4. Изгиб с кручением брусьев круглого поперечного сечения

Изгибом с кручением называют такой вид деформации бруса при котором он испытывает одновременно изгиб и кручение.

Сочетание изгиба с кручением брусьев круглого поперечного сечения наиболее часто встречаются при работе валов (рис. 4.1)

Рис. 4.1. Примеры валов испытывающих изгиб с кручением

Для оценки прочности материала необходимо установить положение опасного сечения. Для этого нужно построить эпюры крутящих Т_кр и изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях М_верт , М_гор

Далее построить суммарную эпюру изгибающих моментов, определив суммарный изгибающий момент по формуле:

Опасный будет сечение в котором одновременно наибольшие изгибающий и крутящий моменты.

Если же наибольший изгибающий и наибольший крутящий моменты действуют в разных сечениях вала и наибольшие из них сравнить с допускаемым.

Проверка прочности материала при изгибе с кручением

В опасном сечение вала опасными будут точки, лежащие у поверхности. В этих точках нормальные напряжения от суммарного изгибающего момента и касательные напряжения от крутящего момента одновременно достигают максимальных значений ,и точки испытывают плоское напряженное состояние. Поэтому оценку прочности необходимо проводить по одной из теории прочности. Расчет валов из пластичных материалов выполняется обычно на основе третьей или четвертой теорий прочности, а для хрупких по теории Мора .

Условия прочности:

(4.1)

Здесь: W=0.1d³ - осевой момент сопротивления круглого поперечного сечения:

– расчетный момент по третьей теории прочности или : -расчетный момент по четвертой теории прочности.

Из условия прочности (4.1) при необходимости можно определить диаметр вала.

Рассмотрим решение задачи изгиба с кручением.

Задача

Шкив с диаметром D₁ и углом наклона ветвей ремня к горизонту α₁ делает n оборотов в минуту и передает мощность N кВт. Два других шкива имеют одинаковый диаметр D₂ и одинаковые углы наклона ветвей ремня к горизонту α₂и каждый из них передает мощность (Рис. 2). Требуется:

1)Определить моменты, приложенные к шкивам по заданным величинам N и n;

2) построить эпюру крутящих моментов Т_кр

3) определить окружные усилия S₁ и S₂ действующие на шкивы, по найденным моментам и заданным диаметрам шкивов D₁ и D₂;

4) определить давление на вал, принимая их равным трем окружным усилиям;

5) определить силы, изгибающие вал в горизонтальной и вертикальной плоскостях (массы шкивов и вала не учитвать);

6)построить эпюры изгибающих моментов от горизонтальных сил М_гор и от вертикальным сил М_верт ;

7)Построить эпюру суммарных изгибающих моментов, пользуясь формулой

8) при помощи эпюр Т_кр и М_изг найти опасное сечение и определить величину максимального расчетного момента ( по третьей теории прочности);

9)подобрать диметр вала d при

Рис. 4.2 Схема нагружения вала

Дано: N =10 кВт, n =200 об/мин, а =1,5 м, b =1,5 м, с =1,0 м, α₁ =30⁰, α₂=60⁰,D₁ =1.5м, D₂=1м.

Решение

Определение крутящих моментов, приложенных к шкивам, по мозности N и числу оборотов n.

Построение эпюры крутящих моментов Ткр (рис. 4.3).

Определение окружных усилий S₁ и S₂ дейсвующих на шкивы.

Выразим крутящие моменты Т₁ и Т₂ через натяжения ремня шкивов.

Определение сил,изгибающих вал в вертикальной и горизонтальной плоскостях.

Вал нагружене в месте посадки шкива 1 силой

в месте посадки шкивов 2 силами

Разложим силы F1 и F2 на вертикальную и горизонтальную составляющие (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Разложение сил на вертикальную и горизонтальную составляющие

Построение эпюр изгибающих моментов в вертикальной М_верт и горизонтальной М_гор плоскостях и результирующей эпюры.

Рассмотрим вал как балку на двух опорах, нагруженную в вертикальной и горизонтальной плоскостях силами определим опорные реакции и построим эпюры изгибающих моментов (рис 4.5).

Рис. 4.5. Эпюры изгибающих моментов

Опорные реакции (см. рис. 4.5).

Вертикальная плоскость:

Горизонтальная плоскость:

Результирующие изгибающие моменты:

Определение расчетного момента М_расч по третьей теории прочности в опасном сечении.

Опасным является сечение в котором М_изг и М_кр максимальные таким является сечение В.

Расчетный момент в сечении В по третьей теории прочности:

Подбор диаметра вала из условий прочности:

W≈0.1d³ – осевой момент сопротивления круглого сечения.

d =6,85 см.

Округляя d по ГОСТу в большую сторону, получим d = 70 мм.