тока в нем равномерно убывает с 5 А до 0. Определить электродвижущую силу индукции в соленоиде.

Дано:

l = 20 см = 0,2 м D = 4 см = 0,04 м

d = 0,1 мм = 0,1 10−3 м ∆t = 0,1 с

I1 =5 А

I2 = 0

Найти: ε =?

Решение:

Магнитная индукция в соленоиде:

B = µ0пI =

µ0 NI

(1)

l

где l − длина соленоида, N − число витков, µ0 −магнитная постоян-

ная; n =

N

−число витков на единицу длины соленоида; I −сила тока.

l

Число витков в соленоиде:

N =

l

(2)

d

Из (1) и (2) получим:

B = µ

I

(3)

0 d

Площадь поперечного сечения соленоида:

S =π

D

2

D2

(4)

=π

4

2

16

Поток индукции в соленоиде:

Ф = BS = µ

I

πD2

(5)

0

d

4

ЭДС соленоида:

ε = N ∆Ф = N Ф1 −Ф2 =

N

µ

πD2 I − µ

πD2 I

=

0

0

2

∆t

∆t

∆t

4d

1

4d

(6)

l

πD2

l πD2 I

µ0

= d ∆t

4d I1 = µ0 4d

2 ∆t

1

Проверим размерность формулы (6):

[ε]=[µ0 ]

[l] [D]2 [I1

]

Гн

м м2 A

Гн A

Вб A

В с

= В

[d ]2 [∆t]

=

м

=

с

=

А с =

м2 с

с

Произведем вычисления:

ε = 4π 10

−7

0,2 π (0,04)2 5

=1,58

(В)

4 (0,1 10−3 )2

0,1

Ответ: ε =1,58 В.

17

79. По обмотке соленоида с параметрами: число витков – 1000, длина

0,5 м, диаметр – 4 см; течет ток 0,5 А. Зависимость B = f (H ) для сердечника приведена на рис. 4. Определить потокосцепление, энергию и объемную плотность энергии соленоида.

Дано:

N =1000 витков l =0,5 м

I =0,5 A

d = 4 см = 0,04 м

Найти: ψ =? W =? w =?

Решение:

Напряженность поля в соленоиде:

H = Nl I = 0,51000м 0,5 А=1000 А/ м

где N −число витков в соленоиде; l −длина соленоида; I −сила тока. Определим по графику:

В(Н)=1,3 Тл

Потокосцепление:

ψ = N Ф = N B S =	1 N B πd 2	(1)
	4

где Ф = B S −магнитный поток; S = π4d 2 −площадь сечения соленоида.

B −магнитная индукция; d −диаметр соленоида. Проверим размерность формулы (1):

[ψ ]=[N ] [B] [d ]2 =1 Тл м2 = Вб

Вычисления:

ψ = 14 1000 1,3 π (0,04)2 =1,63 (Вб)

18

Плотность магнитной энергии определяется формулой:

w = Н В	=1000 А/ м 1,3 Тл	=	650 Дж/ м3
2	2
Энергия соленоида:
W = w V	= w S l = 1 w πd 2	l	(2)
	4

Проверим размерность формулы (2):

[W ]=[w] [d ]2 [l]= Джм3 м2 м = Дж

Вычисления:

W = 14 650 0,5 м π (0,04)2 = 0, 408 (Дж)

Ответ: ψ =1,63 Вб; w = 650 Дж/ м3; W = 0,408 Дж.

19