5.6. Скорость точки нмс

Так как в каждый момент времени движение НМС с одной неподвижной точкой представляет собой мгновенное вращательное движение относительно мгновенной оси, проходящей через эту неподвижную точку, то, используя векторную формулу Эйлера (3.13), для каждого момента времени можно записать:

. (5.7)

Модуль скорости определяется соотношением:

, (5.8)

где r_Вsin – кратчайшее расстояние от рассматриваемой точки до мгновенной оси вращения.

Направление скорости определяется правилом векторного произведения:

 (следовательно, скоростьперпендикулярна также отрезку);

 скорость направлена так, чтобы, глядя с конца этого вектора, поворот отбыл виден против хода часовой стрелки (рис. 60).

Скорость можно проектировать как на неподвижные, так и на подвижные координатные оси.

Рис. 60

Представляя выражение (5.7) в виде определителя, получим:

, (5.9)

где — координаты точкиB в неподвижной системе координат, а — единичные орты неподвижной системы координат.

Разлагая определитель по элементам первой строки, получим проекции скорости на неподвижные оси О, О, О:

(5.10)

Представляя выражение (5.7) в виде определителя, получим также:

, (5.11)

где x, y, z – координаты точки B в подвижной системе координат, а – единичные орты подвижной системы координат.

Разлагая определитель по элементам первой строки, получим проекции скорости на подвижные оси Ох, Оу, Оz:

(5.12)

где х, у, z – величины постоянные, так как положение точки относительно осей Охуz, неизменно связанных с движущейся НМС, с течением времени не изменяется.

Формулы (5.10) и (5.12) называются формулами Эйлера.

5.7. Ускорение точки нмс

Ускорение точки В, принадлежащей НМС, имеющую одну неподвижную точку, можно найти, взяв производную по времени от выражения (5.7):

или

. (5.13)

Первое слагаемое ускорения точки:

(5.14)

называется вращательным ускорением точки.

Величина вращательного ускорения точки определяется формулой:

, (5.15)

где = r_В sin  (рис. 61).

Направление вращательного ускорения точки определяется правилом векторного произведения:

 (следовательно, ускорениеперпендикулярно также отрезку);

ускорение направлено так, чтобы, глядя с конца этого вектора, поворот отбыл виден против хода часовой стрелки (рис. 61).

Рис. 61

В отличие от случая вращения НМС вокруг неподвижной оси угловое ускорение при сферическом движении НМС не лежит на той же прямой, что и угловая скорость, а направлено по касательной к годографу угловой скорости. Поэтому вращательное ускорениеперпендикулярно не к радиусу мгновенного вращения, представляющему собой кратчайшее расстояние от точки до мгновенной оси вращения, а к отрезку , представляющему собой кратчайшее расстояние от точки В до прямой, вдоль которой от точки О отложено угловое ускорение (рис. 61).

Второе слагаемое ускорения точки:

(5.16)

называется осестремительным ускорением точки.

Величина осестремительного ускорения точки с учетом (5.8) определяется формулой:

. (5.17)

Направление осестремительного ускорения МТ определяется правилом векторного произведения:

• ;

• ускорение направлено так, чтобы, глядя с конца этого вектора, поворот отк был виден против хода часовой стрелки (рис. 61).

Так как три взаимно перпендикулярных направления (рис. 60), то осестремительное ускорениенаправлено по к мгновенной оси вращения (рис. 61).

Таким образом,

, (5.18)

а модуль ускорения , как диагональ параллелограмма, построенного на ускоренияхи, может быть определен по формуле:

. (5.19)

Подставив соотношения (5.15) и (5.16) в формулу (5.19), получим:

.

Ускорение любой точки НМС с одной неподвижной точкой можно проектировать как на неподвижные, так и на подвижные оси декартовой системы координат.

118